\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Annales}
\newcommand{\Ch}{Produit Scalaire dans l'espace}		
\newcommand{\ch}{Chapitre 11}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
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\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\setcounter{NumLecon}{11}

%\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.5cm}
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=0.8cm,rmargin=1.2cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\DocCha

\section{Pondichéry Avril 2013}
\emph{Une seule réponse, sans justification, sans pénalité}

L'espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels.

Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$. 

Le plan (S) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t + 2t'\\
y&=&- t - 2t'\\
z&=&- 1 - t + 3t'
\end{array}\right.$ 

La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t\\
y&=&- t \\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right.$
 
On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$.

\begin{enumerate}
\item Une représentation paramétrique du plan (P) est : 


\scriptsize{\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t\\y&=& 1- 2t\\ z&=& -1 + 3t \end{array}\right.$&
\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t + 2t'\\y&=& 1- t + t'\\z&=& - 1 - t\end{array}\right.$&
\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 	 
x&=&t + t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$& 
\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t + t'\\y&=& 1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1 - t'\end{array}\right.$
\end{tabularx}} \normalsize

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A$(- 8~;~3~;~2)$. 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires. 
		\item La droite (D) est une droite du plan (P). 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
	\end{enumerate}		 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les plans (P) et (S) sont parallèles. 
		\item La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&t\\y&=&- 2 - t\\z &=& -3-t \end{array}\right.$ est la droite d'intersection des plans  (P) et (S). 
		\item Le point M appartient à l'intersection des plans (P) et (S). 
		\item Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\section{Centres Etrangers juin 2013}
\emph{Questions indépendantes, 
Vrai ou faux avec justification. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.}


Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère 
\begin{itemize}
\item les points A $(12~;~0~;~0)$, B $( 0~;~-15~;~0)$, C $( 0~;~0~;~20)$, D $(2~;~7~;~- 6)$, E $(7~;~3~;~-3)$;
\item le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $2x + y - 2z - 5 = 0 $
\end{itemize}



\textbf{Affirmation 1} :
Une équation cartésienne du plan parallèle à $\mathscr{P}$ et passant par le point A est :
 
\[2x + y + 2z - 24 = 0\]

\textbf{Affirmation 2} :
Une représentation paramétrique de la droite (AC) est : $\left\{\begin{array}{*{3}{l}}x&=&9 - 3t\\y&=&0\\
z&=&5 + 5t\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$.

\textbf{Affirmation 3} : 
La droite (DE) et le plan $\mathscr{P}$ ont au moins un point commun.

\textbf{Affirmation 4} :
La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).



\section{Nouvelle Calédonie mars 2014}
Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1.
 
On appelle respectivement I, J et P les milieux respectifs des segments [CD], [EF] et [AB].
 
On note Q le point défini par $\vect{\text{AQ}}= \dfrac{1}{3}\vect{\text{AD}}$. 

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(13,7)
%\psgrid
\psframe(10.3,3.5)%BCGF
\psline(10.3,0)(12,2.1)(12,6.1)(10.3,3.5)%CDHG
\psline(12,6.1)(1.7,6.1)(0,3.5)%HEF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.7,2.1)(1.7,6.1)%BAE
\psline[linestyle=dashed](1.7,2.1)(12,2.1)%AD
\uput[l](1.7,2.1){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](10.3,0){C} 
\uput[r](12,2.1){D} \uput[ul](1.7,6.1){E} \uput[l](0,3.5){F} 
\uput[dr](10.3,3.5){G} \uput[ur](12,6.1){H} \uput[ul](11.15,1.05){I} 
\uput[ul](0.85,4.8){J} \uput[ul](0.85,1.05){P}\uput[u](5.11,2.1){Q}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(0.85,1.05)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(5.11,2.1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(1.7,2.1)(1.7,6.1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0.85,1.05)(5.11,2.1)(0.85,4.8)(11.15,1.05) 
\end{pspicture}
\end{center}



On appelle \textbf{plan médiateur d'un segment} le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. 

L'objectif de l'exercice est de déterminer les coordonnées du centre d'une sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ (c'est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J).
 
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AP}},~\vect{\text{AQ}},~\vect{\text{AE}}\right)$.


 
\begin{enumerate}
\item Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires. 
\item Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur 
$\left(P_{1}\right)$ du segment [AB]. 
\item Soit $\left(P_{2}\right)$ le plan d'équation cartésienne $3y - z - 4 = 0$. 

Montrer que le plan $\left(P_{2}\right)$ est le plan médiateur du segment [IJ]. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont sécants. 
		\item Montrer que leur intersection est une droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est 
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1\\ 
y &=& t\\
z &=& 3t - 4
\end{array}\right.\: \text{où }\: t\: \text{décrit l'ensemble des nombres réels } \:\R.\]
  
		\item Déterminer les coordonnées du point $\Omega$ de la droite $(\Delta)$ tel que $\Omega$A = $\Omega$I. 
		\item Montrer que le point $\Omega$ est centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section{Amérique du Nord mai 2013}
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
 
On considère les points A(0~;~4~;~1), B (1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur  
$\vect{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). 
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants. 
		\item Vérifier que la droite $d$, intersection de $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l}
x=-4t-2\\ 
y =t\\ 
z = 3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \R$. 
		\item La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section{Antilles-Guyane juin 2013}
\begin{multicols}{2}
\textbf{Description de la figure dans l'espace muni du repère orthonormé $\left(A~;~\vect{AB}~;~\vect{AD}~;~\vect{AE}\right)$:}
\\
$ABCDEFGH$ désigne un cube de côté 1.

On appelle $\mathcal{P}$ le plan $(AFH)$.

Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$,

le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$,

le point $K$ est le milieu du segment $[HF]$,

le point $L$ est le point d'intersection de la droite $(EC)$ et du plan $\mathcal{P}$.

