\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Exercices} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Chapitre 12}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Les maths : l'int\'egrale !}  %% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG6}				%% Classe
\newcommand{\num}{12}				%%% Numero du chapitre
\newcommand{\Annee}{2013-2014}			%%% Date ou année


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha
%\debutExoCha

\section{Intégration sans primitives}

\begin{ExoF}
On donne $\int_0^1 x^2 dx = \dfrac13$
 \begin{enumerate}
 \item Prouvez que, pour tout $t\in[0,1]$,
      $\dfrac{t^2}{2}\leq\dfrac{t^2}{1+t}\leq t^2$.
      \item Déduisez-en un encadrement de
      $I=\ds\int_0^1\dfrac{t^2}{1+t}\,dt$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0;1]$ telle que, pour tout $x\in [0;1]$, il existe deux réels $m$ et $M$ tels que :
$$ m\leq f(x) \leq M$$
Déterminer la limite de la suite de terme général :
$$ u_n=\int_0^{\frac{1}{n}} f(x) dx$$ 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Etudier la limite de la suite de terme général $$ u_n=\int_n^{n+1} e^{-x} dx$$
Vous pourrez commencer par encadrer $e^{-x}$ sur $[n;n+1]$ en fonction de $n$. 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On pose \qquad $ I_n=\dfrac{1}{n !}\int_0^1 (1-x)^ne^{-x} dx\qquad \forall n\in\N$
\begin{enumerate}
 \item Prouver que \qquad $ 0\leq I_n \leq \dfrac{1}{n!}\int_0^1 e^{-x} dx$
\item En déduire $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n$ 
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\section{Primitives et intégration}

\begin{ExoF}
 Soit $F$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$.\\
 Calculer $F'(x)$. Qu'a-t-on démontré ?
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Calculer une primitive de $f_i$ sur $]0;1[$ dans les cas suivants :
$$f_1(x)=\dfrac{x+1}{(x^2+2x+2)^2} \qquad\qquad\qquad f_2(x)=\tan x \qquad\qquad\qquad f_3(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Etudier si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{2x^2+8x-5}{(x^2+x+3)^2}$ \qquad et \qquad  $F(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x^2+x+3}$ \qquad avec $I=\R$.
\item $f(x)=\dfrac{2x-3}{2x\sqrt{x}}$\qquad  et \qquad $F(x)=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x}}$ \qquad avec $I=]0;+\infty[$.
\item $ f(q)=\dfrac{3q-4}{\sqrt{2q-4}}$\qquad  et \qquad $F(q)=q\sqrt{2q-4}$ \qquad avec $I=]2;+\infty[$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Si vous reconnaissez une forme du style $u'u^n$, alors une primitive sera \quad $ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$\\
En déduire une primitive de $f$ avec \quad $ f(x)=\dfrac{3}{(x-1)^2}$ \quad sur $]1; + \infty[$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
$f$ est la fonction définie sur $I[-1;8]$ par $f(x)=\dfrac{2x^3+8x^2+8x-3}{x^2+4x+4} $
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x\in I$ on a $ f(x)=2x-\dfrac{3}{(x+2)^2}$
\item \begin{enumerate}
\item En déduire une primitive $G$ de $f$ sur $I$.
\item Calculer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=2$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item $f$ est la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=-\dfrac{2}{(x-2)^2}$.\\
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]2;+\infty[$.
\item $G$ est la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $G(x)=\dfrac{3x-4}{x-2}$. \\
Calculer la fonction dérivée de $G$.
\item Que peut-on en déduire pour les fonctions $F$ et $G$ ?
\quad 
Vérifier ce résultat en calculant $F(x)-G(x)$. 
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Déterminer une primitive sur les intervalles $I$ considérés de :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $g:x\longmapsto \dfrac{3x}{\sqrt{x^2-1}}$ \quad avec $I=]-1;1[$
\item $h:x\longmapsto \dfrac{e^x+3}{(e^x+3x)^3}$ \quad avec $I=]-\infty;0]$
\item $k:x\longmapsto \dfrac{1}{(ax+b)^2}$\quad avec $I=\left]-\dfrac{b}{a};+\infty\right[$
\item $f:x\longmapsto \dfrac{e^{\frac{1}{x}} }{x^2}$ \quad avec $I=\R^{+*}$
\item $ j: x \longmapsto e^{3x+2}$ \quad avec $I=\R$
\item $ l:x\longmapsto (2x+1)e^{x^2+x+7}$ \quad avec $I=\R$
\item $ m : x\longmapsto \sin(3x)+3\cos(2x)$ \quad avec $I=\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On rappelle que \quad $ \cos^2 t= \dfrac{1+\cos 2t}{2}$ \qquad 
Démontrer que \quad $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt=\dfrac{\pi}{4}$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Calculer les intégrales suivantes :
$$ \int_0^1 xe^{-x^2} dx \qquad \qquad 
 \int_{\frac{1}{e}}^e \dfrac{\ln t}{t}dt \qquad \qquad 
\int_2^4 \dfrac{e^t}{e^t+1}dt \qquad \qquad 
\int_0^2 \dfrac{x}{ \sqrt{x^2+1}}dx $$
\end{ExoF}



