\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\Ch}{Produit Scalaire dans l'espace}		
\newcommand{\ch}{Chapitre 10}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\setcounter{NumLecon}{11}

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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\DocCha


%\begin{ExoF}\hfill \textbf{Pour aller plus loin}\\
% Dans cet exercice, on cherche à montrer qu'il existe un infinité de sphères passant par trois points donnés.\\
% On appelle \textbf{plan médiateur} d'un segment $[AB]$ l'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$.
% \begin{enumerate}
%        \item On reprend les points de l'application 2 de l'exercice précédent.
%        \begin{enumerate}
%               \item Montrer qu'un point $M(x;y;z)$ appartient au plan médiateur $\Pi_1$ de $[AB]$ si et seulement si $x=0$.
%        \item Montrer qu'un point $M(x;y;z)$ appartient au plan médiateur $\Pi_2$ de $[BC]$ si et seulement si $y=0$.
%        \item Caractériser l'intersection $d$ de $\Pi_1$ et $\Pi_2$.
%        \item Que pouvez-vous en déduire sur les coordonnées du centre $\Omega$ d'une sphère $(S)$ passant par $A$, $B$ et $C$ ?
%        \item Soit $E(0;0;t)$ avec $t\in\R$. Montrer que $E$ est le centre d'une sphère passant par $A$, $B$ et $C$.
%        \item Conclure.
%              \end{enumerate}
%   \item Dans l'espace, existe-t-il toujours une infinité de sphère passant par trois points donnés ? Justifier.
%   \item Dans le plan, combien existe-t-il de cercle(s) passant par trois points donnés ? Justifier.
% \end{enumerate}
%\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit un tétraèdre régulier $ABCD$ de côté $1$. On note $I$ et $J$ les milieu respectifs de $[BD]$ et $[AD]$.\\
On note $K$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(BA)$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la position de $K$.
 \item En déduire que $\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{AC}=-\dfrac14$
\end{enumerate}
\end{ExoF}


 %Exercices corrigés et applications p 295 et p 297
\noindent \begin{minipage}{10cm}
\begin{ExoF}
On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête $a$. $I$ est le centre de la face $ABCD$ et $J$ le milieu du segment $[AE]$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{EH}$ et $\overrightarrow{FI} \cdot \overrightarrow{DB}$.
 \item Déterminer les longueurs des côtés du triangle $IJH$.
 \item En déduire à $0,1^{\circ}$ près, la mesure de l'angle géométrique $\widehat{IJH}$
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\begin{ExoF}
 On reprend la figure de l'exercice précédent.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les produits scalaires suivants :
  $$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{GB} \qquad ; \qquad  \overrightarrow{GI} \cdot \overrightarrow{DB}
  \qquad ; \qquad \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{CB} \qquad ; \qquad \overrightarrow{HJ} \cdot \overrightarrow{JB}$$ 
\item Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{HJB}$ à $0,1^{\circ}$ près.
  \end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
 \begin{center}
  \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.89,-0.59)(6.61,7.5)
\pspolygon(0,4)(4,4)(6,7)(2,7)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(6,3)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](6,3)(2,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,3)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(4,4)
\psline[linecolor=zzttqq](4,4)(6,7)
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\psline[linecolor=zzttqq](2,7)(0,4)
\psline(0,4)(0,0)
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\psline(6,3)(6,7)
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\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-0.16514867741462683}{1.1902899496825317}{0.69*cos(t)+0|0.69*sin(t)+2}\lineto(0,2)\closepath}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.31,-0.31){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](4,0)
\rput[bl](4.14,-0.38){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,3)
\rput[bl](6.17,2.71){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,3)
\rput[bl](1.53,3.01){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,4)
\rput[bl](-0.36,4.09){\xdxdff{$E$}}
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,7)
\rput[bl](6.1,7.13){\blue{$G$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,7)
\rput[bl](2.09,7.13){\blue{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,1.5)
\rput[bl](3.1,1.65){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,2)
\rput[bl](-0.31,1.99){\darkgray{$J$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{minipage}