\smallskip

\begin{center}

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(0,0)(8,7)
\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=white,hatchcolor=lightgray,fillstyle=hlines,hatchangle=75.0,hatchsep=0.1](1,1)(5.04,5.26)(3.32,6.58)
\psline(1,1)(5.04,1.26)
\psline(5.04,1.26)(7.36,2.84)
\psline[linestyle=dashed](7.36,2.84)(3.32,2.58)
\psline[linestyle=dashed](3.32,2.58)(1,1)
\psline(1,1)(1,5)
\psline(1,5)(5.04,5.26)
\psline(5.04,5.26)(7.36,6.84)
\psline(3.32,6.58)(7.36,6.84)
\psline(3.32,6.58)(1,5)
\psline[linestyle=dashed](3.32,2.58)(3.32,6.58)
\psline(7.36,2.84)(7.36,6.84)
\psline(5.04,5.26)(5.04,1.26)
\psline(5.04,5.26)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1,1)(3.32,6.58)
\psline(3.32,6.58)(5.04,5.26)
\psline[linestyle=dashed](1,5)(7.36,2.84)
\psline[linestyle=dashed](6.2,2.05)(1,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,1)
\rput[bl](0.72,0.66){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,1.26)
\rput[bl](5.1,1){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,2.58)
\rput[bl](3.4,2.7){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,5)
\rput[bl](0.74,5.12){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.36,2.84)
\rput[bl](7.54,2.7){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5.04,5.26)
\rput[bl](5.24,5){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.32,6.58)
\rput[bl](3.12,6.8){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7.36,6.84)
\rput[bl](7.48,6.84){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,3)
\rput[bl](0.7,3.02){$I$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.2,2.05)
\rput[bl](6.4,1.7){$J$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.18,5.92)
\rput[bl](4.26,5.96){$K$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.12,4.28)
\rput[bl](3.06,4.46){$L$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}

\emph{Une seule réponse, sans justification, sans pénalité}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont strictement parallèles.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont non coplanaires.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont sécantes.
		\item Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont confondues.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le produit scalaire $\vect{AF}\cdot\vect{BG}$ est égal à 0.
		\item Le produit scalaire $\vect{AF}\cdot\vect{BG}$ est égal à $(-1)$.
		\item Le produit scalaire $\vect{AF}\cdot\vect{BG}$ est égal à 1.
		\item Le produit scalaire $\vect{AF}\cdot\vect{BG}$ est égal à 2.
	\end{enumerate}
\item Dans le repère orthonormé $\left(A~;~\vect{AB}~;~\vect{AD}~;~\vect{AE}\right)$:
	\begin{enumerate}
		\item  $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y + z - 1=0$.
		\item  $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x- y + z=0$.
		\item  $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $- x + y + z=0$.
		\item  $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y - z = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\vect{EG}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\vect{EL}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\vect{IJ}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
		\item $\vect{DI}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\vect{AL}=\frac12\vect{AH} + \frac12\vect{AF}$.
		\item $\vect{AL}=\frac13\vect{AK}$.
		\item $\vect{ID}=\frac12\vect{IJ}$.
		\item $\vect{AL}=\frac13\vect{AB}+\frac13\vect{AD}+\frac23\vect{AE}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}


\section{Antilles-Guyane Sept 2013}
\textbf{Partie A}


 
\textbf{Restitution organisée de connaissances}


 
Soit $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\vect{v}$ et soit P un plan.
 
On considère deux droites sécantes et contenues dans P : la droite D$_{1}$ de vecteur directeur $\vect{u_{1}}$ et la droite D$_{2}$ de vecteur directeur $\vect{u_{2}}$.
 
Montrer que $\Delta$ est orthogonale à toute droite de P si et seulement si $\Delta$ est orthogonale à D$_{1}$ et à D$_{2}$.



\index{géométrie dans l'espace}
 
\textbf{Partie B}


 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points 

\[\text{A}(0~;~- 1~;~1),\quad  \text{B}(4~;~-3~;~0)\:\: \text{et}\:\: \text{C}(- 1~;~-2~;~-1).\]
 
On appelle P le plan passant par A, B et C.
 
 
On appelle $\Delta$ la droite ayant pour représentation paramétrique  $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& t\\y &=& 3t - 1\\z &=& -2t + 8
\end{array}\right.$ avec $t$ appartenant à $\R$.
  
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.


 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : $\Delta$ est orthogonale à toute droite du plan P. 
\item \textbf{Affirmation 2} : les droites $\Delta$ et (AB) sont coplanaires. 
\item \textbf{Affirmation 3} : Le plan P a pour équation cartésienne $x + 3y - 2z + 5 = 0$. 
\item On appelle D la droite passant par l'origine et de vecteur directeur $\vect{u}(11~;~- 1~;~4)$.
 
\textbf{Affirmation 4} : La droite D est strictement parallèle au plan d'équation $x + 3y - 2z + 5 = 0$. 
\end{enumerate}



\section{Asie juin 2013}

\emph{Questions indépendantes, 
vrai ou faux, avec justification. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}


 
Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct \Ouv.\index{complexes} 

On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives : 

\[a = 2 + 2\text{i},\quad  b = - \sqrt{3} + \text{i},\quad c = 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad d = - 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad \text{et}\quad e = - 1 + \left(2 + \sqrt{3} \right)\text{i}.\] 

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : les points A, B et C sont alignés. 
\item \textbf{Affirmation 2} : les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E. 
\item Dans cette question, l'espace est muni d'un repère \Oijk.
 
On considère les points I(1~;~0~;~0), J(0~;~1~;~0) et K(0~;~0~;~1).  

\textbf{Affirmation 3} : la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2 - t \\
y &=& 6 - 2 t\\
z &=&-2 + t
\end{array}\right.$  où $t \in \R$, coupe le plan  (IJK) au point E$\left(- \dfrac{1}{2}~;~1~;~\dfrac{1}{2} \right)$.
\item Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].



