\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{M\'elangeons les fonctions et la trigo !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 7}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF}
 Calculer les limites suivantes \qquad 
 $\Lim{0^-} \dfrac{x-1}{\sin x} \qquad\qquad \Lim{\frac{\pi}{2}^-} \dfrac{x}{\cos x} \qquad\qquad \Lim{0^-} \dfrac{x^2+\sin x}{x\sin x}$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Calculer la limite en $0$ de chacune des fonctions suivantes :
 $$f:x \longmapsto \dfrac{\sin(x)+x}{x} \qquad \qquad g:x\longmapsto \dfrac{x^2+2\sin(x)}{3x} \qquad 
 \qquad h:x\longmapsto \dfrac{\tan(x)}{x}$$
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant la définition du nombre dérivé , rappeler les limites suivantes \qquad
   $ \Lim{0}\dfrac{\sin(x)}{x} \qquad \text{et} \qquad   \Lim{0}\dfrac{\cos(x)-1}{x} $
  \item En utilisant le changement de variable $h=x-\dfrac{\pi}2$, déterminer les limites suivantes :
$$\Lim{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin(x)-1}{x-\dfrac{\pi}2} \qquad\qquad  \text{et} \qquad \qquad \Lim{\frac{\pi}{2}}\,\dfrac{\cos(x)}{x-\dfrac{\pi}{2}}$$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 En utilisant des changements de variables, calculer les limites suivantes :
 $$\Lim{0} \dfrac{\sin(3x)}{3x} \qquad \qquad\qquad \Lim{0} \dfrac{\sin(2x)}{3x}\qquad
 \qquad \qquad \Lim{0} \dfrac{\sin(x)}{5x} \qquad \qquad\qquad \Lim{0} \dfrac{\sin(3x)}{\sin(2x)}$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
 $$f:x \longmapsto x^2\cos(x) \qquad \qquad g: x \longmapsto (x^3+2x^2+1)\sin(x) \qquad \qquad 
 h:x \longmapsto \sqrt{x}\sin(3x+2) \qquad \qquad 
 k:x\longmapsto \sqrt{3x+1}\cos(4x-7)$$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Préciser l'ensemble de dérivabilité de la fonction $f$ et calculer l'expression de sa fonction dérivée.
 $$f:x\longmapsto \left(\sin(x)+\dfrac34x-1\right)^4\qquad\qquad
 f:x\longmapsto \dfrac{1}{(1+2x)^2} \qquad \qquad f:x\longmapsto \sqrt{\dfrac{x}{2}-1}
 \qquad \qquad f:x\longmapsto \cos\left(2\pi x + \dfrac{\pi}{4}\right)$$
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\cos(ax+b)$ avec 
 $a\in\R$ et $b\in\left[0;\dfrac{\pi}2\right]$\\
 La courbe représentative de $f$ coupe l'axe des ordonnées en $A(0;1)$.\\
 La tangente à cette courbe en $A$ a pour équation $y=-x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\
 Calculer $a$ et $b$.
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)$
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $f$ est périodique de période $\pi$.
  \item $f$ est-elle paire ? impaire ?
  \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;\pi]$ 
 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f$ définie sur $[0; + \infty[$ par $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{x}}$ si $x>0$
 et $f(0)=0$
 \begin{enumerate}
  \item La fonction $f$ est-elle continue en $0$ ? Justifier.
  \item la fonction $f$ est-elle dérivable en $0$ ? Justifier.
  \item Déterminer $\Lim{+\infty}f(x)$.\\
  En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe représentative de $f$. Vérifier graphiquement.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\cos(x)$.\\
%\textit{Possibilité aussi de le faire avec $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$, pour la limite demandée, cela peut-être intéréssant ... ??}\\
Pour chacune des questions suivantes, entourer la bonne réponse sur le sujet, et \textbf{justifier} sur votre copie.
\begin{enumerate}
 \item La dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f'(x)=$
 \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $\sin(x)$   \item $\cos(x)$   \item $\cos(x)+x\sin(x)$   \item $\cos(x)-x\sin(x)$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ sur $[-2\pi; 2\pi]$ est :
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $2$   \item $3$   \item $4$   \item $5$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item $f'\left(-\dfrac{5\pi}6\right)=$
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $\dfrac{5\pi}{12}$   \item $\dfrac{5\sqrt{2}\pi}{12}$   \item $\dfrac{5\sqrt{3}}{12}$   \item Autre valeur
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item $\lim\limits_{x\to + \infty} \left(f(x)\right)^2$
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $0$   \item $+\infty$   \item n'existe pas   \item Autre réponse
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item $\lim\limits_{x\to - \infty} f\left(\dfrac1x\right)$
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $=0$   \item $=+\infty$   \item n'existe pas   \item Autre réponse
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $f$ est symétrique par rapport à :
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
 \item l'origine   \item l'axe des ordonnées   \item l'axe des abscisses   \item la droite d'équation $y=x$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item La fonction $f$ est :
 \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
 \item paire   \item impaire   \item $2\pi$- périodique   \item Autre réponse
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f:x\longmapsto \dfrac{\sin x}{2+\cos x}$.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\R$.
  \item Montrer que pour tout réel $x\in\R$ on a $f'(x)=\dfrac{1+2\cos x}{(2+\cos x)^2}$
  \item \begin{enumerate}
         \item Soit $x\in \R$. Calculer $f(x+2\pi)$ et $f(-x)$. Que peut-on en conclure ?
         \item En déduire qu'il suffit d'étudier $f$ sur l'intervalle $[0;\pi]$.
        \end{enumerate}
 \item A l'aide du cercle trigonométrique, étudier le signe de $1+2\cos x$ sur $[0; \pi]$.
 \item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;\pi]$.
 \item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ sur $[0;\pi]$ puis sur $[-\pi ; 0]$ et enfin sur 
 $[-3\pi;3\pi]$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}