\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{AP}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{La suite des Suites !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{R\'ecurrence}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

%\section*{Le raisonnement par récurrence}


Soit un réel $a>0$. On considère les propriétés suivantes écrites \og au rang $n$ \fg, 
où $n$ est un entier naturel :
\begin{itemize}
 \item $P(n) : \og 10^n-1 $ est divisible par $9$ \fg
 \item $Q(n) : \og (1+a)^n \geq 1+na \fg $
 \item $R(n) : \og 1\times 2 + 2\times 3 + 3\times 4 + \dots + n\times (n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} \fg$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Initialisation :}
 \begin{enumerate}
  \item Ecrire chacune des propriétés au rang $0$ et préciser si elle est  vraie au rang $0$.
  \item Reprendre la question précédente pour le rang $1$.
 \end{enumerate}
\item \textbf{Hérédité : } On suppose chacune de ces propriétés vraies pour un certain rang $k$.
\begin{enumerate}
 \item Ecrire chaque propriété au rang $(k+1)$.
 \item Peut-on alors démontrer qu'elles sont également vraies au rang $(k+1)$ ?
\end{enumerate}
\item \textbf{Un exemple à compléter : } Fabrice affirme que pour tout entier $n \in \N^*$ on a :
 $$1^2+2^2+3^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
Compléter sa démonstration par récurrence suivante.\\
\textcolor{blue}{On note $P(n)$ la proposition $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$  }\\
\begin{itemize}
 \item \textcolor{blue}{\textbf{Initialisation :} pour $n=$}
 \begin{itemize}
  \item \textcolor{red}{$1^2+2^2+3^2 + \dots + n^2 =$ \\
\item Et $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = $}\\\\
 \end{itemize}
\textcolor{blue}{Donc la proposition est vraie au rang $\qquad$\\
\item \textbf{Hérédité :} On suppose qu'il existe un entier $k \geq \qquad\qquad $ tel que $\qquad$ \\\\
On cherche à montrer que} $\qquad$ \\\\
$\begin{array}{llcr}
\text{\textcolor{blue}{Or }}& \textcolor{red}{1^2+2^2+3^2+ \dots + \dots +k^2+ (k+1)^2} & = & \\\\
&& = & \\\\
&& = &
\end{array}$\\\\
\textcolor{blue}{La proposition est vraie au rang $\qquad$ \\
Donc la proposition est $\qquad$ \\
 \item \textbf{Conclusion} :
La proposition est $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ et $\qquad$\\
Elle est donc vraie pour tout $n \geq \qquad$}
\end{itemize} 
 \item U\textbf{n exemple à faire tout seul : } On considère la suite $(u_n)_{\N}$ définie par $\left\{\begin{array}{l}
                                                      u_0=1 \\ u_{n+1}=u_n+2n+3
                                                     \end{array}\right.$\\
Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a $u_n=(n+1)^2$.

\item \textbf{L'importance de l'initialisation}
\begin{enumerate}
 \item La propriété $T(n) : \og 10^n+1 $ est divisible par $9$ \fg est-elle héréditaire pour tout $n\geq 1$ ?
\item Est-elle vraie pour tout $n\geq 1$ ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}