\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,7.4)
\psline(2.1,1)(6.2,1)(5.6,5)(1.5,5)(2.6,6.9)(6.8,6.9)(5.6,5)%ABFEHGF
\psline(6.2,1)(7.4,3)(6.8,6.9)%BCG
\psline(0,5.42)(1.5,5)
\psline(7.4,3)(8.6,2.7)
\psline(2.1,1)(1.5,5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.5,5)(7.4,3)%EC
\psline(4.8,7.6)(4.1,6)
\psline(2.1,1)(1.8,0.4)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](4.1,6)(2.1,1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2.1,1)(3.3,3)(7.4,3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](3.3,3)(2.6,6.9)
\uput[l](2.1,1){A} \uput[dr](6.2,1){B} \uput[ur](7.4,3){C} 
\uput[ur](3.3,3){D} \uput[ul](1.5,5){E} \uput[ul](5.6,5){F} 
\uput[ur](6.8,6.9){G} \uput[ul](2.6,6.9){H} \uput[ul](4.1,6){T} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\textbf{Affirmation 4} : les droites (AT) et (EC) sont orthogonales
\end{enumerate}


\section{Amérique du Sud Novembre 2013}
On considère le cube ABCDEFGH, d'arête de longueur 1, représenté ci-dessous et on munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.\index{géométrie dans l'espace} 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(10,10.2)
\pspolygon(0.9,1.3)(7,0.4)(9.2,3)(9.2,8.9)(3.2,9.9)(0.9,7.4)%BCDHEF
\psline(0.9,7.4)(7,6.4)(9.2,8.9)%FGH
\psline(7,6.4)(7,0.4)%GC
\psline(3.2,9.9)(7,6.4)(0.9,1.3)%EGB
\psline[linestyle=dashed](0.9,1.3)(3.2,9.9)%GBE
\psline[linestyle=dashed](0.9,7.4)(9.2,3)%FD
\psline[linestyle=dashed](0.9,1.3)(3,4.2)(3.2,9.9)%BAE
\psline[linestyle=dashed](3,4.2)(9.2,3)%AD
\uput[dl](0.9,1.3){B} \uput[dr](7,0.4){C} \uput[r](9.2,3){D} \uput[ul](3,4.2){A} 
\uput[ul](0.9,7.4){F} \uput[dr](7,6.4){G} \uput[ur](9.2,8.9){H} \uput[ul](3.2,9.9){E} 
\uput[u](3.6,5.95){K}\psdots[dotstyle=x](3.6,5.95)  
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\section{Métropole juin 2013}
Vrai ou Faux avec justification. Réponse exacte justifiée : 1 point. Réponse non justifiée (exacte ou non) : 0 point
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1 :} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est une droite. 



\item \textbf{Proposition 2 :} Le nombre complexe $\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^4$ est un nombre réel. 



\item Soit ABCDEFGH un cube.\\

\parbox{0.5\linewidth}{ 
\textbf{Proposition 3 :} Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales.} \hfill  
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(5.6,5.6)
\psframe(0.6,0.6)(3.7,3.7)%ABFE
\psline(3.7,0.6)(5,2.1)(5,5.2)(3.7,3.7)%BCGF
\psline(5,5.2)(1.9,5.2)(0.6,3.7)%GHE
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](0.6,0.6)(1.9,2.1)(5,2.1)%ADC
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](1.9,2.1)(1.9,5.2)%DH
\uput[dl](0.6,0.6){A} \uput[dr](3.7,0.6){B} \uput[r](5,2.1){C} 
\uput[l](1.7,2.1){D} \uput[l](0.6,3.7){E} \uput[r](3.7,3.7){F} 
\uput[ur](5,5.2){G} \uput[ul](1.9,5.2){H} 
\end{pspicture}}



\item L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $x + y + 3z + 4 = 0$. On note S le point de coordonnées $(1\,, -2\,, - 2)$.
 
\textbf{Proposition 4 :} La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l @{\;=\;} l}
x&2 + t\\
y& - 1 + t\\
z&1 + 3t
\end{array}\right.$, $t \in \textbf{R}$.  
\end{enumerate}


\section{Liban mai 2013}
\emph{Une seule réponse, sans justification, sans pénalité.}


 
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. 

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A$(1~;~-1~;~2)$, B$(3~;~3~;~8)$, C$(-3~;~5~;~4)$ et D(1~;~2~;~3). 
 
On note $\mathcal{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t + 1\\
y &=& 2t - 1\\   
z &=& 3t+2
\end{array}\right., t \in \R$ 
 
et $\mathcal{D}'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& k + 1\\
y &=& k + 3\\
z &=&-k + 4
\end{array}\right.,  k \in \R$.
  
On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + y - z + 2 = 0$. 



\textbf{Question 1 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont parallèles. 

Proposition \textbf{b.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires.
 
Proposition \textbf{c.~} Le point C appartient à la droite $\mathcal{D}$.

Proposition \textbf{d.~} Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales. 



\textbf{Question 2 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}$ et est parallèle à la droite $\mathcal{D}'$.
 
Proposition \textbf{b.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}'$ et est parallèle à la droite $\mathcal{D}$.
 
Proposition \textbf{c.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}$ et est orthogonal à la droite $\mathcal{D}'$.
 
Proposition \textbf{d.~} Le plan $\mathcal{P}$ contient les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$.



\textbf{Question 3 :}
 
Proposition \textbf{a.~} Les points A, D et C sont alignés.
 
Proposition \textbf{b.~} Le triangle ABC est rectangle en A.
 
Proposition \textbf{c.~} Le triangle ABC est équilatéral.
 
Proposition \textbf{d.~} Le point D est le milieu du segment [AB]. 
 



\textbf{Question 4 :}
 
On note $\mathcal{P}'$ le plan contenant la droite $\mathcal{D}'$ et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :
 
Proposition \textbf{a.~} $\vect{n}(-1~;~5~;~4)$
 
Proposition \textbf{b.~} $\vect{n}(3~;~-1~;~2)$
 
Proposition \textbf{c.~} $\vect{n}(1~;~2~;~3)$
 
Proposition \textbf{d.~} $\vect{n}(1~;~1~;~-1)$


\section{Métropole Septembre 2013}
\emph{Une seule réponse, justifiée, sans pénalité.}
 
Pour les questions 1 et 2, l'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. 
 
