\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Logarithme n\'ep\'erien pour attendre ! }  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 10}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\setcounter{NumLecon}{10}

%\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.5cm}
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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\DocCha

\begin{ExoF}
 Simplifier l'expression suivante :
 $$\ln \dfrac{1}{2}+\ln \dfrac{2}{3}+\dots +\ln \dfrac{98}{99}+\ln \dfrac{99}{100}$$
 Proposer une autre méthode de simplification pour retrouver le résultat précédent.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Démontrer que les fonctions suivantes sont impaires :
\begin{enumerate}
\item $f$ est définie sur $]-3;3[$ par $$ f(x)=\ln \dfrac{3-x}{3+x}$$
\item $ g$ est définie sur $\R$ par $$ g(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1}$$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\textit{Datation au carbone $14$}\\
Les archéologues et les paléontologues datent les objets découverts contenant du carbone (restes d'êtres vivants : os, fossiles, $\dots$) en mesurant la proportion de l'un de ses isotopes, le carbone $14$, encore présent dans l'objet.\\
En effet, à  la mort d'un être vivant, le carbone $14$ présent dans son organisme se désintègre au fil des années, de sorte que, si $p$ est la proportion de $C_{14}$ restante au bout de $N$ années, alors $N=-8310 \ln p$
\begin{enumerate}
\item Le squelette d'un \og Homme de Cro-Magnon \fg contient $5\%$ du carbone $14$ initial. Quel âge-a-t-il ?
\item Lucy est la forme la plus ancienne d'Hominidé connu ; les spécialiste lui donnent $4,4$ millions d'années.\\
A-t-on pu raisonnablement dater les fragments trouvés à  l'aide du carbone $14$ ?
\item Découverte dans un glacier en $1991$, la momie Hibernatus contenait $52,8\%$ (à  $1\%$ près) du carbone $14$ initial. Donner un encadrement de l'âge d'Hibernatus.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \textit{Radioactivité}\\
La loi d'évolution d'un corps radioactif est donnée par la formule $N_1=N_0e^{-at}$, $a$ étant une constante positive et $N_t$ le nombre d'atomes contenus dans un échantillon de ce corps au temps $t$.
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement la fonction $t\longmapsto N_t$
\item On désigne par $T$ le temps au bout duquel $N_T=\dfrac{1}{2}N_0$.\\
Exprimer $a$ en fonction de $T$. Comparer $N_{t+T}$ à  $N_t$. $T$ est appelé \og demi-vie \fg ou \og période \fg du corps radioactif.
\item Au bout de combien de temps $1$ g de radium perdra-t-il une masse de $1$ mg (la période du radium étant de $1622$ ans) ?\\
(La masse est proportionnelle au nombre d'atomes.)
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Déterminer le plus petit entier $n$ vérifiant :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $1,0001^n>10^{100}$
\item $0,999^n<10^{-100}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Calculer les limites, si elles existent, des fonctions suivantes en $0$ et en $+\infty$.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x\longmapsto \sqrt{1+\ln^2 x}$
\item $x\longmapsto \dfrac{\ln x}{x^2}$
\item $x\longmapsto x-\ln x$ 
\item $x\longmapsto \dfrac{\ln x}{\sqrt{x} }$
\item $x\longmapsto \sqrt{x}\ln x$
\item $x\longmapsto x\ln \sqrt{x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par 
$$ f(x)=\dfrac{\ln x+xe}{x^2}$$
On note $\Gamma$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal $(Oâ€¢\vec u, \vec v)$, unité graphique : $2$ cm.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Etude d'une fonction auxiliaire.}
\\
On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par : 
$$ g(x)=-2\ln x-xe+1$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$.
\item Etudier le sens de variation de $g$.
\item Montrer que, dans $[0,5;1]$, l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une seule, notée $\alpha$.
\\
Déterminer un encadrement de $\alpha $ à  $0,1$ près.
\item En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Etude de la fonction $f$}\\
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Vérifier que $$ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$$
puis étudier le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty[$.
\item Montrer que $$ f(\alpha)=\dfrac{1+\alpha e}{2\alpha^2}$$
\item Donner le tableau de variations de $f$.
\item Construire $\Gamma$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \hfill \textbf{Amérique du nord 2013}\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]
et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous : 
\begin{center}
\psset{xunit=3.5cm,yunit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-1)(4,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{3.5}{x ln 1 add x dup mul div}
\uput[u](1.2,0.85){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$. 
		\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.  
\\
Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 
\[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
		\item Résoudre sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$.
	\\	 
En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées. 
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
%\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Démontrer que $0 \leqslant  I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$.
%		\\ 
%On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
%		\item Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. 
%		\item Étudier la limite de $I_{n}$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
%	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \hfill \textbf{Métropole 2013}\\
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] 0~;~+ \infty[$. 
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,2)
\psline(-1.5,2)(9,2)
\uput[dr](1,0){A}\uput[u](1,2){B}\uput[ul](0,2){C}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div}
\end{pspicture}
\end{center}
On dispose des informations suivantes :
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1\,, 0), (1\,, 2), (0\,, 2); 
\item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point B et la droite (BC) est tangente à $\mathcal{C}$ en B; 
\item il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}  
\[f(x) = \dfrac{a+ b\ln x}{x}. \]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. 
		\item Vérifier que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$. 
		\item En déduire les réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate} 	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,, +\infty[,\: f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$. 
		\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout réel  
$x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\;\dfrac{\ln x}{x}$. 
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0\,, 1]$. 
		\item Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle $]1\,, + \infty]$ tel que $f(\beta) = 1$.
 \\
Déterminer l'entier $n$ tel que $n < \beta < n + 1$.
	\end{enumerate}		
\item On donne l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Variables :& $a, b$ et $m$ sont des nombres réels.\\ 
Initialisation :& Affecter à $a$ la valeur $0$. \\
	&Affecter à $b$ la valeur 1.\\ 
Traitement :& Tant que $b - a > 0,1$\\ 
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.\\ 
~~& Si $f(m) < 1$ alors Affecter à $a$ la valeur $m$.\\ 
~~&Sinon Affecter à $b$ la valeur $m$.\\ 
~~&Fin de Si.\\
\end{tabular}\\ 
&Fin de Tant que.\\ 
Sortie :&Afficher $a$.\\
& Afficher $b$.\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center} 
	\begin{enumerate}
		\item Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&étape 1 &étape 2 &étape 3 &étape 4 &étape 5 \\ \hline
$a$&0&&&&\\ \hline 
$b$&1&&&&\\ \hline 
$b - a$&&&&&\\ \hline 
$m$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ? 
		\item Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate} 	
%\item Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1$. 
%		\item En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x}  \times  \ln x$, terminer la démonstration.
%	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}