\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{La suite des Suites !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

%\section*{Le raisonnement par récurrence}

\begin{ExoF}
 On donne ci-dessous trois propositions vraies. 
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
 \item Pour tout entier $n\geq 5$, $2^n > n^2$
 \item Pour tout réel $x>0$, $(x+1)^3 \geq 1+3x$
 \item Pour tout entier $n \geq 1$, $\sum_{k=1}^n (2k-1)^3=2n^4-n^2$
 \end{multicols}
\end{enumerate}
Pour lesquelles peut-on envisager une démonstration par récurrence (que l'on ne fera pas) ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par : 
$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=2 u_n -3  \end{array} \right.$\\
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3-2^n$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la suite $(u_n)_{\N}$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout $n$ par la 
 relation \\
$u_{n+1}=3u_n+1$. Démontrer chacune des propositions suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
 \item La proposition \og $u_n \leq u_{n+1}$ \fg est héréditaire.
 \item La proposition \og $u_n \geq u_{n+1}$ \fg est héréditaire.
 \item Si $u_0=1$ la suite $u$ est croissante.
 \item Si $u_0=-2$, la suite $u$ est décroissante.
 \item Su $u_0=-0.5$, la suite $u$ est stationnaire.\\
 Illustrer graphiquement les trois derniers résultats.
\end{multicols}
 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que les deux propositions suivantes sont héréditaires\\
  $(A)$ : \og $10^n-1$ est un multiple de $9$ \fg \qquad\qquad \qquad\qquad 
  $(B)$ : \og $10^n+1$ est un multiple de $9$ \fg
\item Sont-elles vraies pour tout entier naturel $n$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par \quad $ u_0=3\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=2+\dfrac{1}{u_n}$\\
Montrer que, pour tout $n\in\N$ on a \quad $ 2\leq u_n\leq 3$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $n\in\N$ on a \quad $\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
\item On  note $S_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels non nuls.
\begin{enumerate}
\item Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $S_n=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2$\footnote{On
utilisera la formule démontrée dans le cours sur la somme des $n$ premiers entiers.}
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $S_n=\nombre{3025}$ ?
\end{enumerate} 
\item On note $P_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels \textbf{pairs} non nuls.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $P_n=2n^2(n+1)^2$
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $P_n=\nombre{1800}$ ?
\end{enumerate}
\item On note $I_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels \textbf{impairs} non nuls.
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_1$, $I_2$ et $I_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $I_n=n^2(2n^2-1)$
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $I_n=\nombre{41328}$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Montrer que $4^n-1$ est un multiple de $3$ pour tout entier naturel $n$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $2^{3n}-1$ est un multiple de $7$.
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
Pour tout entier $n\geq 1$, on note la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$. \\
On rappelle la proposition suivante, énoncée en 1S, mais non démontrée :
$$\forall n \in \N^*,\quad \text{on a} \quad f_n \text{ est dérivable sur } \R \quad \text{et} \quad
f_n'(x)=nx^{n-1}$$
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que pour $n=1$ la proposition est vraie.
 \item Vérifier que les formules de 1S pour $n=2$ et $n=3$ correspondent à la formule 
 générale énoncée ci-dessus.
 \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geq 1$, on a $f_n'(x)=nx^{n-1}$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Démontrer que pour tout entier $n\geq 0$, l'\textbf{inégalité de Bernoulli} est vraie :
$$\forall x >0 \text{ , on a } (1+x)^n \geq 1+nx$$
\end{ExoF}

\vspace{-1cm}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Rappeler ce que signifie l'écriture $\left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right)$ pour $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$.
\item Compléter la propriété suivante, vu en première :\\
\indent Pour tous $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$, on a  $\left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k+1
                                                  \end{array}\right) = $
\item Ecrire les 5 premières lignes du triangle de Pascal.
 \item Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$ on a \quad 
$(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3$
%ainsi que 
%$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6 a^2 b^2 + 6 a^2b^2 +4ab^3 + b^4$$
\item Quel lien observe-t-on entre les coefficients de développement et le triangle de Pascal ?
\item Démontrer par récurrence que pour tout $n \geq 1$ on a :
$$(a+b)^n=\sum_{k=1}^n \left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right)a^{n-k}b^k$$
formule appelée \textbf{formule du binôme de Newton}.
\item \textit{Application} : développer $(a+b)^5$ sans calcul.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