 ,  
La droite $\mathcal{D}$ est définie par la représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x	&=	&5 - 2t\\
y	&=	& 1 + 3t\\
z	&=	&4
\end{array}\right.,\: t \in \R.$


  
\begin{enumerate}
\item On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $3x + 2y + z - 6 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item La droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. 
		\item La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$. 
		\item La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate} 
\item On note $\mathcal{D}'$ la droite qui passe par le point A de coordonnées $(3~;~1~;~1)$ et a pour vecteur directeur $\vect{u} = 2\vect{i} - \vect{j} + 2\vect{k}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont parallèles. 
		\item Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont sécantes. 
		\item Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires.
	\end{enumerate}
	 
\hspace{-0.8cm}Pour les questions 3 et 4, le plan est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.


 
\item Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z + \text{i}| = |z - \text{i}|$.
	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{E}$ est l'axe des abscisses. 
		\item $\mathcal{E}$ est l'axe des ordonnées. 
		\item $\mathcal{E}$ est le cercle ayant pour centre O et pour rayon 1.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectives $b$ et $c$ vérifient l'égalité $\dfrac{c}{b} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{4}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle OBC est isocèle en O. 
		\item Les points O, B, C sont alignés. 
		\item Le triangle OBC est isocèle et rectangle en B.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\section{Polynésie Juin 2013}
\emph{Une seule réponse, sans justification, sans pénalité}



\begin{enumerate}
\item Soit $z_1 = \sqrt{6} \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt{2} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}}$. La forme exponentielle de $\text{i} \dfrac{z_1}{z_2}$ est :

\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{19\pi}{12}}$ & 
\textbf{b.} $\sqrt{12} \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{12}}$ & 
\textbf{c.} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{7\pi}{12}}$ & 
\textbf{d.} $\sqrt{3}\text{e}^{\text{i} \frac{13\pi}{12}}$
\end{tabularx}

\item L'équation $- z = \overline z$, d'inconnue complexe $z$, admet :
	\begin{enumerate}
		\item une solution
		\item deux solutions
		\item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.
		\item une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
	\end{enumerate}
\item Dans un repère de l'espace, on considère les trois points $A(1~;~2~;~3)$, $B(-1~;~5~;~4)$ et $C(-1~;~0~;~4)$. La droite parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$ a pour représentation paramétrique :

\begin{tabularx}{1.0\linewidth}{XX}
\textbf{a.} $\begin{cases}
      x = -2t-1 \\ y=3t \\ z=t+4
    \end{cases}, t\in \mathbb{R}$ & 
\textbf{b.} $\begin{cases}
      x=-1 \\ y=7t \\ z=7t+4
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ \\
\textbf{c.} $\begin{cases}
      x=-1-2t \\ y=5+3t \\ z=4+t
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ &
\textbf{d.} $\begin{cases}
      x=2t \\ y=-3t \\ z=-t
    \end{cases}, t \in \mathbb{R}$
\end{tabularx}

\item Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan $\mathscr P$ passant par le point $D(-1~;~2~;~3)$ et de vecteur normal $\vect{n}(3~;~-5~;~1)$, et la droite $\Delta$ de représentation paramétrique $\begin{cases}
x = t - 7 \\ y = t + 3 \\ z = 2t + 5
  \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.
  	\begin{enumerate}
  		\item La droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr P$.
  		\item La droite $\Delta$ est parallèle au plan $\mathscr P$ et n'a pas de point commun avec le plan $\mathscr P$.
  		\item La droite $\Delta$ et le plan $\mathscr P$ sont sécants.
  		\item La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr P$.
  	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section{Nouvelle-Calédonie mars 2011}

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.
 
On considère les points A$( -2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.  
		\item En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. 
		\item En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. 
\item Soient $\mathcal{P}_{1}$, et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et
$x - 2y + 6z = 0$.

Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations
paramétriques est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2\\
y&=& -1 +  3t\\
z&=&t
\end{array}\right.,~t \in  \R$. 
\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. 
\item  Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.
		
%
		 
%\emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%
 
		\item Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$. 
		%\item Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\section{Antilles, sept 2011}
L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.
 
On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives 
A$(-1~;~2~;~1)$ , B$(1~;~- 6~;~-1)$ et C $(2~;~2~;~2)$. 
\begin{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan. 
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\
\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les plans (ABC) et $P$ sont sécants. 
		\item Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique:
 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + t\\ 
y &=& -3 + 2t\\
z &=&t,
\end{array}\right.\quad  t \in \R.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point I appartient à la droite $D$. 
		\item Montrer que le point I appartient à la sphère $S$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\section{Centres étrangers juin 2012}


On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. \\
On se place dans le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}~;~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.\\
On considère les points I$\left(1~;\dfrac{1}{3}~;~0\right)$, J$\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~1\right)$, K$\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~1\right)$ et L$(a~;~1~;~0)$ avec $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1].\\

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\

\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

\item Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique 
\begin{center}
$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
y=t'\\
z=1-t'\end{array}\right.,~t'\in\mathbb{R}$
\end{center}

\item Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, $a=\dfrac{1}{4}$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie B}}\\

\noindent Dans la suite de l'exercice, on pose $a=\dfrac{1}{4}$.\\
Le point L a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4}~;~1~;~0\right)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.\\

\item La figure ci-dessous fait apparaître l'intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.	.\\
On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).
\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psframe(0.3,0.2)(4,4)
\psline(4,0.2)(5.4,1.4)(5.4,5.1)(4,4)
\psline(5.4,5.1)(1.7,5.1)(0.3,4)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(1.8,1.3)(5.4,1.4)
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.3)(1.8,5.1)
\uput[dl](0.3,0.2){B} \uput[dr](4,0.2){C} \uput[r](5.4,1.4){D} \uput[ul](1.8,1.3){A} 
\uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.1){H} \uput[u](1.7,5.1){E}
\psdots(1.53,0.2)(0.65,4.28)(4.17,5.1)
\uput[d](1.53,0.2){I}
\uput[d](0.65,4.28){K}
\uput[d](4.17,5.1){J}
\uput[d](0.3,2.48){M}
\uput[r](5.4,2.88){N}
\uput[r](4.35,0.5){L}
\psline(0.65,4.28)(4.17,5.1)
\psline[linestyle=dashed](0.65,4.28)(0.3,2.48)
\psline(0.3,2.48)(1.53,0.2)
\psline[linestyle=dashed](1.53,0.2)(4.35,0.5)
\psline(5.4,2.88)(4.35,0.5)
\psline[linestyle=dashed](5.4,2.88)(4.17,5.1)
\end{pspicture}
\end{center}
\emph{Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.}

\begin{enumerate}
\item Prouver que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées (8~;~9~;~5) est un vecteur normal au plan (IJK).

