\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Activit\'es}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Continuit\'e}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.3cm,bmargin=1.3cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\pagestyle{empty}

\setcounter{section}{2}
\setcounter{subsection}{2}
\setcounter{subsubsection}{1}

\noindent \begin{multicols}{2}
\subsubsection{Des limites à droite et à gauche infinies}
Regardons la fonction 
$$\begin{array}{clcl}
                        f:&  \R^* 	& \longrightarrow & \R \\ 
                        & x & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl}
                               	                                      \dfrac{1}{|x|} & \text{ Si } x\neq 0\\
                               	                                      10^{10^6} & \text{Sinon}
                               	                                     \end{array}\right.

                         \end{array}$$
On constate que :
$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-}f(x)=......$\\
Cependant, $f(0)=........$. \\
Cette fonction est donc bien définie en $0$ mais elle n'est pas continue 
en $0$ et il n'existe aucune valeur possible pour $f(0)$ qui la rendrait continue en $0$.
\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-1.1)(3.1,5.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-1)(3,5)
\psclip{%
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{-3}{-0.1}{-1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{0.1}{3}{1/x}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\subsubsection{Des limites à droite et à gauche réelles mais différentes}

\begin{multicols}{2}
\noindent Observons la fonction partie entière, notée $E$, définie sur $\R$ :
$$\forall x \in \R \text{ on a } E(x)=\text{le plus grand entier inférieur ou égal à } x$$
Par exemple $E(\pi)=........$\, et \, $E(-\pi)=........$\footnote{On remarquera que la fonction partie entière des mathématiciens n'est pas 
symétrique par rapport à $0$, contrairement à celle des informaticiens qui considèrent que $E(-\pi)=-3$}\\
Ci-contre, nous avons tracé $\mathscr C_E$. \\
Il est clair que $E$ est continue sur tout intervalle du type $]x;x+1[$ où $x\in .......$.\\
Par contre, $E$ admet des discontinuités en ............................... \\
En effet on a par exemple :
$$ \lim\limits_{x \to 2^+} E(x)=........\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x \to 2^-} E(x)=.......$$
Les limites à droite et à gauche étant différentes, la fonction partie entière n'admet pas de limite en $2$. \\
Elle est donc discontinue en $2$.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(4.,3.5)
\def\xmin{-3.5} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{3.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3.5,-3.5)(4,3.5)
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.6,-3.6)(4.1,3.6)
\psclip{%
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\F}
\def\G{1}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{2}{\G}
\def\H{2}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{2}{3}{\H}
\def\I{3}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{3}{4}{\I}
\def\J{0 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{0}{\J}
\def\K{0 2 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{-1}{\K}
\def\L{0 3 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-2}{\L}
\psdot(0,0)\psdot(1,1)\psdot(2,2)\psdot(3,3)\psdot(-1,-1)\psdot(-2,-2)\psdot(-3,-3)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[d](-2,-2.7){[}
\uput[d](-1,-1.7){[}
\uput[d](0,-0.7){[}
\uput[d](1,0.3){[}
\uput[d](2,1.3){[}
\uput[d](3,2.3){[}
\uput[d](4,3.3){[}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\subsubsection{Des limites à droite et à gauche réelles et égales : les fonctions prolongeables par continuité}
\noindent \begin{multicols}{2}
Reprenons l'exemple de la partie II.1) : 
$$\begin{array}{clcl}
                          k: & \R\textbackslash\{-2;1\} & \longrightarrow & \R \\
			    & x &\longmapsto & \dfrac{2x-2}{x^2+x-2}
                         \end{array}$$
Cela n'a pas de sens de parler de la discontinuité de $k$ en $......$ et $......$. Par contre, 
on a déjà vu que $\Lim{1^+}k(x)=\Lim{1^-}k(x)=..........$.
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-3)(4,4)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-5,-3)(4,4)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{-5}{-2.1}{(2*x-2)/(x^2+x-2)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{-1.9}{0.99}{(2*x-2)/(x^2+x-2)}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{1.01}{4}{(2*x-2)/(x^2+x-2)}
\begin{scriptsize}
\psdots[linecolor=xdxdff](1,0.666)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\noindent Ainsi, la fonction $h$ définie sur $\R\textbackslash\{-2\}$ par   
                         $h(x)=  \left\{\begin{array}{cl}
                          \dfrac{2x-2}{x^2+x-2}  & \text{ Si } x\neq 1\\
                         ............. & \text{ Si } x=1
                          \end{array}\right.$ \qquad \textbf{n'est pas continue en $1$}.\\
Par contre,la fonction $l$ définie sur $\R\textbackslash\{-2\}$ par
                          $l(x)=\left\{\begin{array}{cl}
                          \dfrac{2x-2}{x^2+x-2}  & \text{ Si } x\neq 1\\
                         ............. & \text{ Si } x=1
                          \end{array}\right.$ \qquad \textbf{est continue en $1$}.\\
                         On dit que l'on a prolongé par continuité la fonction $k$ en $.........$.
                         
