\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Annales} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Chapitre 12}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Les maths : l'int\'egrale !}  %% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG6}				%% Classe
\newcommand{\num}{12}				%%% Numero du chapitre
\newcommand{\Annee}{2013-2014}			%%% Date ou année


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.3cm,rmargin=1.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF}  \textbf{Nouvelle Calédonie Mars 2014 \hfill (5 points)}\\
 \textbf{Partie A}
 
Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty [$ par :
\quad $f(x) = x\ln (x)$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
 Montrer que \quad
 $f'(x) = \ln(x) + 1$. 
\item Déterminer les variations de $f$ sur $]0~;~+ \infty [$.
\end{enumerate}

 
\noindent \begin{minipage}{8cm}
 \textbf{Partie B}

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
 
Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$.

On utilise l'algorithme suivant pour calculer, par la méthode des rectangles, une valeur approchée de 
l'aire $\mathcal{A}$. (voir la figure ci-contre).  
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center}
\psset{unit=3.6cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.4)(2.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.4)(2.5,1.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.001}{2.1}{x x ln mul}
\psframe[fillstyle=hlines](1,0)(1.25,0.279)
\psframe[fillstyle=hlines](1.25,0)(1.5,0.608)
\psframe[fillstyle=hlines](1.5,0)(1.75,0.979)
\psframe[fillstyle=hlines](1.75,0)(2,1.386)
\psframe[fillstyle=vlines](1.25,0)(1.5,0.279)
\psframe[fillstyle=vlines](1.5,0)(1.75,0.608)
\psframe[fillstyle=vlines](1.75,0)(2,0.979)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](0.7,-0.2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
 \end{minipage}

\textbf{Algorithme :}

\begin{center}
\begin{tabular}{|L{3cm}|L{10cm}|}\hline
\textbf{Variables} & 
$k$ et $n$ sont des entiers naturels \\
$U, V$ sont des nombres réels\tabularnewline\hline
\textbf{Initialisation} & 
 $U$ prend la valeur 0\\
$V$ prend la valeur 0\\
$n$ prend la valeur 4\tabularnewline\hline
\textbf{Traitement}&
Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
\hspace{0,3cm} Affecter à $U$ la valeur $U + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right)$\\ 
\hspace{0,3cm} Affecter à $V$ la valeur $V + \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k + 1}{n}\right)$\\ 
Fin pour  \tabularnewline\hline
\textbf{Affichage} &
 Afficher $U$\\ 
 Afficher $V$ \tabularnewline \hline
\end{tabular}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représentent $U$ et $V$ sur le graphique précédent ? 
		\item Quelles sont les valeurs $U$ et $V$ affichées en sortie de l'algorithme (on donnera une valeur approchée de $U$ par défaut à $10^{-4}$ près et une valeur approchée par excès de $V$ à $10^{-4}$ près) ? 
		\item En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate} 
\item Soient les suites $\left(U_{n}\right)$ et $\left(V_{n}\right)$ définies pour tout entier $n$ non nul par : 
\renewcommand\arraystretch{1}
\[\begin{array}{l c l}
U_{n}& =&\dfrac{1}{n}\left[f(1) + f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots  + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right)\right]\\
 V_{n}&=&\dfrac{1}{n}\left[f\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) + f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) + \cdots + f\left(1 + \dfrac{n-1}{n}\right) + f(2)\right]
\end{array}.\]
\renewcommand\arraystretch{1}
On admettra que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $U_{n} \leqslant \mathcal{A} \leqslant  V_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Trouver le plus petit entier $n$ tel que $V_{n} - U_{n} < 0,1$. 
		\item Comment modifier l'algorithme précédent pour qu'il permette d'obtenir un encadrement de $\mathcal{A}$ d'amplitude inférieure à $0,1$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\noindent\textbf{Partie C}

Soit $F$ la fonction dérivable, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par  :
\quad $F(x) = \dfrac{x^2}{2} \ln x -  \dfrac{x^2}{4}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Liban mai 2013 \hfill (6 points)}
\\  
Étant donné un nombre réel $k$, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\R$ par 
\quad $f_{k}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- kx}}$
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

\noindent\textbf{Partie A}

Dans cette partie on choisit $k = 1$. On a donc, pour tout réel $x,f_{1}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}$.
 
