\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Activit\'es}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Expo}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 8}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

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\renewcommand{\arraystretch}{1}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\pagestyle{empty}



\section{Enquête sur les fonctions}

\subsection{Un problème de radioactivité}

\begin{act}
Le Radon est un gaz radioactif qui se désintègre avec le temps. On a pu observé qu'une quantité quelconque 
de tels noyaux diminue chaque jour d'environ $16.5\%$. \\
On aimerait connaître le temps de demi-vie du Radon, ie le temps nécessaire pour que la moitié
des atomes d'une quantité donnée de radon se soit désintégrée de façon naturelle.\\
\textbf{Partie A : Modélisation par une suite}\\
 Soit $R_n$ la quantité de radon au bout de $n$ jours, avec $n\in\N$.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $R_{n+1}$ en fonction de $R_n$ pour tout $n\in\N$. En déduire la nature de la suite $(R_n)$.
 \item Pour tout $n\in\N$, exprimer $R_n$ en fonction de $n$ et de $R_0$.\\
 En déduire la proportion $p_n$ de noyaux restants au bout de $n$ jours, pour tout $n\geq 0$.
 \item Déterminer à l'aide d'un tableau de valeurs le temps de demi-vie en jours du Radon.
\item Quelle critique pouvez-vous faire quant cette modélisation de la situation par une suite ?
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Modélisation par une fonction}\\
Soit $R(X)$ est la quantité de noyaux de Radon restant au bout de $X$ jours, 
et $p(X)$ la proportion de noyaux restant au bout de $X$ jours, avec $X\in\R^+$ dans les deux cas.\\
Il paraît alors assez naturel de faire l'hypothèse que $R$ et $p$ sont des fonctions continues sur $\R^+$, 
et que pour toute quantité initiale $R(0)$ de Radon, la quantité $R(X)$ de Radon restant au bout de $X$ jours,
est $R(X)=p(X)\times R(0)$, où $p(X)$ est un réel ne dépendant que de $X$. \\
On cherche alors à déterminer la forme d'une telle fonction $p$, si tant est qu'elle existe, 
pour répondre au problème donné.\\
Supposons déjà qu'une telle fonction $p$ existe. 
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Relation fonctionnelle}
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que pour tous réels $x$ et $y$ positifs on a 
 $$R(x+y)=p(x+y) \times R(0) \qquad \text{ et } \qquad R(x+y)=p(x) \times R(y)$$
  \item En déduire que  pour tous réels $x$ et $y$ positifs on a 
$$p(x+y)=p(x) \times p(y) \qquad (\ast)$$
\begin{center}
\textbf{$(\ast)$ s'appelle une relation fonctionnelle.\\
On dit que $p$ transforme les sommes en produits.}
\end{center}
  \item Connaissez-vous de telles fonctions ? Peuvent-elles être celle que l'on cherche ?
    \end{enumerate}
\textit{Vous remarquerez que l'on ne peut pas encore répondre à notre problème, qui semble plus compliqué que prévu. \\
Aussi allons-nous étudier en détails les éventuelles fonctions $f$ vérifiant la relation $(\ast)$
}
  \item \textbf{Vérification de la cohérence avec la partie A.}
  \begin{enumerate}
     \item En remplaçant $y$ par $0$ dans la relation $(\ast)$, vérifier que la valeur de $p(0)$ est 
  cohérente avec le contexte.
 \item Vérifier que l'expression de la proportion trouvée sur les entiers naturels dans la partie A,
 question 2, vérifie bien $(\ast)$ pour tous $n$ et $m$ entiers naturels.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\newpage
\subsection{Etude de l'équation fonctionnelle : vers les primitives}
\begin{act}
On admet qu'il existe des fonctions $f$ définies sur $\R$, non constantes sur $\R$ 
vérifiant la relation suivante :
$$\text{Pour tous } x,y \in\R \quad \text{ on a } \quad f(x+y)=f(x)f(y) \qquad (\ast)$$
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Conséquences directes}
 \begin{enumerate}
  \item En remarquant que $x=\dfrac{x}2+\dfrac{x}2$, montrer que $f(x)\geq 0$ pour tout $x\in\R$.
  \item Démontrer que s'il existe un réel $a$ tel que $f(a)=0$ alors pour tout réel $x$, on a $f(x)=0$. \\
 En déduire que $f(x)>0$ pour tout $x\in\R$.
 \item Soit $x$ un réel quelconque. En remplaçant $y$ par une valeur bien choisie dans $(\ast)$ démontrer que
 $$f(0)=1 \qquad \text{puis que} \qquad f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$$
 \item En déduire que pour tous réels $x$, $y$ on a  \quad $f(x-y)=\dfrac{f(x)}{f(y)}$
 \item Montrer par récurrence que pour tout $x\in\R$ et pour tout $n\in\N$ on a $f(nx)=\left(f(x)\right)^n$.
 \item Montrer que si $f$ est continue en $0$ alors $f$ est continue sur $\R$.
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Equation différentielle}\\
Supposons de plus que $f$ est dérivable sur $\R$.\\
Soit $x$ un réel quelconque. On pose $g : y \mapsto f(x+y)$ définie sur $\R$. Ainsi, $g(y)=f(x+y)=f(x)f(y)$ pour tout
$y\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item En dérivant la fonction $g$ par rapport à sa variable $y$, montrer que $f'(x+y)=f(x) \times f'(y)$ pour tout $y\in\R$.
 \item En déduire que $f'(x)=k \times f(x)$ où $k$ est un réel non nul.
\begin{center}
\textbf{Ceci est vrai pour un réel $x$ quelconque, donc ceci est vrai pour tout $x\in\R$.\\
Ainsi la fonction $f$ cherchée, si elle existe, est proportionnelle à sa dérivée :
 $$f'=kf \quad \text{avec} \quad k\in\R^* \qquad (\ast\ast)$$\\
}
\end{center}
\item Connaissez-vous des fonctions vérifiant $(\ast\ast)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\newpage

