\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{La t\^ete dans les \'etoiles}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 3}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
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\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\sloppy

\begin{ExoF}Soit $ABCD$ un tétraèdre. Soit $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des arêtes $[AB]$, $[BC]$ et $[BD]$. \\
Démontrer que $(IJK)//(ACD)$.\end{ExoF}

\begin{ExoF}
$SABCD$ est une pyramide dont la base $ABCD$ est un trapèze.\\
Démontrer que la droite $(CD)$ est parallèle au plan $(SAB)$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère une pyramide $SABCD$ dont la base $ABCD$ est un parallélogramme.\\
Les points $I$ et $J$ sont définis par 
$$ \overrightarrow{SI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{SA}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{SJ}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{SB}$$
Enfin $K$ est le milieu du segment $[DC]$.
\\
\textbf{But} : Construire la section du solide par le plan $(IJK)$.
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation en perspective cavalière.
\item Déterminer la position du point $L$ d'intersection entre la droite $(IJ)$ et le plan $(ABC)$.
\item Représenter en rouge la section du plan $(IJK)$ sur les faces $SAB$ et $ABCD$.
\item On note $H$ le point d'intersection entre le plan $(IJK)$ et la droite $(AD)$. Déterminer la position de $H$. 
\item En déduire la section de la face $SAD$ par le plan $(IJK)$.
\item Terminer la construction de cette section.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère un cube $ABCDEFGH$, $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ celui de $[BC]$ et $K$ celui de $[HG]$.
\\
Déterminer la section de ce cube par le plan $(IJK)$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
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\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(BFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
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\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
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\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(DCG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
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\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(EFG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{(Pour les experts)}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
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\psline(14,8)(4,8)
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\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
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\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
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\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
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\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](7,7)
\rput[bl](7.2,7.2){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $J\in(ABF)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
On considère une pyramide de base $ABCD$ et de sommet principal $E$, et $I$ et $J$ deux points de la face $ABE$ et $K$ un point de la face $CDE$,
 comme sur la figure ci-contre.\\
On se propose de tracer l'intersection de $(IJK)$ et de $(ABCDE)$.
\begin{enumerate}
 \item Pouvez-vous le faire sans indication supplémentaire ?
 \item \begin{enumerate}
        \item Caractériser l'intersection $(\Delta)$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.\\
 La tracer.
 \item  Placer $L=(IJ)\cap (\Delta)$. Donner trois plans auxquels $L$ appartient.
 \item En déduire $(IJK)\cap (CDE)$.
       \end{enumerate}
\item Tracer l'intersection de $(IJK)$ et de la pyramide.
\end{enumerate}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
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\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
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\psline[linestyle=dotted](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)
\pspolygon[linestyle=dotted](6.7321,1.0000)(1.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
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\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.6000,2.1500)
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\endpsclip
\end{pspicture*}
 \end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}\textbf{(Pour les experts)}
\begin{multicols}{2}
On considère une pyramide de base $ABCD$ et de sommet principal $E$, et $I$ et $J$ deux points de la face $ABE$ et $K$ un point de la face $CDE$,
 comme sur la figure ci-contre.\\
On se propose de tracer l'intersection de $(IJK)$ et de $(ABCDE)$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Caractériser l'intersection $(\Delta)$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.
 La tracer.
 \item  Placer $L=(IJ)\cap (\Delta)$. Donner trois plans auxquels $L$ appartient.
 \item En déduire $(IJK)\cap (CDE)$. La tracer
       \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Placer $M=(IJ)\cap (ABC)$.
 \item En déduire $(IJK)\cap (ABC)$.
      \end{enumerate}
\item Tracer l'intersection de $(IJK)$ et de la pyramide.
\end{enumerate}

