\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Activit\'es}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Trigo}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 7}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.3cm,bmargin=1.3cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\pagestyle{empty}

\begin{act}
\textit{On utilise le logiciel Géogébra. La figure peut être vidéo-projetée}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Figure de base}
\begin{enumerate}
       \item Ouvrir Géogébra et faire afficher le repère orthonormé $(O;I;J)$. 
 \item Choisir le radian comme unité d'angle dans \og Options \fg.
 \item Tracer le cercle trigonométrique de centre $O$.
  \item Créer un curseur $t$, variant entre $-5\pi$ et $5\pi$.
 \item On veut placer un point $M$ associé au réel $t$ sur le cercle. \\
 Pour cela, dans la ligne de commande, saisir l'instruction suivante : $M=(1;t)$\\\\
 \Rq{Attention, le point-virgule est essentiel ! En effet, le couple $(1;t)$ ne désigne pas pour Géogébra 
 les coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère $(O;I;J)$, mais lui indique que $M$ sera à une distance $1$
 de l'origine $O$ du repère (donc il sera bien sur le cercle), et tel que $\left(\overrightarrow{OI} ; 
 \overrightarrow{OM} \right)= t$ radians. On parle de coordonnées \textbf{ polaires}.}
 \item Créer en ligne de commande le point $C$ de coordonnées $(x_M,0)$ et le point $S$ de coordonnées $(0,y_M)$
      \end{enumerate}
 \item \textbf{Variations} \begin{enumerate}
        \item Quelle est l'abscisse du point $M$ dans le repère $(O;I;J)$ ? Son ordonnée ?
 \item Avec le curseur, déplacer le point $M$. \\
 Décrire son trajet, ainsi que ceux de $C$ et de $S$ correspondants.
  \item En déduire les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur $[-5\pi ; 5\pi]$.\\
  \textit{On précisera les valeurs où ces fonctions s'annulent.}
        \end{enumerate}
 \item \textbf{Courbes représentatives}
 \begin{enumerate}
  \item Compléter la figure précédente en crééant les points $R$ et $Q$ de coordonnées respectives 
  $(t,x_M)$ et $(t,y_M)$.
  \item Faire afficher leurs traces. Quelles courbes représentatives voient-on se dessiner ?
  \item Vérifier la cohérence entre les courbes obtenus et vos tableaux.
 \end{enumerate}
\item \textbf{Propriétés}
\begin{enumerate}
 \item Quelles propriétés constatez-vous pour les deux courbes ? Pouvez-vous la justifier ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction cosinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
 Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction sinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?
\end{enumerate}
 \end{enumerate}  
 \end{act}

 \newpage
 
 
Pour tout $x\in\R$ on a :
\begin{eqnarray*}
  \leq \cos(x) \leq &\text{ et } &   \leq \sin(x) \leq \\
 \cos(x+2\pi \times k)= & \text{ et } &  \sin(x+2\pi\times k)= \qquad\qquad  \text{ o\`u } k\in\\\
& \cos^2(x)+\sin^2(x)= & 
\end{eqnarray*}
 \textbf{Valeurs remarquables :}
 \begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{1.5cm}} |}
\hline 
$x$  & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ &  $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$  \tabularnewline\hline
$\cos x$ & 1 & $ $ & $ $ & $ $ & $ $  & $ $ \tabularnewline\hline
$\sin x$ & 0 & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $  \tabularnewline\hline
$\tan x $ & 0 & $  $ &  & $ $ &   &   \tabularnewline \hline
\end{tabular}
\end{center}
 \begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10,-5.2)(10,7)
\pscircle(0,0){5}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(2.02,4.57)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-2.02,4.57)
%\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red]{-4.5}{4.5}{(-0--0.71*x)/0.71}
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)
\rput[lt](3.5,-2.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{4 cm}{$\cos \qquad\qquad =\qquad\qquad \\\\ \sin \qquad\qquad=\qquad\qquad$}}}
\rput[lt](-9.7,-1.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{4 cm}{$\cos \qquad\qquad =\qquad\qquad\\\\ \sin\qquad\qquad =\qquad\qquad$}}}
\rput[lt](-9.7,2.7){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{4 cm}{$\cos \qquad\qquad =\qquad\qquad\\\\ \sin \qquad\qquad =\qquad\qquad$}}}
\rput[lt](3.3,6.3){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{4 cm}{$\cos\qquad\qquad =\qquad\qquad \\\\ \sin\qquad\qquad =\qquad\qquad$}}}
\rput[lt](-6.5,6.3){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{4 cm}{$\cos \qquad\qquad =\qquad\qquad\\\\ \sin\qquad\qquad =\qquad\qquad$}}}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,2.02)(4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,2.02)(4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,-2.02)(-4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,-2.02)(-4.57,2.02)
\rput[bl](-0.3,-0.68){$O$}
\rput[bl](5.2,-0.56){$I$}
\rput[bl](4.84,2.14){$x$}
\rput[bl](0.16,5.1){$J$}
%\rput[bl](4.84,-2.2){$-x$}
%\rput[bl](-5.6,2.16){$\pi-x$}
%\rput[bl](-5.6,-2.2){$\pi+x$}
%\rput[bl](2.1,4.7){$\dfrac{\pi}{2}-x$}
%\rput[bl](-2.38,4.7){$\dfrac{\pi}{2}+x$}
\rput[bl](-2,6){\textbf{Configuration du rectangle}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
 Pour tous réels $a$ et $b$ on a :
 $$\cos(a+b)=\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$
 