La représentation graphique $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$ dans le repère \Oij{} est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f_{1}(x)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus. 
\item Démontrer que, pour tout réel $x, f_{1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{1 +  \text{e}^{x}}$. 
\item On appelle $f'_{1}$ la fonction dérivée de $f_{1}$ sur $\R$. Calculer, pour tout réel $x,\: f'_{1}(x)$. 

En déduire les variations de la fonction $f_{1}$ sur $\R$. 
\item On définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^1  f_{1}(x)\:\text{d}x$. 

Montrer que $I = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$. Donner une interprétation graphique de $I$.
\end{enumerate}
 
\noindent \textbf{Partie B}
 
Dans cette partie, on choisit $k = - 1$ et on souhaite tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ représentant la fonction $f_{- 1}$. 

Pour tout réel $x$, on appelle $P$ le point de $\mathcal{C}_{1}$ d'abscisse $x$ et $M $ le point de $\mathcal{C}_{- 1}$ d'abscisse $x$.
 
On note $K$ le milieu du segment $[MP]$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f_{1}(x) + f_{- 1}(x) = 1$. 
\item En déduire que le point $K$ appartient à la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$. 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie. 
\item En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{- 1}$ l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. 
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie C}

Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre $k$.
 
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
\begin{enumerate}
\item Quelle que soit la valeur du nombre réel $k$, la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ est strictement comprise entre les droites d'équations $y = 0$ et $y = 1$. 
\item Quelle que soit la valeur du réel $k$, la fonction $f_{k}$ est strictement croissante. 
\item Pour tout réel $k \geqslant 10,\: f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right) \geqslant  0,99$. 
\end{enumerate} 
\begin{center}
 
Représentation graphique $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$

\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-2)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(4,2)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
\rput(-1.5,0.35){$\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Amérique du Nord Mai 2013 \hfill (5 points)}\\ 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
\quad $f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}$\\
Et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{xunit=3.5cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-1)(4,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{3.5}{x ln 1 add x dup mul div}
\uput[u](1.2,0.85){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$. 
		\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.  

Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 
\quad $f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.$
		\item Résoudre sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$.
		 
En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées. 
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $0 \leqslant  I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$.
		 
On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Étudier la limite de $I_{n}$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Polynésie Juin 2013 \hfill (6 points)}\\
 On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \quad
$f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}$

 On note $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item Étude de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathscr C$ avec les axes du repère.
		\item Étudier les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\mathscr C$.
		\item Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\item Calcul d'une valeur approchée de l'aire sous une courbe.

On note $\mathscr D$ le domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr C$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$. On approche l'aire du domaine $\mathscr D$ en calculant une somme d'aires de rectangles.
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question, on découpe l'intervalle $[0~;~1]$ en quatre intervalles de même longueur :
    \begin{itemize}
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{1}{4} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f(0)$
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left( \dfrac{1}{4} \right)$
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{4} \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left(\dfrac{1}{2} \right)$
    \item[$\bullet$] Sur l'intervalle $\left[ \dfrac{3}{4}~;~1 \right]$, on construit un rectangle de hauteur $f\left( \dfrac{3}{4} \right)$
    \end{itemize}
\begin{minipage}{7cm}
 Cette construction est illustrée ci-contre.
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center}
\psset{xunit=6cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.2,2.2)
    