\subsection{Etude de l'équation différentielle $f'=f$ : nécessité d'une condition initiale}


\begin{act}
Pour simplifier le problème, intéressons nous aux éventuelles fonctions non nulles dérivables sur $\R$ et
égales à leur dérivée, ie vérifiant l'équation différentielle $(E) : y'=y$.
\begin{enumerate}
\item Supposons qu'il existe une fonction $f$ solution de $(E)$. 
\begin{enumerate}
       \item Soit $\lambda\in\R$ et $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g=\lambda f$. \\
       Démontrer que $g$ est aussi solution de $(E)$
%\item Soit $g$ une fonction vérifiant aussi $g'=g$ sur $\R$. \\
%Montrer que $f+g$ vérifie la même condition. 
\item Conclure sur le nombre de solutions de $(E)$.
      \end{enumerate}
\item Supposons maintenant qu'il existe une fonction $f$ solution de $(E)$, et telle que $f(0)=1$. \\
Autrement dit, $f$ est dérivable sur $\R$ et 
vérifie les conditions :
$$ \left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right. \qquad (\ast)$$
%Montrons que si $f$ existe, alors elle est unique.
\begin{enumerate}
\item Soit $c$ la fonction définie sur $\R$ par  \quad $ c(x)=f(x)f(-x)$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $c(0)=1$
 \item Montrer que $c$ est dérivable sur $\R$ et que pour tout $x\in\R$ on a $c'(x)=0$.
 \item En déduire l'expression de $c$.
\end{enumerate}
 \item Montrer alors que $f$ ne s'annule pas sur $\R$.\\
%\textit{A ce stade, vous avez peut-être l'impression de tourner en rond. 
%En réalité, vous avez démontré des réciproques de l'activité 2.} 
\item Soit $g$ une fonction qui vérifie $(\ast)$ et $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h=\dfrac{g}{f}$ . \\
Reprendre le raisonnement de la question 2a) pour montrer que nécessairement $g=f$.
 \item Conclure sur le nombre de solutions de $(\ast)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}