\item En déduire que le plan (IJK) a pour équation $8x+9y+5z-11=0$.

\item En déduire les coordonnées des points M et N
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\section{Pondichéry avril 2012}


Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : 

\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\]
 
\item la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &	-3 - 2t \\
y&=& 	2t\\ 
z &=& 1 + 2t
\end{array}\right. \quad t \in \R.\] 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.


 
\textbf{Proposition 1}
 
La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

 
\textbf{Proposition 3 }

L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &	1 - t' \\
y&=	& - 1 -	2t'\\ 
z&=	&t'
\end{array}\right. \quad t' \in \R.\] 
 
\textbf{Proposition 4}
 
Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires.


\section{Nouvelle-Calédonie novembre 2011}


L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère les points: A(0~;~0~;~2), B(0~;~4~;~0) et C(2~;~0~;~0).


 
\begin{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
		\item Vérifier qu'une équation du plan (ABC) est : $2x + y + 2z = 4$. 
%		\item Calculer la distance du point O au plan (ABC).
%	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation du plan $P$ passant par A et orthogonal à la droite (BC). 
		\item Soit $\Delta$ la droite intersection du plan $P$ et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\Delta'$ la médiane issue de B du triangle ABC.
		 
Montrer qu'une équation paramétrique de $\Delta'$ dans le triangle ABC est : 

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t \\
y &=& 4 - 4t,\\
z &=& t
\end{array}\right. \quad  t \in \R.\]
  
		\item Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.
	\end{enumerate}		 
\item Soit H le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\Delta'$. Montrer que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{8}{9}\right)$.

Que représente le point H pour le triangle ABC ?  
\item Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). %Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC). 
\end{enumerate}

\newpage

\section{Polynésie septembre 2011}

\textbf{Partie A}


 
On rappelle que pour tous les points E et F de l'espace, $\text{EF}^2 = \vect{\text{EF}}^2 = \vect{\text{EF}} \cdot  \vect{\text{EF}}$. 

Soient A et B deux points distincts de l'espace et I le milieu de [AB].


 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout point $M$ de l'espace, on a :  

\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = 2M\text{I}^2 + \dfrac{1}{2} \text{AB}^2.\]
 
\item Déterminer la nature de l'ensemble (E) des points $M$ de l'espace tels que 

\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 =  \text{AB}^2.\]

\end{enumerate}



\textbf{Partie B}



L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives : $3x + 4y + z - 1 = 0$ et 

$x - 2y - z + 5 = 0$ et les points A et B de coordonnées respectives $(-1~;~0~;~4)$ et $(3~;~-4~;~2)$.


 
\begin{enumerate}
\item Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants.
 
On nomme $(\Delta)$ la droite d'intersection des plans (P) et (Q). 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point A appartient à la droite $(\Delta)$. 
		\item Montrer que $\vect{u}(1~;~-2~;~5)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$. 
		\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta)$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

Soit (E) l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2$.
 
Déterminer l'ensemble des points d'intersection de (E) et de la droite $(\Delta)$. On précisera les coordonnées de ces points. 
\end{enumerate}


\section{Antilles-Guyane juin 2011}



L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère la droite $D$ passant par le point $A$ de coordonnées $(3~;~-4~;~1)$ et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(1~;~-3~;~1)$.

On considère la droite $D'$ dont une représentation paramétrique est:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&-1-t\\
y&=&2+t\quad(t\in\R)\\
z&=&1-t
\end{array}
\right.
\]
On admet qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites  $D$ et $D'$. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$ et de calculer la distance entre les droites $D$ et $D'$, distance qui sera définie à la question \textbf{5.}

On note $H$ le point d'intersection des droites $D$ et $\Delta$, $H'$ le point d'intersection des droites $D'$ et $\Delta$. On appelle $P$ le plan contenant la droite $D$ et la droite $\Delta$. On admet que le plan $P$ et la droite $D'$ sont sécants en $H'$. Une figure est donnée en \textbf{annexe 2}.
\begin{enumerate}
\item On considère le vecteur $\vect{w}$ de coordonnées $(1~;~0~;~-1)$. Démontrer que $\vect{w}$ est une vecteur directeur de la droite $\Delta$.
\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~2~;~3)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan $P$.
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $3x + 2y + 3z - 4 = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point $H'$ a pour coordonnées $(-1~;~2~;~1)$.
		\item En déduire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point $H$.
		\item Calculer la longueur $HH'$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point $M$ appartenant à $D$ et tout point $M'$ appartenant à $D'$, $MM'\geqslant HH'$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\vect{MM'}$ peut s'écrire comme la somme de $\vect{HH'}$ et d'un vecteur orthogonal à $\vect{HH'}$.
		\item En déduire que $\left\vert\left\vert \vect{MM'}\right\vert\right\vert^2 \geqslant \left\vert\left\vert \vect{HH'}\right\vert\right\vert^2$ et conclure.
	\end{enumerate}
\emph{La longueur $HH'$ réalise donc le minimum des distances entre une point de $D$ et une point de $D'$. On l'appelle distance entre les droites $D$ et $D'$}.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-3)(6,8)
\psline(-4,6)(-4,0)
\psline(-4,0)(0,-1)
\psline(0,-1)(0,5)
\psline(0,5)(-4,6)
\psline(0,5)(4,6)
\psline(4,6)(4,0)
\psline(4,0)(0,-1)
\psline(0,3)(-8,5)
\psline(0,0)(8,2)
\psline(0,-0.25)(0.25,-0.19)
\psline(0.25,0.06)(0.25,-0.19)
\psline(-0.25,2.81)(0,2.75)
\psline(-0.25,2.81)(-0.25,3.06)
\pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.24497866312686378}{0.83*cos(t)+-4|0.83*sin(t)+6}\lineto(-4,6)\closepath}
\psline(0,7)(0,-3)
\rput[tl](-0.48,7.09){$\Delta$}
\uput[90](-5.4,4.35){$D$}
\uput[30](0,3){$H$}
\uput[-150](0,0){$H'$}
\uput[90](5,1.25){$D'$}
\psdots[dotstyle=x](-3,3.75)
\uput[-90](-3,3.75){$A$}
\uput[-52](-4,6){$P$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\section{Métropole, sept 2011}
L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. 