\begin{ExoF}
 Dans un repère orthonormé \Oijk , on donne les points $A(-1;1;2)$, $B(0;1;0)$ et $C(2;0;3)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les produits scalaires :
   $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} \qquad ; \qquad  \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
\qquad ; \qquad \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$$
 \item Déterminer une valeur approchée, à $0,1^{\circ}$, les mesures en degrés des angles géométriques :
 $\widehat{CAB}$, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BCA}$
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Soient $ABCD$ un tétraèdre régulier de côté $a$ et $I$ le milieu du segment $[BC]$.\\
 Déterminer un valeur approchée en degré de la mesure de l'angle $\widehat{AID}$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On considère un tétraèdre régulier $ABCD$, $I$ et $J$ les milieux respectifs des arêtes $[AB]$ et $[CD]$.\\
 $G$ est le milieu du segment $[IJ]$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{GA} \cdot \overrightarrow{GC}$.
  \item En déduire à $0,1^{\circ}$  près la mesure de l'angle $\widehat{AGC}$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère un tétraèdre $ABCD$, dans lequel la face $ABC$ est un triangle équilatéral de côté $1$, et les faces $ACD$ et
 $BCD$ sont des triangles isocèles rectangles en $C$.
 \begin{itemize}
  \item Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB}$. puis 
  $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}$.
  \item Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $B$ dans le triangle $ABD$. En exprimant d'une autre façon le 
  produit scalaire $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}$, déterminer la position de $H$ sur le 
  segment $[AD]$.
  \item Calculer une valeur approchée de l'angle géométrique $\widehat{HCB}$.
 \end{itemize}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. Etablir l'équivalence :
$$ \left| \overrightarrow{u}\cdot \vec{v}\right|
=\left|\left|\vec{u}\right|\right|\times \left|\left|\vec{v}\right|\right|
\Longleftrightarrow \vec{u}\text{ et }\vec{v}\text{ sont colinéaires.}$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère les points $A(3;4;-2)$, $B(1;6;0)$ et 
$C(-2;2;1)$.\\
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle. 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans un repère orthonormé \Oijk on donne les droites $\Delta$ et $\Delta '$ de représentations paramétriques
 suivantes :
 $$\left\{\begin{array}{lc}
           x=-1+t \\ y= 1-t & , t\in\R \\ z=-7+3t
          \end{array}\right.
          \qquad \text{ et } \qquad
          \left\{\begin{array}{lc}
           x=5-3t' \\ y= 1-3t' & , t'\in\R \\ z=2t'
          \end{array}\right.
$$
Démontrer que les droites $\Delta$ et $\Delta'$ sont orthogonales.
Sont-elles perpendiculaires ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans le cube $ABCDEFGH$ où $P$ est le milieu du segment $[HF]$. Quelles sont les positions relatives
 des droites $(AP)$ et $(HF)$ ? des droites $(AP)$ et $(EC)$ ?
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
 Dans un repère orthonormé \Oijk , on donne le point $A(-1;2;0)$.
 \begin{enumerate}
  %\item Rappeler la définition de la sphère $(S)$ de centre $A$ de rayon $3$.
  \item Démontrer qu'une équation de la sphère  $(S)$ de centre $A$ et de rayon $3$ est 
  $x^2+y^2+z^2+2x-4y-4=0$
  \item Déterminer les points $I$ et $J$ communs à $(S)$ et à la droite passant par $A$ et de vecteur directeur 
  $\vec u \left(-1 ; \dfrac12 ; 1 \right)$
  \item Sans calculs, déterminer $IJ$.
  \item Justifier que $(S)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que 
  $\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{MJ}=0$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Donner une équation cartésienne du plan passant par $A$ et admettant $\vec{n}$ comme vecteur normal, 
dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A(3;-1;2)$ et $\vec{n}(1;0;-4)$
\item $A(1;-1;0)$ et $\vec{n}(1;1;-2)$
\item $A(-2;1;2)$ et $\vec{n}=\vec{i}+\vec{j}$
\item $A(3;4;5)$ et $\vec{n}\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{5}\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Vérifier que chaque équation proposée est l'équation cartésienne d'un plan et trouver un point de ce plan et un vecteur normal :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $3x-5y+z-1=0$ 
\item $x=y$
\item $3z-x-3=0$
\item $y=-2x+1$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Dans chaque cas, donner une équation cartésienne du plan $P$ (déterminer d'abord un point de ce plan et un vecteur normal) :
\begin{enumerate}
\item $P$ est le plan médiateur du segment $[AB]$ avec $A(-1;3;1)$ et $B(0;5;-3)$.
\item $P$ est le plan orthogonal à la droite $(AC)$ passant par l'orthocentre du triangle $ABC$ avec $A(3;0;4)$, $B(-1;1;1)$ et $C(2;0;0)$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
Quelle est l'équation générale d'un plan parallèle au plan $(xOy)$ ? d'un plan perpendiculaire à $(xOy)$ ? 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $P:2x-z=0$ et $d : \left\{ \begin{array}{l} x=t-1\\ y=-3t \\ z=2  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$. \\
Déterminer les coordonnées du point $A=P\cap d$. 
\end{ExoF}
 


\begin{ExoF}
On donne $A(1 ; -1 ; 0)$, $B(0 ; -1 ; 1)$, $C(3 ; -2 ; 0)$ et $D(2 ; -3 ; 3) $.\\
Etudier l'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$.  
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ définie, intersection des plans $P$ et $Q$ d'équations respectives :
$$ P : 2x+y-z-2=0\qquad \text{et}\qquad Q : x+3y+7z -11=0 $$ 
\end{ExoF}




%\begin{ExoF}
% Déterminer l'intersection des plans $P$, $Q$ et $R$ avec :
%$$ P : 2x+3y-2z-2=0\qquad \text{et}\qquad  Q : 4x-3y+z-4=0\qquad \text{et}\qquad R : 2x+12y-7z-2=0$$
%\end{ExoF}


\end{document}

