\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Vous saviez d\'ej\`a que les math\'ematiques \linebreak[4] \'etaient complexes !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

~ \vspace{0.5cm}

\begin{ExoF}
 Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item La partie réelle de $2i-3$ est $-3$.
  \item La partie imaginaire de $4+5i$ est $5i$.
  \item Les entiers naturels sont des nombres complexes.
  \item $(1+i)^2$ est un imaginaire pur.
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans chacun des cas suivants, déterminer les parties réelles et imaginaires du nombre  $z$.
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $z=(3-i)^2$
  \item $z=(2i-1)(3+i)$
  \item $z=3i(1+i)-5(2-3i)$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Résoudre dans $\C$ les équations suivantes. \textit{On donnera les solutions sous forme alégbrique.}
 \begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $3z+2-i=z+5+4i$
  \item $(1+i)z=3-2i$
  \item $-1-z^2=0$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{Equation produit dans }$\C$
 \begin{enumerate}
  \item Soit $z$ un nombre complexe de forme algébrique $x+iy$. Justifier que $0\times z = 0$.
  \item Soit $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes tels que $z_1 \times z_2 = 0$.
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que si $z_1\neq 0$ alors $z_2=0$.\\
   \textit{On pourra utiliser l'inverse de $z$.}
   \item Formuler la propriété ainsi démontrée.
  \end{enumerate}
 \item Résoudre dans $\C$ l'équation suivante : \quad $(z^2-4)(z^2+4)=0$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Résoudre dans $\C$ les équations suivantes. \textit{On donnera les solutions sous forme alégbrique.}
 \begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
   \item $(2-i)z+1=(3+2i)z-i$ \item $z+2i=iz-1$ \item $(3+2i)(z-1)=i$
  \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
 \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
   \item L'équation $z^2-z-2=0$ n'a pas de solution dans $\C$
   \item L'équation $z^4-1=0$ a quatre solutions dans $\C$
   \item L'équation $z^4-1=0$ a quatre solutions dans $\R$
   \item Pour tout nombre complexe $z$, $2z^2+6z+5=(z+1.5-0.5i)(2z+3+i)$
  \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $a$ est différent de $0$.\\
 Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
   \begin{enumerate}
   \item L'équation $az^2+bz+c=0$ a deux solutions distinctes dans $\C$
   \item Si l'équation $az^2+bz+c=0$ a pour solutions $z_1$ et $z_2$ dans $\C$, alors $z_1=\overline{z_2}$
   \item Si l'équation $az^2+bz+c=0$ a pour solutions $z_1$ et $z_2$ dans $\C$, alors $az^2+bz+c=a(z+z_1)(z+z_2)$ 
   \item Pour tout nombre complexe $z$, $2z^2+6z+5=(z+1.5-0.5i)(2z+3+i)$
  \end{enumerate}
 \end{ExoF}

 \newpage
 \begin{ExoF}
  Si $n$ est un entier naturel non nul, on dit que le nombre complexe $z$ est une racine n-ième de l'unité si on a : $z^n=1$
\begin{enumerate}
 \item si $n=3$.
 \begin{enumerate}
   \item Déterminer une racine évidente dans $\C$ de l'équation $z^3=1$
   \item Justifier que $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$
   \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^3=1$
  \end{enumerate}
 \item si $n=4$.
 \begin{enumerate}
   \item Déterminer deux racines évidentes dans $\C$ de l'équation $z^4=1$
   \item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $z^4-1=(z^2-1)(az^2+bz+c)$
   \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^4=1$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}  
 \end{ExoF}

 \begin{ExoF}
  On pose $P(z)=z^3-(6+i)z^2+\alpha z - 13i$ , où $\alpha$ est un nombre complexe.
  \begin{enumerate}
   \item Calculer $\alpha$ pour que $P(i)=0$.
   \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout complexe $z$, $P(z)=(z-i)(z^2+az+b)$
   \item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$.
  \end{enumerate}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Résoudre dans $\C$ les systèmes suivants :
 \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
   \item $\left\{\begin{array}{l}
                  z+z' = 2 \\ zz'=17
                 \end{array}\right.$
   \item $\left\{\begin{array}{l}
                  z+z' = 5 \\ zz'=6.5
                 \end{array}\right.$
  \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}
 
 \begin{ExoF}
  On considère dans l'ensemble des nombes complexes, l'équation $(E)$ d'inconnue $z$ :
  $$z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i=0$$
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que $(E)$ a une solution imaginaire pure.
   \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que :
   $$z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i=(z+i)(z^2+az+b)$$
   \item Résoudre l'équation $(E)$ dans $\C$.
  \end{enumerate}
 \end{ExoF}

 \begin{ExoF}
  On définit la fonction polynôme $f$ de $\C$ dans $\C$ par :
  $$f(z)=z^4-6z^3+14z^2-24z+40$$
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que l'équation $f(z)=0$ a deux solutions imaginaires pures.\\
   \textit{On pourra poser $z=iy$ avec $y\in\R$, puis mettre $f(iy)$ sous forme algébrique et enfin traduire la nullité de $f(iy)$ par un système.}
 \item Trouver deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $z\in\C$, on ait :
 $$f(z)=(z^2+az+b)(z^2+4)$$
 \item En déduire l'ensemble des solutions dans $\C$ de l'équation $f(z)=0$.
   \end{enumerate}

 \end{ExoF}

 
 
\end{document}