 $$\sin(a+b)=\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$

\newpage


\begin{minipage}{8.5cm} 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3]{$x$/1,  $\cos x$/1.5}{$0$, $\pi$}%
\tkzTabVar{+ / $1$,  -/$-1$ }%
\tkzTabVal[]{1}{2}{0.5}{$\dfrac{\pi}{2}$}{$0$}%
\end{tikzpicture}\\
\vspace{1cm}
\psset{xunit=1.5707963267948966cm,yunit=1.0cm}
\psscalebox{0.75}{\begin{pspicture*}(-2.23,-1.5)(5.41,1.5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.23,-1.5)(5.41,1.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.57,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3.5,-1.5)(8.5,1.5)
\psplot[plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{COS(x)}
\rput[br](-0.3,1){$1$}
\rput[dr](3.14,-0.50){$\pi$}
%\psplot[plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{SIN(x)}
\end{pspicture*}}
\end{center}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{8cm} 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,  $\sin x$/1.5}{$0$,$\dfrac{\pi}2$, $\pi$}%
\tkzTabVar{-/$0$, + / $1$,  -/$-1$ }%
\end{tikzpicture}\\
\vspace{1cm}
\psset{xunit=1.5707963267948966cm,yunit=1.0cm}
\psscalebox{0.75}{\begin{pspicture*}(-2.23,-1.5)(5.41,1.5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.23,-1.5)(5.41,1.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.57,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3.5,-1.5)(8.5,1.5)
%\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{COS(x)}
\psplot[plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{SIN(x)}
\rput[br](-0.3,1){$1$}
\rput[dr](3.14,-0.50){$\pi$}
\end{pspicture*}}
\end{center}
\end{minipage}

\vspace{4cm}


\begin{act}
L'objectif de cette activité est de montrer que les fonctions sin et cos sont dérivables en $0$ et que l'on a :
$$\sin'(0)=1 \qquad \qquad \text{et} \qquad \qquad \cos'(0)=0$$
\begin{enumerate}
 \item Traduire l'objectif de l'activité en termes de limite de taux de variation.
 \item Montrons que la fonction sin est dérivable en $0$ et que  $\sin'(0)=1$.\\
 On munit le cercle trigonométrique d'un repère $(O,I,J)$. \\
 On considère un réel $h\in\left]0;\dfrac{\pi}2\right]$, on appelle $M$ son point associé sur le cercle trigonométrique
 et $N$ le point d'intersection de la droite $(OM)$ et de la tangente au cercle en $I$.
 \begin{enumerate}
  \item Faire un schéma de la situation.
  \item Montrer que $IN=\tan h$
  \item En rangeant dans l'ordre croissant les aires des triangles $OIM$, $OIN$ et celle du secteur de disque
  $OIM$, montrer que pour tout $h\in \left]0;\dfrac{\pi}2\right]$ on a :
  $$\sin h \leq h \leq \dfrac{\sin h}{\cos h}$$
  \item En déduire que pour tout $h \in \left]0;\dfrac{\pi}2\right]$ on a :
  $$\cos h \leq \dfrac{\sin h}h \leq 1 \qquad (\star)$$
  \item On montre de même que $(\star)$ est vrai pour tout $h\in \left[-\dfrac{\pi}2;0\right[$.\\
   Conclure.
 \end{enumerate}
\item Montrons que la fonction cos est dérivable en $0$ et que $\cos'(0)=0$
\begin{enumerate}
       \item Montrer que pour tout $h\in \left]-\dfrac{\pi}2 ;0\right[\cup\left]0; \dfrac{\pi}2\right[$ on a :
       $$\dfrac{\cos h - 1}{h}=\dfrac{\sin h}h \times \dfrac{-\sin h }{\cos h +1 }$$
       \item Conclure.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}


\newpage
\begin{act}
 L'objectif de cette activité est de démontrer que les fonctions cos et sin sont dérivables sur $\R$
 et de déterminer leur fonction dérivée.\\
 Soit $a\in\R$
 \begin{enumerate}
  \item Exprimer le taux de variation $\tau(a,h)$ de la fonction sin en $a$.
  \item En utilisant le fait que pour tous réels  $a$, $b$ on a $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$, 
  démontrer que 
  $$\tau(a,h)=\sin a \times \dfrac{\cos(h)-1}{h} + \cos a \times \dfrac{\sin h}h$$
  \item En déduire que la fonction sinus est dérivable sur $\R$ et déterminer sa fonction dérivée.
  \item En utilisant le fait que pour tout $x\in\R$ on a $\cos x =\sin\left(x+\dfrac{\pi}2\right)$ et 
  $\cos\left(x+\dfrac{\pi}2\right)=-\sin x$, démontrer que la fonction cosinus est dérivable sur $\R$
  et déterminer sa fonction dérivée.
 \end{enumerate}
\end{act}

\vspace{4cm}

\begin{act}
 Pour tout réel $x$ tel que $\cos(x)\neq 0$, on rappelle que l'on définit la fonction tangente par :
 $$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$$
 \begin{enumerate}
  \item Donner l'ensemble de définition de la fonction tan
  \item Montrer que la fonction tan est $\pi-$périodique. 
  Que peut-on en déduire graphiquement ?
  \item Montrer que la fonction tan est impaire. Que peut-on en déduire graphiquement ?
  \item Proposer alors un intervalle minimal $I$ pour étudier la fonction tan.
  \item On se place sur cet intervalle $I$. \\
  Justifier que la fonction tan est dérivable sur $I$ et que pour tout $x\in I$ on a :
  $$\tan'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)$$
  \item En déduire les variations de la fonction tan sur $I$.
  \item Calculer les limites de la fonction tan aux bornes de $I$. Interpréter graphiquement.
  \item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction tan en $0$.
  \item Calculer $\tan \dfrac{\pi}4$.
  \item En utilisant les données précédentes, tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction tan sur $]-2\pi;2\pi[$.
 \end{enumerate}
\end{act}




\end{document}