\begin{center}\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \end{center}
 
On désigne par $a,\: b,\: c,\: d$ quatre réels tels que le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b \vect{\jmath} + c\vect{k}$ soit différent du vecteur nul. On appelle $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.
 
Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $P$, c'est-à-dire que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à tout vecteur $\vect{\text{AB}}$ où A et B sont deux points quelconques du plan $P$.

 
\begin{center}\textbf{Partie B - Questionnaire à choix multiples }  \end{center}

\emph{Une seule réponse, avec justification}


 
On désigne par $P$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 3z = 0$ et par A et B les deux points du plan $P$ de coordonnées respectives (1~;~2~;~0) et (0~;~3~;~1).
 
\begin{enumerate}
\item Soient C, D, E les points de coordonnées respectives $(1~;~1~;~-1)$, $(-1~;~4~;~2)$, $(1~;~5~;~1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Les points A, B, C définissent le plan $P$. 
		\item Les points A, B, D définissent le plan $P$. 
		\item Les points A, B, E définissent le plan $P$. 
	\end{enumerate}
\item La droite $D$ est définie par la représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c r} 
x &=&1 - t\\ 
y &=&\phantom{+}t, 	\\ 
z &=& 2 + t
\end{array}\right. \quad t \in \R.$ 
	\begin{enumerate}
		\item La droite $D$ est perpendiculaire au plan $P$. 
		\item La droite $D$ est strictement parallèle au plan $P$. 
		\item La droite $D$ est incluse dans le plan $P$.
	\end{enumerate}
\item Soit $S$ la sphère de centre $\Omega$, de coordonnées (2~;~5~;~1), et de rayon $\dfrac{1}{2}$. L'ensemble des points communs à la sphère $S $
et au plan $P$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item vide, 
		\item constitué d'un seul point, 
		\item un cercle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 

\section{Liban juin 2010}



L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
 
On note (D) la droite passant par les points A$(1~;~- 2~;~-1)$ et B$(3~;~- 5~;~- 2)$. 
\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t\\ 
y&=& - 2 - 3t\\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~ t \in \R.\]  
\item  On note (D$'$) la droite ayant pour représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c r} 
x&=&2 - k\\ 
y&=&1 + 2k\\
z&=&k  
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~k \in \R.\] 

Montrer que les droites (D) et (D$'$) ne sont pas coplanaires. 
\item On considère le plan (P) d'équation $4x + y + 5z + 3 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le plan (P) contient la droite (D). 
		\item Montrer que le plan (P) et la droite (D$'$) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate} 
\item On considère la droite $(\Delta)$ passant par le point C et de vecteur directeur $\vect{w}(1~;~1~;~- 1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites $(\Delta)$ et (D$'$) sont perpendiculaires. 
		\item Montrer que la droite $(\Delta)$ coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\section{Centres étrangers juin 2010}

\textit{Vrai ou faux, avec justification.}


 
\textbf{Question 1}


 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les droites ($\mathscr{D}_{1}$) et ($\mathscr{D}_{2}$) de représentations paramétriques :

\[(\mathscr{D}_{1}) \left\{\begin{array}{l c r}
x&=& - 1 + 2t\\  
y&=& - 3t\\
z&=&1 + t
\end{array}\right. (t \in \R) \quad \text{et} \quad (\mathscr{D}_{2}) 
\left\{\begin{array}{l c r}
x&=& 1 - 2t\\
y&=& 5 - t\\ 	
z&=&-2 + t
\end{array}\right. (t \in \R).\]
 
\emph{Affirmation} : 
Les droites ($\mathscr{D}_{1}$) et ($\mathscr{D}_{2}$) sont orthogonales.


 
\textbf{Question 2}


 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère le point A de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ et la droite $(\mathscr{D})$ de représentation paramétrique :

\[(\mathscr{D})\left\{\begin{array}{l c r}
x& =& 1 + 4t\\ 
y&=& - 2 + 2t\\
z&=&3 - 2t
\end{array}\right. (t \in \R).\]
 
\emph{Affirmation} :
Le plan $(\mathscr{P})$ contenant le point A et orthogonal à la droite $(\mathscr{D})$ a pour équation : $2 x + y - z = 0$.


\section{Pondichéry avril 2010}


 
L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
 
\emph{Vrai ou faux, avec justification. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.}
 
\begin{enumerate}
\item  La droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x& =& t + 2\\
y &=& -2t\\
z &=& 3t - 1
\end{array}\right.,~ t \in \R$ est parallèle au plan dont une  
équation cartésienne est : $x + 2 y + z - 3 = 0$. 
\item Les plans $P,~ P',~ P''$ 	d'équations respectives \quad  $x - 2y + 3z = 3$, \quad
$2x + 3y - 2z = 6$ \quad et \quad  $4x - y + 4z = 12$ \quad n'ont pas de point commun.
\item  Les droites de représentations paramétriques respectives 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2 - 3t\\
y&=& 1 + t \\
z&=&-3 + 2t
\end{array}\right.,~  t \in \R$ \quad	et \quad $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 7 + 2u\\ 
y &=& 2 + 2u\\
z&=&- 6 - u
\end{array}\right.,~u\in \R$ \quad  sont sécantes. 
\item On considère les points :
 $A(-1~;~0~;~2)$, $B(1~;~4~;~0)$, et $C(3~;~-4~;~-2)$.