\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
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}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)(2.8000,5.0000)
\pspolygon(5.0000,0.0000)(6.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\psline[linestyle=dotted](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)
\pspolygon[linestyle=dotted](6.7321,1.0000)(1.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\uput{0.3000}[-120.0000](1.60000,1.700){I}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](1.6000,1.700)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.6000,2.300)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](3.7000,1.5000)
\uput{0.3000}[-90.0000](2.6000,2.3000){J}
\uput{0.3000}[90.0000](3.7000,1.5000){K}
\uput{0.3000}[-90.0000](000,000){A}
\uput{0.3000}[-90.0000](5.000,000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.8000,5){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](6.7321,1.000){C}
\uput{0.3000}[-90.0000](1.7321000,1.000){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $N$ et $M$ deux points respectivement situés sur les arêtes $[AD]$ et $[AB]$. 
Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MNG)$ à l'aide du logiciel géogébra.
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF}
Démontrons par l'absurde le théorème du toit vu en seconde et rappeler cette année.
On rappelle que l'on considère deux plans $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ sécants selon une droite $\Delta$. De plus, on sait 
qu'une droite $d$ de $\mathscr P$ est parallèle à une droite $d'$ de $\mathscr P'$. Pour raisonner par l'absurde, on suppose de plus
que $\Delta$ n'est pas parallèle à $d$ et $d'$.\\
On désigne par $\vec u$ un vecteur directeur de $\Delta$. 
\begin{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi ce vecteur $\vec u$ est aussi un vecteur directeur de $\mathscr P$ et de $\mathscr P'$. 
\item Expliquer pourquoi il existe un vecteur $\vec v$ non nul directeur de $d$ et $d'$.
 \item Expliquer pourquoi $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires.
 \item Expliquer pourquoi ce vecteur $\vec v$ est aussi un vecteur directeur de $\mathscr P$ et de $\mathscr P'$.
 \item En déduire une contradiction et conclure. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $ABCD$ est un tétraèdre. \\
 Le point $I$ est le milieu de $[CD]$ et le point $K$ est défini par 
$\overrightarrow{AK}=\dfrac12 \overrightarrow{AB} + \dfrac14\overrightarrow{AC} + \dfrac14\overrightarrow{AD}$
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure et placer $K$.
 \item Exprimer $\overrightarrow{BI}$ puis $\overrightarrow{BK}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BD}$.
 \item En déduire que les points $B$, $K$ et $I$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $ABCDEFGH$ est un cube. $M$ et $L$ sont les points tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac14\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{EL}=\dfrac14\overrightarrow{EF}$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\overrightarrow{ML}=\dfrac14\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DH}$
 \item En déduire la position de la droite $(ML)$ par rapport au plan $(DBH)$
\end{enumerate}