\Rq{
Par contre, on sait que  $\Lim{2^+}k(x)=........$,  $\Lim{2^-}k(x)=.........$.\\
On ne peut donc pas trouver de valeur pour l'image de $-2$ qui prolongerait $k$ par continuité.
}

\vspace{1cm}

\Question{
Graphiquement, dire si les fonctions suivantes peuvent être prolonger par continuité en $0$. \\
Si oui, proposer une valeur pour l'image de $0$ puis démontrer votre conjecture si possible.
$$f : x \longmapsto \dfrac{\cos(x)}{x} \qquad g : x \longmapsto \dfrac{\sin(x)}{x} \qquad 
h:x \longmapsto \cos\left(\dfrac1x\right) \qquad k:x \longmapsto \sin\left(\dfrac1x\right)$$
$$l:x \longmapsto x\cos\left(\dfrac1x\right) \qquad m:x \longmapsto x\cos\left(\dfrac1x\right)
\qquad n:x \longmapsto \dfrac{\cos\left(\dfrac1x\right)}x \quad \text{ et } \quad  p:x \longmapsto \dfrac{\sin\left(\dfrac1x\right)}x$$
}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-8,-4)(8,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-8,-4)(8,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-8,-4)(8,4)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=200]{-8.0}{8.0}{COS(x)/x}
\rput[tl](2.57,2.14){$y=\dfrac{\cos(x)}{x}$}
\end{pspicture*}\qquad 
\psset{xunit=0.3cm,yunit=4.0cm}
\begin{pspicture*}(-16,-0.5)(16,1.5)
\psgrid[xunit=0.6cm,yunit=2cm,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-8,-1)(8,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-16,-0.5)(16,1.5)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=200]{-16}{16}{SIN(x)/x}
\rput[tl](6,0.8){$y=\dfrac{\sin(x)}{x}$}
\end{pspicture*}\\
\psset{xunit=4.4cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(1,1)
\psgrid[xunit=0.88cm,yunit=2cm,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-2)(5,2)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.4,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=800]{-1.0}{1.0}{COS(1/x)}
\rput[tl](0.55,0.8){$y=\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)$}
\end{pspicture*}\quad 
\psset{xunit=4.4cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(1,1)
\psgrid[xunit=0.88cm,yunit=2cm,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-2)(5,2)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.4,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-1)(1,1)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=800]{-1.0}{1.0}{SIN(1/x)}
\rput[tl](0.55,0.8){$y=\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$}
\end{pspicture*}\\
\psset{xunit=4.4cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.6)(1,0.6)
\psgrid[xunit=0.88cm,yunit=1.5cm,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-2.4)(5,2.4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.4,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-0.6)(1,0.6)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=800]{-1.0}{1.0}{x*COS(1/x)}
\rput[tl](0.3,0.4){$y=x\cos\left(\dfrac{1}{x}\right)$}
\end{pspicture*}\quad 
\psset{xunit=4.4cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.3)(1,0.9)
\psgrid[xunit=0.88cm,yunit=1.5cm,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-1.2)(5,3.9)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.4,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-0.3)(1,0.9)
\psplot[linecolor=red,plotpoints=800]{-1.0}{1.0}{x*SIN(1/x)}
\rput[tl](0.5,0.2){$y=x\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsubsection{Une fonction \og  monstre \fg}

\begin{multicols}{2}
\Att{Voici un exemple de fonction $f$ définie sur $\R$, non continue, et
dont la représentation graphique se trace pourtant à l'aide 
d'un trait continue à l'oeil nu :}
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x \text{ si }x\in\Q \\ 0 \text{ sinon } \end{array} \right.$$
En apparence on pourrait croire que cette courbe se trace sans lever le crayon et pourtant 
la fonction présente une infinité de discontinuité (en tout réel !!)
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(3,3)
\def\xmin{-1} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-3.1)(3.1,3.1)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-3)(3,3)
\psclip{%
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x}
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{3}{\G}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\newpage

\begin{multicols}{2}
\begin{ExoC}
 On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par :
 $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$$
 \begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
%\item A l'aide de la représentation graphique ci-dessus, où $f$ est définie par $f(x)=\sqrt{4x+5}$, 
%conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_n)$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $5$. 
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
 \item En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
\end{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi $\ell$ vérifie $\ell=f(\ell)$
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
 \end{ExoC}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](3,5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,3){\small $u_1$}
\uput[-90](3,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,4.1231){\small $u_2$}
\uput[-90](4.1231,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,4.63599){\small $u_3$}
\uput[-90](4.63599,0){\small $u_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\begin{multicols}{2}
\begin{ExoC}
 On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par :
 $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$$
 \begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
%\item A l'aide de la représentation graphique ci-dessus, où $f$ est définie par $f(x)=\sqrt{4x+5}$, 
%conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_n)$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $5$. 
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
 \item En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
\end{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi $\ell$ vérifie $\ell=f(\ell)$
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
 \end{ExoC}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](3,5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,3){\small $u_1$}
\uput[-90](3,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,4.1231){\small $u_2$}
\uput[-90](4.1231,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,4.63599){\small $u_3$}
\uput[-90](4.63599,0){\small $u_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\begin{multicols}{2}
\begin{ExoC}
 On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par :
 $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$$
 \begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
%\item A l'aide de la représentation graphique ci-dessus, où $f$ est définie par $f(x)=\sqrt{4x+5}$, 
%conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_n)$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $5$. 
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
 \item En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
\end{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi $\ell$ vérifie $\ell=f(\ell)$
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
 \end{ExoC}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
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\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
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\uput[0](3,5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
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\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
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\uput[-90](4.63599,0){\small $u_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}



\end{document}