\psframe*[linecolor=yellow](0,0)(0.25,2)
\psframe*[linecolor=yellow](0.25,0)(0.5,1.7523)
\psframe*[linecolor=yellow](0.50,0)(0.75,1.5163)
\psframe*[linecolor=yellow](0.75,0)(1,1.299)
\uput[d](0.125,1.85){$\mathscr{C}$}
\psframe(0,0)(0.25,2)
\psframe(0.25,0)(0.5,1.7523)
\psframe(0.50,0)(0.75,1.5163)
\psframe(0.75,0)(1,1.299)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{1}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.2)(1.2,2.2)
\uput[dl](0,0){O}    
\end{pspicture}    
%\begin{asy}
%import graph;
%usepackage("mathrsfs");
%unitsize(6cm, 3cm);
%
%real f(real x) {return (x+2)*exp(-x);}
%path cf=graph(f, 0,1);
%
%for(int i=0; i<4; ++i) {
%  real x=0.25*i;
%  path p=(x, 0)--(x+.25, 0)--( x+.25, f(x))--(x, f(x))--cycle;
%  filldraw(p, lightyellow, black);
%}
%
%draw(cf, linewidth(1pt));
%xaxis(-.1, 1.1, Ticks(NoZero, Step=1, step=0), Arrow);
%yaxis(-.1, 2.1, Ticks(NoZero, Step=1, step=0), Arrow);
%label("$O$", (0,0), SW);
%label("$\mathscr C$", (.2, f(.2)), SW);
%\end{asy}
      % \includegraphics{BacS-Polynesie-2013-aire}      
    \end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{7cm}
L'algorithme\index{algorithme} ci-contre permet d'obtenir une valeur approchée de l'aire du domaine 
$\mathscr D$ en ajoutant les aires des quatre rectangles précédents.\\
Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près du résultat affiché par cet algorithme.
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|rl|}
        \hline
        Variables : & $k$ est un nombre entier \\
        & $S$ est un nombre réel \\
        Initialisation : & Affecter à $S$ la valeur 0 \\
        Traitement : & Pour $k$ variant de 0 à 3 \\
        & $\phantom{a}\left\vert \text{ Affecter à } S \text{ la valeur } S+\dfrac{1}{4} f\left( \dfrac{k}{4} \right)\right.$ \\
        & Fin Pour \\
        Sortie : & Afficher $S$ \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
    \end{minipage}
  		\item Dans cette question, $N$ est un nombre entier strictement supérieur à 1. On découpe l'intervalle $[0~;~1]$ en $N$ intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu'à la question 2.a.

Modifier l'algorithme précédent afin qu'il affiche en sortie la somme des aires des $N$ rectangles ainsi construits.
	\end{enumerate}
\item Calcul de la valeur exacte de l'aire sous une courbe.

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \quad $g(x)=(- x - 3) \text{e}^{-x}$
  
On admet que $g$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire $\mathscr A$ du domaine $\mathscr D$, exprimée en unités d'aire.
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de l'erreur commise en remplaçant $\mathscr A$ par la valeur approchée trouvée au moyen de l'algorithme de la question 2. a, c'est-à-dire l'écart entre ces deux valeurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

%\newpage
\begin{ExoF} \textbf{Centres Etrangers Juin 2013 \hfill (5 points)}\\
 On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ~;~1]$ par : 
\quad $g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}$

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ 1]$, $g(x) >0$.

\parbox{10cm}{On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr{D}$ le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, d'autre part entre les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1 $.\\
La courbe $\mathscr{C}$ et le domaine $\mathscr{D}$ sont représentés ci-contre.}\hfill\parbox{8cm}{

\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.5,2.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\def\f{1+EXP(-x)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
\def\inf{0} \def\sup{1}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}\\
\uput[u](0.5,1){$\mathscr{D}$}
\uput[d](1.2,0){$x$}
\uput[l](0,2){$y$}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}}


Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire, 
d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