%\newpage
%\section*{Limites de suites}
\begin{ExoF}
 Soit $e$ un réel strictement positif.
 \begin{enumerate}
  \item Résoudre dans $[0;+\infty[$ l'inéquation $\dfrac{3}{2x+1}<e$
  \item Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_n=\dfrac3{2n+1}$
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que $u_n<e$ à partir d'un certain rang $N$.
   \item En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers $0$.
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par $v_n=n^2-n$.
 \begin{enumerate}
  \item Résoudre les inéquations suivantes : \quad $v_n>10^5$ \quad et \quad $v_n >10^{10}$
  \item Conjecturer la limite de la suite $(v_n)$ puis la démontrer.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit la suite $(u_n)$ définie par \quad $\left\{\begin{array}{l}
                                                 u_0=\dfrac12 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}
                                                \end{array}\right.$\quad et 
la suite $(v_n)$ est définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac1{u_n}+1$
\begin{enumerate}
 \item A l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement à l'infini de la suite $(u_n)$.
 \item Prouver que la suite $(v_n)$ est arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
 \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
 \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère deux suites $u$ et $v$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite éventuelle des suites $u$, $v$ et $u+v$ dans les cas suivants :
  \begin{enumerate}
 \begin{multicols}{2}
  \item $u_n=n^2+n$ et $v_n=-n$
   \item $u_n=n+1$ et $v_n=-n^2-n$
   \item $u_n=n+1$ et $v_n=-n+2$
   \item $u_n=n+(-1)^n$ et $v_n=-n$
   \end{multicols}
  \end{enumerate}
\item Proposer des termes généraux $u_n$ et $v_n$ tels que $\Lim[n]{+\infty}u_n=+\infty$ et 
$\Lim[n]{+\infty} v_n = 0$
tels que 
\begin{enumerate}
 \begin{multicols}{2}
  \item $\Lim[n]{+\infty}u_n \times v_n = +\infty$
   \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = 0$
   \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = - \infty$
   \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = 4$
   \end{multicols}
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\noindent\begin{minipage}{12.5cm}
 \begin{ExoF}
On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par  
$$ u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}\qquad \text{et} \qquad v_n=-(n+1)^2$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera.
\item On considère l'algorithme ci-contre.
Quel est son intérêt ?
\item A partir de quel rang $N$ la distance entre $u_n$ et $\ell$ est-elle strictement inférieure à $0,001$ ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $v$.
\item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n<-10^{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}\quad 
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}
\Algo{6.8cm}{
\Variable{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.
}
\Deb{
$n:=0$ et $u:=\dfrac{1}{3}$.\\
  \While{$|u-2|\geq 0,001$}
{$n:=n+1$ et $u:=\dfrac{2n+1}{n+3}$  
}
Renvoyer $n$
}
}
\end{center}
\end{minipage}


\noindent\begin{minipage}{12.5cm}
\begin{ExoF}
 On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par :
$$ u_n=\dfrac{5}{n+1}\qquad \text{et} \qquad v_n=n^2-n$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera.
\item Compléter l'algorithme suivant de manière à ce qu'il affiche le plus petit entier 
naturel $n$ tel que la distance entre $u_n$ et $\ell$ soit inférieure à $10^{-5}$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $v$.
\item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n>10^{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\Algo{6.8cm}{
\Variable{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.
}
\Deb{
$n:=0$ et $u:=\dots $.\\
  \While{$\dots\dots\dots\dots\dots $}
{$\dots\dots\dots\dots\dots$ et $\dots\dots\dots\dots\dots $  
}
Renvoyer $\dots $
}
}
\end{center}
\end{minipage}




\noindent \begin{minipage}{11cm}
\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\dfrac{n+1}{2n^3+1}$$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.
\item On donne l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
       \item Que fait-il ?
	\item Programmer cet algorithme sur le logiciel de votre choix et déterminer les rangs $N$
	associés à $e=10^{-2}$ puis $e=10^{-5}$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{8cm}
 \Algo{7.5cm}{
  \Entree{
 $e$ est un nombre réel    
  }
  \Variable{
    $n$ est un nombre entier
  }
  \Deb{
    $n\leftarrow 0$\\
    \While{$\left|\dfrac{n+1}{2n^3+1}\right| \leq e$}
    {
      $n\leftarrow n+1$
    }
    Renvoyer $n$.
  }
 }
 
\end{minipage}

\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N^*$ par \quad $u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $ \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}\leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}, \forall k\geq 2$.
\item Montrer que $ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=1-\dfrac{1}{n}$
\item Montrer que $\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq 1$
\item En déduire que $(u_n)$ est majorée.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}



\begin{ExoF}On considère la suite définie par \quad $ u_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2+5}$
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R^+$ par $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+5}$. Etudier les variations de $f$ sur $\R^+$
\item Dresser le tableau de variation de $f$
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}Soit la suite $(u_n)$ définie par \quad $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\sqrt{6+u_n} \end{array} \right.$
Montrer, par récurrence, que cette suite est bornée.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-0.5x^2+x+0.5$.\\
 Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par \quad $\left\{\begin{array}{l}
                                                            u_0=-0.5 \\ u_{n+1}=f(u_n)
                                                           \end{array}\right.$
\begin{enumerate}
 \item Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
 \item Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 1.
 \item \begin{enumerate}
        \item Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ vérifiant $f(\ell)=\ell$.
        \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.
       \end{enumerate}
\item Pour tout réel $e>0$, on souhaite déterminer le rang $N$ à partir duquel la distance entre $u_n$ et $\ell$
       est inférieure à $e$.
       \begin{enumerate}
       \item Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème.
       \item Programmer, puis déterminer le premier rang $N$ associé à $e=10^{-5}$ puis à $e=10^{-10}$
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


 
\end{document}