\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Continuit\'e}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF}
Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                                               \cos(x) & \text{si } x \in[0;1] \\ \cos(x-1) & \text{si } x\in]1;2]
                                              \end{array}\right.$ \\ 
est discontinue en un réel.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Pour chaque cas, préciser si la fonction $f$ est continue sur $\R$ :
 \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item $f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
                      x^2-1 & \text{ si } & x<0 \\
                      x-1 & \text{ si } & x\geq 0 \\
                     \end{array}\right.$
\item $f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
                      x^2+1 & \text{ si } & x<1 \\
                      \dfrac2x & \text{ si } & x\geq 1 \\
                     \end{array}\right.$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=|x^2-4|$.
  \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item La fonction $f$ est-elle continue sur $\R$ ?
  \item La fonction $f$ est-elle dérivable sur $\R$ ?
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans chaque cas, quelle valeur doit-on donner au réel $m$ pour que la fonction $f$ 
 soit continue sur $\R$ ?
  \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item $f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
                      \dfrac{x^2-1}{x+1} & \text{ si } & x\neq -1 \\
                      m & \text{ si } & x=1 \\
                     \end{array}\right.$
\item $f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
                      \dfrac{1-\sqrt{x^2+1}}{x} & \text{ si } & x\neq 0 \\
                      m & \text{ si } & x= 0 \\
                     \end{array}\right.$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{Vrai ou faux ? Justifier la réponse.}\\
Soit $f$ la fonction dont le tableau de variations est :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1,  $f(x)$/2}{$-\infty$, $0$, $2$ , $+\infty$}%
\tkzTabVar{+ / $1$, -D+/$-\infty$/$+\infty$ , - / $-3$, +/$1$ }%
\tkzTabVal[]{1}{2}{0.5}{$-1$}{$0$}%
\tkzTabVal[]{2}{3}{0.5}{$1$}{$0$}%
\tkzTabVal[]{3}{4}{0.5}{$4$}{$0$}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \begin{enumerate}
  \item L'équation $f(x)=1$ admet une unique solution.
  \item L'équation $f(x)=-3$ admet une unique solutioin.
  \item L'image par $f$ de l'intervalle $]0;4]$ est l'intervalle $[0;+\infty[$.
  \item Le signe de $f$ est donnée par le tableau suivant :
  \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,  $f(x)$/1}{$-\infty$, $-2$, $0$, $1$, $4$ , $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=x^5-5x+2$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $f(0)$ et $f(1)$.
  \item En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[0;1]$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}
 Dans chacun des cas suivants, démontrer que l'équation proposée a au moins une solution dans l'intervalle $I$.
 \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
   \item $x\sqrt{x+2}=2$ et $I=[-2;2]$
   \item $(x^3+1)x^2=1$ ; $I=\R$
  \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Démontrer que l'équation $x^3-x^2-1=0$ admet une unique solution dans $\R$ et encadrer celle-ci par deux entiers 
 successifs.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-3x^2-1$.\\
 Déterminer selon la valeur du réel $k$ le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-6x^2+5.96x-1.96$.
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Tracer la courbe représentative de $f$ sur votre calculatrice, dans la fenêtre graphique 
  allant de $-4$ et $4$ en abscisse et de $-5$ à $5$ en ordonnée.
  \item Conjecturer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Dresser le tableau de variations conplet de $f$ sur $\R$.
  \item La conjecture précédente est-elle vérifiée ?
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  \item Pourquoi peut-on affirmer que $f$ se factorise par $(x-1)$ ?
         \item Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$, $f(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$
         \item Résoudre alors dans $\R$ l'équation $f(x)=0$
        \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 \begin{theo}[Théorème du point fixe]
  Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle $I=[a;b]$.\\
  On note $f(I)$ l'ensemble de toutes les images par $f$ des réels appartenant à $I$.\\
  Si $f(I) \subset I$, alors $f$ admet au moins un point fixe, ie qu'il existe $x\in I$ tel que $f(x)=x$
 \end{theo}
Démontrer ce théorème dans le cas particulier où $I=[0;1]$.
\end{ExoF}




\end{document}