\newpage
\subsection{Approche graphique par la méthode d'Euler}

\begin{act}
On cherche à construire de façon approchée la courbe représentative $\mathscr C_f$ d'une éventuelle 
fonction $f$, dérivable sur $\R$ et qui vérifie les conditions \quad
$\left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right. \qquad (\ast)$\\
\textit{Notons que l'on ne sait toujours pas si une telle fonction existe, mais si l'on arrive à tracer 
une courbe représentative, il sera alors assez légitime de considérer qu'une telle fonction existe bien
(même si cela ne le démontre pas).}\\\\
Comme on ne connait pas $f$, on ne peut pas déterminer l'ordonnée d'un point $M$ de la courbe ayant pour 
abscisse $x$.\\
On utilisera donc la méthode d'Euler pour approximer sa position. Elle consiste à dire qu'aux environs d'un point 
d'abscisse $a$, une courbe est assimiliable à sa tangente $T_a$ en ce point.
\begin{enumerate}
\item Construire un repère orthonormé d'unité $10$ cm pour $x\in[-0.1;2]$ et placer le seul 
point connu de $\mathscr C_f$.\\
\textit{On rappelle que la fonction $f$ est positive, il est donc inutile de prévoir de la place sous l'axe des 
abscisses ...}
\item \textbf{Avec un pas de $1$}
\begin{enumerate}
 \item Quel est le coefficient directeur de la tangente $T_0$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$ ?
 \item Tracer le segment porté par cette tangente pour $x\in[0;1]$.
  \item Si on assimile $\mathscr C_f$ à $T_0$, quelle approximation de $f(1)$ obtient-on ?
  \item En déduire une approximation du coefficient directeur de la tangente $T_1$ à $\mathscr C_f$ 
  au point d'abscisse $1$, puis une approximation de $f(2)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $0.5$}
\begin{enumerate}
 \item Avec le tracé précédent, quelle approximation de $f(0.5)$ obtient-on ?
 \item Quelle approximation du coefficient directeur de la tangente $T_{0.5}$ peut-on en déduire ?
 \item Tracer dans une autre couleur le segment porté par $T_{0.5}$ pour $x\in[0.5;1]$.\\
 Quelle nouvelle approximation de $f(1)$ obtient-on ?
 \item Continuer cette méthode avec un pas de $0.5$ pour obtenir une meilleure approximation de $f(2)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $0.25$}
\begin{enumerate}
 \item Avec le tracé précédent, quelle approximation de $f(0.25)$ obtient-on ?
 \item Quel approximation du coefficient directeur de la tangente $T_{0.25}$ 
 peut-on en déduire ?
 \item En adaptant la méthode précédente, continuer vos calculs (sans arrondir !) et votre construction (dans une 
 troisième couleur) pour en déduire 
 une nouvelle approximation de $f(1)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $h>0$}
\begin{enumerate}
 \item En utilisant la méthode d'Euler, démontrer que 
  $$f(h)\simeq 1+h \qquad \qquad\qquad f(2h) \simeq (1+h)^2  \qquad \qquad\qquad f(3h) \simeq (1+h)^3$$
 \item Démontrer finalement par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a \quad 
$$ f(nh)\simeq (1+h)^n $$
\item On pose $x=nh$. Démontrer que pour $n$ assez grand :
$$ f(x)\simeq \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$$
\textit{C'est la suite $(u_n(x))$ définie par \quad $ u_n(x)=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$ \quad qui
sert à démontrer rigoureusement l'existence de la fonction $f$, mais nous ne le ferons pas, rassurez-vous !}
\item A l'aide de la calculatrice, tracer les courbes des approximations de la fonction $f$ pour des valeurs 
de $n$ égales à $10$, $100$ et $1000$.
\item En prenant $n=1000$, donner une valeur approchée du nombre $f(1)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}





\end{document}