\newpage



\section{Extension aux fonctions de signe quelconque}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} L'intégrale d'une fonction continue et
impaire est nulle.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $\int_{-2}^2f(t) dt=0$, alors $f$ est
impaire.
\item{} Trouvez une fonction paire, non identiquement nulle sur
$[-2,2]$, telle que $\int_{-2}^2f(t)dt=0$.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $\Lim{+\infty}f(x)=0$, alors
$\int_{1}^xf(t)dt$ admet une limite finie quand $x$ tend vers
$+\infty$.
\item{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}$ $\int_1^xf(t) dt=+\infty$
\item{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}$ $\int_1^xf(t)dt=32$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?}Soit $u$ un réel strictement positif, alors
$\int_0^u E(x)\,dx\in\N$, $E(x)$ désignant la \textsl{partie
entière} de $x$.
\item Trouvez une fonction telle que
$\ab{\int_a^bf(t)dt}=\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item{}Trouvez une fonction $f$ telle que
$\ab{\int_a^bf(t)dt}<\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item{} Trouvez une \textsl{condition nécessaire et suffisante} sur
$f$ pour que $\ab{\int_a^bf(t)dt}=\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} $\int_2^3xt^2dt=\int_2^3xt^2\,dx$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} $\int_2^3xt^2dt=\int_2^3x^2t\,dx$
\item{} Trouvez deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[1,2]$,
distinctes, telles que $\int_1^2f(t)dt=\int_1^2g(u) du$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $f$ est bornée sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u) du$ l'est aussi.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $f$ est croissante sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u) du$ l'est aussi.
\item Déterminez   une fonction polynôme de degr\'e sup\'erieur ou \'egal à 2 et dont la valeur
moyenne  sur $[-2~;~2]$ est 0.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Démontrer que $$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \ab{\sin t} dt=2$$
\footnote{On utilisera la relation de Chasles afin de supprimer les valeurs absolues.} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[e;e^2]$ par $$ f(x)=\dfrac{\ln^2 x}{x}$$ 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
La capacité pulmonaire de l'être humain suivant son âge $x$ de $10$ à $90$ ans, 
s'exprime, en litres, au moyen de la fonction $f$ définie par 
$ f(x)=\dfrac{110(\ln x-2)}{x}$\\
Déterminer la valeur moyenne de la capacité pulmonaire entre $20$ et $70$ ans, à $0,1$ litre près par défaut. 
\end{ExoF}





\begin{ExoF}  % Liban Juin 2010
 On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_n=\int_0^1 \dfrac{e^{-nx}}{1+e^{-x}} dx$
 \begin{enumerate}
   \begin{minipage}{10cm}
 \item \begin{enumerate}
         \item Montrer que $u_0 + u_1 = 1$.
         \item Calculer $u_1$ puis montrer que $u_1=\ln\left(\dfrac{2}{e+1}\right)+1$.
         \item En déduire $u_0$.
        \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout entier $n \geq 1$ on a  
        $$u_{n+1}+u_n=\dfrac{1-e^{-n}}{n}$$
        \item En déduire les valeurs de $u_2$ et $u_3$.
       \end{enumerate}
       \item On souhaite calculer $u_n$ pour $n \geq 2$.\\
 On propose l'algorithme ci-contre.\\
 Expliquer pourquoi celui-ci est incorrect, puis le corriger de façon à résoudre le problème.
 \item On utilise le tableur pour calculer les premiers termes de la suite $(u_n)$.
 \end{minipage}\qquad
 \begin{minipage}{8cm}
   \begin{center}
\Algo{7cm}{
\Entree{$n$ un entier naturel
}
\Variable{ 
$u$ est un nombre réel.\\
$k$ est un entier naturel.
}
\Deb{
  $u \longleftarrow \ln\left(\dfrac{2}{e+1}\right)+1$\\
  \For{ $k$ allant de $2$ à $n$ }
{$u \longleftarrow \dfrac{1-e^{-k}}{k}$\\
}
Renvoyer $u$
}
}
\end{center}
 \end{minipage}
 \begin{enumerate} 
 \begin{minipage}{10cm}
 \item Parmi les formules suivantes, laquelle faut-il enter en B4 de façon à obtenir $u_2$ ?
 \begin{center}
  \fbox{=(1-EXP(-A4))/A4-B3} \qquad \qquad \fbox{=(1-EXP(-A3))/A4-B3} \qquad \qquad \fbox{=(1-EXP(-A3))/A3-B3}
 \end{center}
\end{minipage} \quad \begin{minipage}{8cm}
 \includegraphics[scale=0.73]{ExoTableur.eps}
 \end{minipage} 
\item On a recopié la formule vers le bas et calculé les $100$ premiers termes de la 
suite $(u_n)$. \\
On donne la fin du tableau des résultats à $10^{-5}$ près.
\begin{center}
\begin{tabular}{*{9}{|c}|} \hline
 $n$ &  93 & 94 & 95 & 96 & 97 & 98 & 99 & 100\\\hline
 $u(n)$  & $0.00541$ & $ 0.00535$ & $0.00529$ & $0.00524 $ & $0.00518$ &  $0.00513$ & $0.00508$ & $0.00502$ \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Que peut-on conjecturer sur le comportement de la suite $(u_n)$ à l'infini ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item En utilisant la question 2a), montrer que pour tout $n \geq 1$ 
       on a \quad $0 \leq u_n \leq \dfrac{1-e^{-n}}{n}$
 \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
 \item Rémi affirme que pour tout entier $n \geq 100$, on a : $u_n \leq 0.1$.\\
 A-t-il raison ?
       \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{document}