\end{ExoF}


\begin{ExoF}
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[CD]$ et $[EF]$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(CK)$ est parallèle au plan $(IJH)$
\item Démontrer que les plans $(IJH)$ et $(BCK)$  sont parallèles
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $SABCD$ est une pyramide à base carré $ABCD$. Le point $O$ est le centre de $ABCD$.\\
$J$ est le milieu de $[SO]$. Le point $K$ est tel que $\overrightarrow{SK}=\dfrac13\overrightarrow{SD}$
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $S$, $B$, $D$, $O$, $J$ et $K$ sont coplanaires.
\item \begin{enumerate}
       \item Démontrer que $\overrightarrow{BK}=-\overrightarrow{SB} + \dfrac13\overrightarrow{SD}$
 \item Justifier que $\overrightarrow{SO}=\dfrac12 \left(\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \right)$ et en déduire que
 $\overrightarrow{BJ}=-\dfrac34 \overrightarrow{SB} + \dfrac14\overrightarrow{SD} $
 \item Montrer que $B$, $J$ et $K$ sont alignés.
      \end{enumerate}
\item Positions relatives de plans
\begin{enumerate}
 \item Etudier la position relative du plan $(BJC)$ avec le plan $(ABC)$ et avec le plan $(SCD)$.
\item Etudier la position relative des plans $(BJC)$ et $(SAD)$.
 \item Construire la section de la pyramide $SABCD$ par le plan $(BJC)$. Ne pas justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans un repère de l'espace, on considère les points $E(2;-3;5)$, $F(0;-1;1)$, $H(1;-8;8)$ et la droite d'équation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l}
    x=1+t \\ y=4-t \\ z = -2 + 2t
  \end{array}\right., t\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $d$ et $(EF)$ sont strictement parallèles.
 \item Montrer que $d$ et $(EH)$ sont sécantes et préciser leur point d'intersection $K$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}
 Dans le repère $(O,\vec i, \vec j, \vec k)$ de l'espace, on donne les points $A(1;2;-1)$ et $B(2;4;-4)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(AB)$ et l'axe $(O,\vec{k})$ sont sécants. Préciser les coordonnées du point commun $K$.
\item Déterminer des représentations paramétriques du segment $[AB]$ et de la demi-droite $[BK)$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{minipage}{10cm}
\begin{ExoF}
$ABCD$ est un tétraèdre. \\
$E$ est le symétrique de $A$ par rapport à $C$,\\ 
$F$ est le point tel que $BCFE$ est un 
parallélogramme, \\
$G$ est le point tel que $ADFG$ est un parallélogramme. \\
On se place dans le repère $\left(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AD} \right)$.
\begin{enumerate}
  \item Pourquoi $\left(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AD} \right)$ est-il un repère de l'espace ? 
 \item Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
  \item Déterminer les coordonnées des points $E$, $F$ et $G$.\\
\textbf{ \textit{Justifier un minimum}.}
 \item Démontrer que $B$, $G$, $C$ et $D$ sont coplanaires.
 \item En déduire la position relative de $G$ et du plan $(BCD)$.
\end{enumerate}
 \end{ExoF}
\end{minipage}
\quad \begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-5.5)(6.5,4.5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,4)(0,1)(2,0)(6,1)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,1)(2,0)(4,-5)(2,-4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,4)(6,1)(4,-5)(0,-2)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(0,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(2,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,0)(6,1)
\psline[linecolor=zzttqq](6,1)(2,4)
\psline(2,4)(2,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,1)(6,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(2,0)
\psline[linecolor=zzttqq](2,0)(4,-5)
\psline[linecolor=zzttqq](4,-5)(2,-4)
\psline[linecolor=zzttqq](2,-4)(0,1)
\psline[linecolor=zzttqq](2,4)(6,1)
\psline[linecolor=zzttqq](6,1)(4,-5)
\psline[linecolor=zzttqq](4,-5)(0,-2)
\psline[linecolor=zzttqq](0,-2)(2,4)
\psline(2,0)(2,-4)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](2.04,4.1){\blue{$A$}}
\rput[bl](-0.25,1.03){\blue{$B$}}
\rput[bl](2.2,-0.35){\blue{$C$}}
\rput[bl](6.05,1.07){\blue{$D$}}
\rput[bl](1.7,-4.25){\blue{$E$}}
\rput[bl](4.15,-5.17){\blue{$F$}}
\rput[bl](-0.3,-2.11){\blue{$G$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center} 
      \end{minipage}


