\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{D\'epasser ses limites}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha


\begin{ExoF}
 Dans chacun des cas suivants, donner une allure possible de la représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ définie sur $\R \textbackslash \left\{1\right\}$.
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-2$ , $\lim\limits_{x\to 1}= +\infty$  et
$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$. 
\item $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to 1^+}   f(x)=-\infty$, 
$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$ et enfin la droite d'équation $y=2$ est asymptote 
à $\mathscr C_f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On a tracé la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\R\textbackslash\{-2;2\}$ ci-dessous.
 \begin{center}
  \newrgbcolor{fftttt}{1 0.2 0.2}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-7,-3)(8,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-7,-3)(8,5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-3)(8,5)
\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{8.0}{(x^2-1)/(x^2-4)}
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt,linecolor=fftttt](2,-3)(2,5)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt,linecolor=fftttt](-2,-3)(-2,5)
\psplot[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt,linecolor=fftttt]{-7}{8}{(--1-0*x)/1}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 Les droites d'équation $x=2$, $x=-2$ et $y=1$ sont asymptotes à la courbe.\\
 Lire les limites de $f$ en $-\infty$, en $+\infty$, en $-2$ (à droite et à gauche) et en $2$ (à droite et à gauche)\\
 \textit{Pour aller plus loin : }Proposer une telle fonction.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On donne le tableau de variations d'une fonction $f$, de courbe représentative $\mathscr C$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$0$};
\node at (4*\Lrg,0) {$2$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$-1$};
\node[left] (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node[right] (f3) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f4) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$1$};
\node (f5) at (6*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$3$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
\draw[fleche] (f4) -- (f5);
% Doubles Barres
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef+0.9*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\bb{2*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Préciser les équations des asymptotes à $\mathscr C$
 \item Tracer une allure possible de $\mathscr C$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la fonction inverse définie sur $\R^*$ n'admet pas de limite en $0$.
  \item Admet-elle une limite en $0^+$ ? en $0^-$ ?
 \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item La fonction $f:x\longmapsto \sin \dfrac1x$ définie sur $\R^*$ admet-elle une limite en $0$ ?
         \item Admet-elle une limite en $0^+$ ? en $0^-$ ?
         \item Observer sa courbe représentative sur votre calculatrice.
        \end{enumerate}

 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère une fonction $f$ définie sur $\R^*$ dont on donne le tableau de variations :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{8.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$0$};
\node at (6*\Lrg,0) {$2$};
\node at (8*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$-2$};
\node[left] (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node[right] (f4) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f5) at (6*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$1$};
\node (f6) at (8*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f4) -- (f5);
\draw[fleche] (f5) -- (f6);
% Doubles Barres
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef+0.9*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\bb{4*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Dresser, en justifiant, les tableaux de variations des fonctions $-f$, $|f|$, $f^2$ et $\dfrac{1}{f}$, 
en précisant les limites aux bornes de $\R^*$.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $\qquad  f(x)=\dfrac{1-3x}{x^2+x}$
\begin{enumerate}
\item A l'aide de votre calculatrice, conjecturer la limite de $f$ en $0$, et en $+\infty$, ainsi que ses variations.
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.\\
En donner une interprétation graphique.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Etudier le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$.
\item En déduire le tableau complet des variations de $f$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ on a :
$$ \dfrac{1}{3}\leq \dfrac{1}{2-\cos x}\leq 1$$
\item En déduire les limites suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $$ \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{2-\cos x}$$
\item $$ \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{x+\cos x}{2-\cos x}$$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sqrt{x^2+4}-x$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item Démontrer que pour tout réel $x$ on a $\qquad  f(x)=\dfrac{4}{\sqrt{x^2+4}+x}$\\
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}