\documentclass[a4paper,9pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Annales}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Logarithme N\'ep\'erien pour attendre !}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Annales}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

\begin{ExoF}
%Amérique du Nord mai 2013
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
		\item Que permet de calculer cet algorithme ? 
		\item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$				& 1 		&5 			&10 		&15 		&20\\ \hline 
Valeur affichée	&1,4142 &1,9571 &1,9986 &1,9999 &1,9999\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite\index{suite} $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. 
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Recopier l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :		&$n$ est un entier naturel\\
				& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 1\\ 
Traitement :	&\\
				&\\ 
Sortie :		&\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\pagebreak
\pagebreak
\begin{ExoF}
%Amérique du Nord mai 2012
\fbox{\textbf{Partie A Restitution organisée des connaissances}}

On rappelle que $$\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{e^t}{t} = + \infty$$\\Démontrer que $$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$$
\\\fbox{\textbf{Partie B}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $$f(x)=x-\dfrac{\ln(x)}{x}$$

On note $\mathscr C$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal $\left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $$g(x)=x^2-1+\ln(x)$$

Montrer que la fonction $g$ est positive sur $[1~;~+ \infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $[1~;~+ \infty[$, 
		$f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)-x=0$
		\item Étudier la position de la courbe $\mathscr C$ par rapport à la droite d'équation $y=x$
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de $\mathscr C$ et de la droite d'équation $y=x$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_kN_k = \dfrac{\ln(k)}{k}$.
		\item Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\begin{ExoF}
%Antilles guyane juin 2012
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par 
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{1}& =&\dfrac{1}{2}\\ 
u_{n+1} &=& \dfrac{n+1}{2n}u_{n}
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est strictement positif. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
		\item Que peut-on en déduire pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose: $v_{n} = \dfrac{u_{n}}{n}$
  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme $v_{1}$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} = \dfrac{n}{2^n}$

	\end{enumerate}
\item  Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln x - x \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\pagebreak
\begin{ExoF}
%Antilles Guyane septembre 2012
\begin{multicols}{2}
\fbox{\textbf{Partie A : étude d'une fonction}}
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\ln x}\]

Sur le graphique ci-contre, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.


\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $1$. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$. 
\item En déduire que si $x \geq e$ alors $f(x)\geq e $.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(8,11)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-1}{8}{x}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.107}{8}{x x ln div}
\uput[dr](0,0){O}\uput[d](8,0){$x$}\uput[l](0,11){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}
\fbox{\textbf{Partie B : étude d'une suite récurrente}}

 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 

\[\left\{\begin{array}{r c r}
u_{0}& =& 5\\
\text{pour tout entier naturel}\: n, \:u_{n+1}&=&f\left(u_{n}\right)
\end{array}\right.\]  

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique précédent, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $A_{0},\: A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{0},\:u_{1}$ et $u_{2}$. On laissera apparents les traits de construction.
 
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant \text{e}$. 
		\item Déterminer les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 
		\item Déterminer sa limite $\ell$. 
	\end{enumerate} 
\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{footnotesize}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$X$ est une variable réelle ; $Y$ est une variable entière\\
Affecter $5$ à $X$ et $0$ à $Y$\\
Tant que $X > 2,72$ \\
\hspace{0,5cm}Faire\\
\hspace{1cm}Affecter $(X/ \ln X)$ à $X$\\ 
\hspace{1cm}Affecter $Y + 1$ à $Y$\\ 
Fin de Tant que\\
 Afficher $Y$\\ \hline
\end{tabular}

\end{center}
\end{footnotesize}
 
À l'aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l'algorithme.
\begin{footnotesize}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize} X|}}\hline 
$n$ &0& 1 &2 &3 &4  &5\\ \hline 
$u_{n}$&$5$&3,1066746728 &2,7406525323 &2,7183726346& 2,71828183001 &2,7182818285\\ \hline
\end{tabularx} 

\end{footnotesize}\end{enumerate}
\end{ExoF}
\pagebreak
\begin{ExoF}
%Centres étrangers juin 2012
On considère l'équation (E) d'inconnue $x$ réelle : $$e^{x}=3\left(x^2+x^3\right)$$
\fbox{\textbf{Partie A : Conjecture graphique}}

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3\left(x^2+x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,-5)(5,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-5)(5,5)
\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{5.0}{2.718281828^(x)}
\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{5.0}{3*(x^2+x^3)}
\end{pspicture*}
\end{center}

À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.\\

\fbox{\textbf{Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2+x^3$.
		\item En déduire que l'équation (E)n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.
		\item Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel de $]-1~;~0[\cup]0~;~+\infty[$ par : 

\[h(x)=\ln 3+\ln\left(x^2\right)+\ln(1+x)-x.\]

Montrer que, sur $]-1~;~0[\: \cup\: ]0~;~+\infty[$, l'équation  (E) équivaut à $h(x) = 0$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, on a : 

\[h'(x)=\dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}.\]

		\item Déterminer les variations de la fonction $h$.
		\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x)=0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
		\item Conclure quant à la conjecture de la partie A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\pagebreak
\begin{ExoF}

%Nouvelle Calédonie novembre 2012
\textbf{Partie A}
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : $f(x) = 5\ln (x + 3) - x$

 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Donner, dans un tableau, les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer que, pour tout $x$ strictement positif on a $f(x) = x\left(5\frac{\ln x}{x} - 1\right) + 5 \ln \left(1 + \dfrac{3}{x}\right).$
 
		\item En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. 
		\item Compléter le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On notera $\alpha$ cette solution. 
		\item Après avoir vérifié que $\alpha$ appartient à l'intervalle [14~;~15], donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. 
		\item En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textbf{Partie B}}
\begin{multicols}{2}
 Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0} &=& 4\\ 
u_{n+1}& =& 5 \ln \left(u_{n} + 3\right) \quad \text{pour tout entier naturel }\: n \neq 0
\end{array}\right.\] 

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = 5 \ln (x + 3).\] 

Ci-contre, on a tracé dans un repère orthonormé la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ et la courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de la fonction $g$.
 \begin{center}
 
 \psset{unit=0.5cm}
 \begin{pspicture}(-1,-1)(23,17)
 \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-1)(23,17)
 \psplot{0}{17}{x}
 \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{23}{x 3 add ln 5 mul}
 \uput[ul](16,16){$\mathcal{D}$}\uput[dr](22,16){$\mathcal{C}$}\uput[dr](0,0){O}
 \end{pspicture}
 \end{center}
 \end{multicols}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur l'axe des abscisses de l'annexe 1 les termes $u_{0},\:u_{1},\:u_{2}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction. 
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite $\left(u_{n}\right)$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Vérifier que $g(\alpha) = \alpha$ où $\alpha$ est défini dans la partie A question 2. a. 
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a  $0 \leqslant  u_{n} \leqslant \alpha$. 
		\item Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b. de la partie B. 
		\item En utilisant la question 2. a. de la partie A, justifier que $\lim\limits_{n\to+\infty} u_{n} = \alpha$.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme ci-contre :
\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\ 
Justifier que cet algorithme se termine. 
		\item Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à $5$ décimales).
	\end{enumerate}
	\begin{footnotesize}
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|l|}\hline 
	$u$ prend la valeur 4\\ 
	Tant que $u - 14,2 < 0$\\ 
	\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur de $5\ln (u + 3)$\\
	Fin du Tant que\\ 
	Afficher $u$\\ \hline
	\end{tabular}
	\end{center} 
	
	\end{footnotesize}\end{multicols} 
\end{enumerate}

\end{ExoF}
\end{document}