Le plan (ABC) a pour équation $x + z = 1$. 
%\item On considère les points :
% $A(-1~;~1~;~3)$, $B(2~;~1~;~0)$, et $C(4~;~-1~;~5)$.\\
%On peut écrire C comme barycentre des points A et B. 
\end{enumerate}


\section{Amérique du Sud  novembre 2009}

\textbf{Partie B}



On considère les points A de coordonnées $(3~;~-2~;~2)$, B de coordonnées $(6~;~-2~;~-1)$, 
C de coordonnées $(6~;~1~;~5)$ et D de coordonnées $(4~;~0~;~-1)$.

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l'aire du triangle ABC.
	\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~-2~;~1)$ est normal au plan (ABC).
	
Déterminer une équation du plan (ABC).
\end{enumerate}



\textbf{Partie C}



Soit $Q$ le plan d'équation $x-2y+z-5=0$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la position relative des deux plans $Q$ et (ABC).
	\item $Q$ coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G.
	
	Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment $[\text{DA}]$.
\end{enumerate}


\section{La Réunion juin 2009}

 
Soient A(1~;~2;~0), B(2~;~2;~0), C(1~;~3;~0) et D(1~;~2;~1) quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal $(O\vec i, \vec j, \vec k)$.
 
(P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; 

(Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ;

(R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A. 

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne $x - y + 1 = 0$. 

On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne $- y + z + 2 = 0$ et que le plan (R) a pour équation cartésienne $- x + z + 1 = 0$. 
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
 x-y+1&=&0\\	- y + z + 2 &=& 0\\ -x + z + 1 &=&0
 \end{array}\right. $
	\item En déduire que l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2~;~ 3~;~ 1). 
	\item Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD).
	 
En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD). 



\emph{On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères $(O\vec{i};\vec{j})$,~$\left(\text{O}~;~\vec{i},~\vec{k}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vec{j},~\vec{k}\right)$.} 

\end{enumerate}


\section{Centres étrangers juin 2009}



On se propose dans cet exercice, d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i}; \vec{j};\vec{k})$. 

On considère les points A(3~;~4~;~0) ; B(0~;~5~;~0) et C(0~;~0~;~5). On note I le milieu du segment [AB]. 

\begin{enumerate}
\item Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère $(O,\vec{i}; \vec{j};\vec{k})$. 
\item Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.
 
Quelle est la nature du triangle ABC ? 
\item  Soit H le point de coordonnées $\left(\dfrac{15}{19}~;~\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{45}{19}\right)$. 

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points H,  C, I sont alignés. 
	\item Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). 
	\item En déduire une équation cartésienne du plan ABC.
	\end{enumerate} 
\item Calculs d'aire et de volume. 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC. 
	\item Déterminer la distance du point O au plan (ABC).
	\item Calculer l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\section{Pondichéry avril 2009}

  
Dans un repère orthonormé de l'espace $(O,\vec i, \vec j, \vec k) $ on considère les points : 

A de coordonnées (1~;~1~;~0), B de coordonnées (2~;~0~;~3), C de coordonnées $(0~;~- 2~;~5)$ et D de coordonnées $(1~;~- 5~;~5)$.



\textit{Vrai ou faux, avec justification.}
  
\textbf{Proposition 1 :} L'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,~y,~z)$ tels que $y = 2x + 4$ est une droite.


\textbf{Proposition 3 :} A, B, C et D sont quatre points coplanaires. 


\textbf{Proposition 4 :} La sphère de centre $\Omega$ de coordonnées (3, 3, 0) et de rayon 5 est tangente au plan d'équation : $2x+ 2y + z+ 3 = 0$.



\section{Amérique du Sud novembre 2008}


 
Une unité de longueur étant choisie dans l'espace, on considère un pavé droit 

\mbox{ABCDEFGH} tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1.

On appelle I le milieu de [AD].



\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\pspolygon(0.4,0.4)(5.7,0.25)(7.8,1.25)(7.75,4)(2.4,4.2)(0.3,3.2)%BCDHEF
\psline(5.7,0.25)(5.6,3.1)(7.75,4)(0.3,3.2)(5.6,3.1)(7.75,4)%CGHFGH
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(2.4,1.3)(2.4,4.2)%BAE
\psline[linestyle=dashed](2.4,1.3)(7.8,1.25)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.3,3.2)(5.2,1.3)(5.6,3.1)%FIG
\psline[linestyle=dashed](5.2,1.3)(7.75,4)%IH
\uput[d](2.4,1.3){A} \uput[dl](0.4,0.4){B} \uput[d](5.7,0.25){C} 
\uput[dr](7.8,1.25){D} \uput[u](2.4,4.2){E} \uput[ul](0.4,3.2){F} 
\uput[u](5.7,3.1){G} \uput[ur](7.8,4){H} \uput[d](5.2,1.3){I} 
\end{pspicture}
\end{center}

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}} ~;~\vect{\text{AI}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.

%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item  Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à $\dfrac{1}{3}$.
		\item  Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.
		
%    En exprimant V d'une autre façon, calculer la distance $d$ du point G au plan  (FIH).
 %   	\end{enumerate}
\item Soit  le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(2~;~1~;~- 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (FIH).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).
		%\item Retrouver par une autre méthode la distance $d$ du point G au plan (FIH).
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?
		\item  Donner un système d'équations paramétriques de cette droite.
		\item  Déterminer les cordonnées du point d'intersection K de (AG) et de (FIH).
	\end{enumerate}
\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.}

Soit $\Gamma$ la sphère de centre G passant par K.

Quelle est la nature de l'intersection de $\Gamma$ et du plan (FIH) ?