\noindent\textbf{Partie A}

\parbox{8cm}{Soit $a$ un réel tel que $0\leqslant a\leqslant 1$.\\
On note $\mathscr{A}_{1}$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe $(Ox)$,les droites d'équation $x = 0$ et $x =a$ , puis $\mathscr{A}_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, $(Ox)$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = 1$.\\ 
$\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont exprimées en unités d'aire. }\hfill
\parbox{8cm}{

\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.4,2.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\def\f{1+EXP(-x)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
\def\inf{0} \def\sup{0.4}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\def\inf{0.4} \def\sup{1}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange, hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\psline(0.4,0)(0.4,2)
\uput[u](0.2,1){$\mathscr{A}_{1}$}
\uput[u](0.6,1){$\mathscr{A}_{2}$}
\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}
\uput[d](0.4,0){$a$}
\uput[d](1.2,0){$x$}
\uput[l](0,2){$y$}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\mathscr{A}_{1}= a - \mathrm{e}^{-a} + 1$.
		\item Exprimer $\mathscr{A}_{2}$ en fonction de $a$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$ par : 
\quad $f(x) =2x - 2\,\mathrm{e}^{- x} + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$. 
		\item Démontrer que la fonction $f$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle $[0~;~1]$. en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont égales.
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie B}

Soit $b$ un réel positif.

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire par la droite d'équation $y=b$. On admet qu'il existe un unique réel $b$ positif solution. 
\begin{enumerate}
\item Justifier l'inégalité $b<1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$. On pourra utiliser un argument graphique. 
\item Déterminer la valeur exacte du réel $b$. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Antilles Guyane Juin 2013 \hfill (5 points)}\\
 Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

\noindent\textbf{Partie A}

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ telle que :
\quad
$f(x) = (x + 1)\text{e}^x$

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.\\
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie B}

On définie la fonction $g_m$ sur $\R$ par :
\quad 
$g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}$\\
et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère \Oij du plan.
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
		\item Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection 
		de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
	\end{enumerate}
\item On a représenté en annexe
les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\e}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ 
(obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).

Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.
\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la 
droite $\mathcal{D} : y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les 
		courbes $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(\text{O}y)$ et 
		la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur l'annexe.
		\item Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan 
		comprise entre $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, 
		l'axe $(\text{O}y)$ et la droite $\Delta_a$ d'équation $x=a$. 
		On désigne par $\mathcal{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, 
		exprimée en unités d'aire.
		
Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathcal{A}(a) = 2\text{e} - 2\mathbf{\text{e}}^{1 - a}$.

En déduire la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-3)(5,6)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-3)(5,6)
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{-2.0}{5.0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
\psplot{-2}{5}{(--1--1*x)/1}
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=cyan]{-2.0}{5.0}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.6,4.89){Courbe 1}
\rput[tl](-1.6,0.75){Courbe 2}
\rput[tl](0.2,-1.71){Courbe 3}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Métropole juin 2013 \hfill (Extrait)}\\
\begin{minipage}{7cm}
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, la courbe 
représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] 0~;~+ \infty[$
par \quad $f(x) = \dfrac{2+ 2\ln x}{x}. $
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,2)
\psline(-1.5,2)(9,2)
\uput[dr](1,0){A}\uput[u](1,2){B}\uput[ul](0,2){C}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{minipage}

Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1$. 
		\item En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x}  \times  \ln x$, terminer la démonstration.
	\end{enumerate} 
\end{ExoF}
 
\begin{ExoF} \textbf{Métropole Juin 2012 \hfill (Extrait)}\\
 Soit $k$ un entier strictement positif.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier l'inégalité \quad $\int_k^{k+1} \left(\dfrac1k - \dfrac1x \right)dx \geq 0$
  \item En déduire que \quad $\int_k^{k+1} \dfrac1x dx \leq \dfrac1k$
  \item Démontrer alors l'inégalité \quad $\ln(k+1)-\ln(k) \leq \dfrac1k$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}
 


\end{document}