\begin{ExoF}
 Dans un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j ,\vec k)$ on considère les points
$A(-1;3;5)$, $B(2;-3;-1)$ et $C(5;-1;-6)$
\begin{enumerate}
\item \textbf{Représentation paramétrique de plan} \begin{enumerate}
\item $A$, $B$ et $C$ définissent-ils un plan ?
\item Si oui, en donner une représentation paramétrique.
\end{enumerate}
\item \textbf{Représentation paramétrique de droite} \begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(BC)$.
\item Déterminer une représentation paramétrique du segment $[AB]$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Equation cartésienne de Sphère} (ensemble des points situés à égale distance d'un point donné)\\
 Déterminer l'équation de la sphère $\mathscr S$ de centre $B$ et de rayon $10$.
\item \textbf{Appartenance d'un point à une droite, une sphère ou un plan}\\
On note \quad $E\left(8;-3;-9\right)\qquad \text{et}\qquad F\left(-4;9;11\right)$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $E\in\mathscr S$.
\item A-t-on $F\in (ABC)$ ? $F\in [AB]$ ? $F\in \mathscr S$ ?
\end{enumerate}
\item \textbf{Interprétation d'une représentation paramétrique de droite.}\begin{enumerate}
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par $E$ et parallèle à $(BC)$.
\item $\Delta$ est une droite qui admet pour représentation paramétrique :
\quad $ \left\{ \begin{array}{l} x=t-1 \\ y=-2t+3\\ z=3t-12 \end{array} \right. ,\qquad t\in\R$\\
Donner un vecteur directeur de $\Delta$ et un point de $\Delta$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Intersection droite/droite, droite/plan, droite/sphère.}
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intersection entre $\Delta$ et $(BC)$.
\item Déterminer l'intersection entre $d$ et $\mathscr S$.
\item Déterminer l'intersection entre $d$ et $(ABC)$.
\item Déterminer l'intersection entre $\Delta$ et $(ABC)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère un tétraèdre $ABCD$. \\
 On note $E$ le milieu du segment $[AC]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $BCD$.
\begin{enumerate}
\item Construire le point $K$ défini par \quad
$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AK}$
\item Expliquer pourquoi $\left(A; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} ; \overrightarrow{AD} \right)$
est un repère de l'espace. \\
\textit{Dans la suite de l'exercice, on se place dans ce repère.}
\item Démontrer que les points $E$, $G$ et $K$ sont alignés.
\item Le point $F\left(\dfrac32 ;0 ;0 \right)$ appartient-il à la droite $(GE)$ ?
\item La parallèle $\Delta$ à la droite $(EG)$ passant par $A$ passe-t-elle par le symétrique de $C$ par rapport à $G$ ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soient les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ de représentations paramétriques respectives :
 $$\left\{\begin{array}{ll}
           x=-1+2t \\ y=1-t & , t\in\R \\ z=3+4t
          \end{array}\right.
\qquad \text{et}
\left\{\begin{array}{ll}
           x=3-u \\ y=-4+2u & ,u\in\R \\ z=9-u
          \end{array}\right.$$
          \begin{enumerate}
           \item Justifier que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont soit sécantes ou soit non coplanaires.
           \item Norbert a effectué la recherche suivant à l'aide du logiciel Xcas :
           \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.6]{XCas2}
            \end{center}
\begin{enumerate}
 \item En admettant le résultat obtenu, peut-on affirmer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ 
 sont sécantes ?\\
 Si oui, pourquoi  et en quel point ?
 \item Démontrer le résultat obtenu par le logiciel.
\end{enumerate}
          \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soient les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ de représentations paramétriques respectives :\\
  \begin{minipage}{9cm}
 $$\left\{\begin{array}{ll}
           x=-1+2t \\ y=1-t & , t\in\R \\ z=3+4t
          \end{array}\right.
\qquad \text{et}
\left\{\begin{array}{ll}
           x=3-u \\ y=-4+2u & ,u\in\R \\ z=8-u
          \end{array}\right.$$
           \end{minipage}\quad
 \begin{minipage}{10cm}
 Norbert a effectué la recherche suivant à l'aide du logiciel Xcas :
           \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.6]{XCas3}
            \end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item En admettant le résultat obtenu, peut-on affirmer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont non coplanaires ? Pourquoi ?
 \item Démontrer le résultat obtenu par le logiciel et déterminer la position relative des droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soient les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ de représentations paramétriques respectives :\\
 \begin{minipage}{9cm}
 $$\left\{\begin{array}{ll}
           x=-1+2t \\ y=1-4t & , t\in\R \\ z=3-2t
          \end{array}\right.
\qquad \text{et}
\left\{\begin{array}{ll}
           x=3-u \\ y=-4+2u & ,u\in\R \\ z=9+u
          \end{array}\right.$$
 \end{minipage}\quad
 \begin{minipage}{10cm}
 Norbert a effectué la recherche suivant à l'aide du logiciel Xcas :
           \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.6]{XCas4}
            \end{center}
 \end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item En admettant le résultat obtenu, que peut-on affirmer sur la position relatives des droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ? Pourquoi ?
 \item Démontrer le résultat obtenu par le logiciel et déterminer la position relative des droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Que pouvez-vous déduire des trois exercices précédents ?
\end{ExoF}






\end{document}