(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection)
\end{enumerate}

\newpage
\section{Asie  juin 2008}


\textbf{A}
 
\emph{Vrai ou faux avec justification Dans le cas d'une proposition fausse la démonstration
consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.}



 \emph{Rappel des notations :
\setlength\parindent{5mm} \begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2}$ désigne l'ensemble des points communs aux plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$.\\
\item[$\bullet~$]  L 'écriture $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset$ signifie que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ n'ont aucun point commun.
\end{itemize} \setlength\parindent{0mm} }

\begin{enumerate}
\item  Si $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset,\]
alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{3}$ vérifient : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset.$

\item  Si $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset\]
alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont tels que : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2}= \emptyset$  et $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3}= \emptyset$.
\item  Si $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset,\]
 alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3}$ vérifient : $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3}  \neq \emptyset.$

\item  Si $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ sont deux plans distincts et $\mathscr{D}$ une droite de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{D}  \neq \emptyset$ \end{enumerate}



\textbf{B - Intersection de trois plans donnés}


 
Dans un repère orthonorrnal de l'espace on considére les trois plans suivants :


\setlength\parindent{5mm}
 \begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\mathscr{P}_{1}$ d'équation $x+ y -z = 0$
\item[$\bullet~$] $\mathscr{P}_{2}$	d'équation $2x+y+z - 3 =0$,
\item[$\bullet~$] $\mathscr{P}_{3}$ d'équation $x + 2y - 4z+3 = 0$.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm} 

\begin{enumerate}
\item  Justifier que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ sont sécants puis déterminer une représentation
paramétrique de leur droite d'interseclion, notée $\Delta$.

\item  En déduire la nature de l'intersection $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3}$.
\end{enumerate}

\newpage
\section{Pondichéry avril 2008}


\parbox{0.45\linewidth}{On considère un tétraèdre $ABCD$.

On note $I,~ J,~ K,~ L,~ M,~ N$ les milieux respectifs des arêtes $[AB],~ [CD],~[BC],~[AD],~[AC]$ et $[BD]$.

On désigne par $G$ l'isobarycentre des points
$A,~B,~C$ et $D$.} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,4.5)
\pspolygon(0,1.25)(3.25,4)(4.4,0.7)(2.2,0)%ABCD
\psline(3.25,4)(2.2,0) \psline[linestyle=dashed](0,1.25)(4.4,0.7)
\uput[dl](0,1.25){$A$} \uput[ul](3.25,4){$B$} \uput[dr](4.4,0.7){$C$} \uput[d](2.2,0){$D$} 
\end{pspicture}
}



\begin{enumerate}
\item  Montrer que les droites $(IJ),~(KL)$ et $(MN)$ sont concourantes en $G$.



Dans la suite de l'exercice, on suppose que $AB =  CD,~ BC = AD$ et $AC = BD$.

 (On dit que le tétraèdre $ABCD$ est équifacial, car ses faces sont isométriques).
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature du quadrilatère $IKJL$ ? Préciser également la nature des quadrilatères $IMJN$ et $KNLM$.
		\item  En déduire que $(IJ)$ et $(KL)$ sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont orthogonales et les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont orthogonales.
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(MKN)$.
		\item   Quelle est la valeur du produit scalaire $\vect{IJ}\cdot \vect{MK}$ ? En déduire que $(IJ)$ est orthogonale à la
droite $(AB)$. Montrer de même que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(CD)$.
		\item  Montrer que $G$ appartient aux plans médiateurs de $[AB]$ et $[CD]$.
		\item   \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
Comment démontrerait-on que $G$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$ ?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 
 \section{Amérique du Sud novembre 2007}

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

\begin{enumerate}
\item On considère le point A de coordonnées $(-2~;~8~;~4)$ et le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $(1~;~5~;~-1)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}$.
\item 	On considère les plans (P) et (Q) d'équations cartésiennes respectives $x - y - z = 7$ et $x - 2z=11$.

	Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d'intersection, notée $(d')$.
	
Montrer que le vecteur de coordonnées $(2~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de $(d')$.
\item 	Démontrer que les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas coplanaires.
\item On considère le point H de coordonnées $(-3~;~3~;~5)$ et le point H$'$ de coordonnées $(3~;~0~;~-4)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que H appartient à $(d)$ et que H$'$ appartient à $(d')$.
		\item  Démontrer que la droite (HH$'$) est perpendiculaire aux droites $(d)$ et $(d')$.
		\item  Calculer la distance entre les droites $(d)$ et $(d')$, i.e la distance HH$'$.
	 \end{enumerate}
\item  Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vect{M\text{H}'} \cdot \vect{\text{HH}'} = 126$.
\end{enumerate}

\newpage
\section{Métropole  juin 2008}


Dans l'espace muni d'un repère orthonormal 
\Oijk, on considère les points
\[\text{A}(1~;~1~;~0),	\text{B}(1~;~2~;~1)~ \text{et}~ \text{C}(3~;~ - 1~;~2).\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
		\item  Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne \\
		$2x + y - z -3 =0$.
 	\end{enumerate}
\item On considère les plans ($P$) et ($Q$) d'équations respectives $x + 2y - z - 4 = 0$ et $2x + 3y - 2z - 5 = 0$.\\
Démontrer que l'intersection des plane ($P$) et ($Q$) est une droite ($\mathscr{D}$), dont une représentation
paramétrique est :
	\[  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t\\
y&=&3 \\	
z&=&t\\
	\end{array} \right. (t \in \R)\]
	
\item Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), ($P$) et ($Q$) ?

\end{enumerate}


 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD). 
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\- 1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BGE) et déterminer une équation du plan (BGE). 
\item Montrer que la droite (FD) est perpendiculaire au plan (BGE) en un point K de coordonnées K$\left(\frac{2}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{2}{3}\right)$. 
\item Quelle est la nature du triangle BEG ? Déterminer son aire. 
\item En déduire le volume du tétraèdre BEGD. 
\end{enumerate}



\end{document}

