\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{AP}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{La suite des Suites !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Algo}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

%\section*{Le raisonnement par récurrence}

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
$$u_n=\sin\dfrac1{n^2} + \sin\dfrac2{n^2} + \dots + \sin\dfrac{n}{n^2}= \sum_{k=\quad}^{\,} \sin\dfrac{\,}{n^2}$$
\textbf{On se propose de prouver que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $a$ que l'on déterminera.}\\\\
\partieBac{Approche à l'aide d'un algorithme}
\begin{minipage}{9.cm}
On souhaite construire un algorithme permettant de calculer $u_n$ pour tout entier $n\geq 1$. 
\begin{enumerate}
 \item On propose l'algorithme incomplet ci-contre. \\
 Le compléter de façon à résoudre le problème.
 \item Programmer cet algorithme sur votre calculatrice et donner des valeurs approchées de $u_{10}$,
 $u_{50}$ et $u_{100}$.\\
 \textit{Vérifier que l'unité d'angle de votre calculatrice est bien le radian.}
 \item Conjecturer les variations de la suite $(u_n)$ et sa limite éventuelle.
\end{enumerate}
\end{minipage}\qquad
\begin{minipage}{8cm}
 \Algo{8cm}{
  \Entree{
    $n$ est un nombre entier non nul
  }
  \Variable{
    $i$ est un nombre entier non nul\\
    $u$ est un nombre réel.
  }
  \Deb{
    $u\leftarrow 0$\\
    \For{$i$ allant de \dots\dots à \dots\dots}{
      $u \leftarrow u+ \dots$
    }
    Renvoyer $u$.
  }
 }
\end{minipage}\\\\
\partieBac{Stratégie}
On admet que pour tout réel $x\in\left[0;\dfrac{\pi}2\right]$ on a :
$$x-\dfrac{x^3}6 \leq \sin x \leq x$$
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
$$v_n=\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \dots + \dfrac{n}{n^2} = \sum_{}^{}$$
\begin{enumerate}
 \item Calculer $v_n$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $(v_n)$.
 \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geq 1$ on a :
 $$\sum_{k=1}^{n}k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$$
 \item Démontrer que pour tout entier $n$ non nul :
 $$v_n-\dfrac1{24} \times \dfrac{(n+1)^2}{n^4}\leq u_n \leq v_n$$
 \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$ et vérifier la conjecturer émise dans la partie A.
 
\end{enumerate}


 
\end{document}