\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Activit\'es}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Limites de Fonction}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.3cm,bmargin=1.3cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\pagestyle{empty}

\begin{act}
On note $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{-2x^2+1}{4-x^2}$. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
 \item Etude des variations de $f$
 \begin{enumerate}
  \item Dériver $f$ sur son ensemble de définition.\\
  \textit{On rappelle la formule à connaître désormais par coeur } \fbox{$(uv)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$}
\item Dresser alors le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
 \item On aimerait rajouter des informations \og au bout des flèches \fg du tableau.
 \begin{enumerate}
  \item A l'aide de votre calculatrice, conjecturer graphiquement ces valeurs.
  \item A votre avis, comment les appelle-t-on ? les note-t-on ? les définit-on ?
 \end{enumerate}
 \item Justification en l'infini :
 \begin{enumerate}
  \item Dresser le tableau de signe de $f(x)-2$
  \item Ecrire alors $|f(x)-2|$ sans valeur absolue.
  \item On considère un réel $\varepsilon$ strictement positif.
\begin{enumerate}
       \item Montrer qu'il existe un réel $x_0$ tel que pour tout $x\geq x_0$ on ait $|f(x)-2|<\varepsilon$.
\item De même, montrer qu'il existe un réel $x_0$ tel que pour tout $x\leq x_0$ on ait $|f(x)-2|<\varepsilon$.\\
      \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\vspace{3cm}

\begin{act}
On note $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{2+x}$. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
 \item Etude des variations de $f$
 \begin{enumerate}
  \item Dériver $f$ sur son ensemble de définition.
\item Dresser alors le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
 \item On aimerait rajouter des informations \og au bout des flèches \fg du tableau.
 \begin{enumerate}
  \item A l'aide de votre calculatrice, conjecturer graphiquement ces valeurs.
  \item A votre avis, comment les appelle-t-on ? les note-t-on ? les définit-on ?
 \end{enumerate}
 \item Justification en l'infini :
 \begin{enumerate}
  \item On considère un réel $A$ strictement positif.
\begin{enumerate}
       \item Montrer qu'il existe un réel $x_0$ tel que pour tout $x\geq x_0$ on ait $f(x)>A$.
\item De même, montrer qu'il existe un réel $x_0$ tel que pour tout $x\leq x_0$ on ait $f(x)<A$.\\
      \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\newpage

\begin{defi}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $]a ; +\infty[$ et un réel $\ell$.\\
On dit que $f$ \textbf{admet pour limite $\ell$ (ou tend vers $\ell$) quand $x$ tend vers $+\infty$}, 
lorsque tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$ (aussi petit soit-il) contient aussi toutes 
les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell$$
On dit que la droite d'équation $y=\ell$ est \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 
à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$. 
\end{defi}

 \begin{center}
 \scalebox{0.9} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-5.5)(11.700937,2.5)
\definecolor{color2274b}{rgb}{0.6274509803921569,0.7529411764705882,0.7372549019607844}
\definecolor{color1054}{rgb}{0.9176470588235294,0.14901960784313725,0.14901960784313725}
\psframe[linewidth=0.002,linecolor=white,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm,dimen=outer,fillstyle=solid,fillcolor=color2274b](11.680938,0.0)(7.9809375,-1.0)
\rput(1.6809375,-4.5){\psaxes[linewidth=0.04,labels=none,ticks=none,ticksize=0.10583333cm]{->}(0,0)(-1,-1)(10,7)}
\psline[linewidth=0.04cm](0.6809375,-0.5)(11.680938,-0.5)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](0.6809375,0.0)(11.680938,0.0)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](11.680938,-1.0)(0.6809375,-1.0)
\pscustom[linewidth=0.04,linecolor=color1054]
{
\newpath
\moveto(0.6809375,2.2)
\lineto(0.9309375,2.1)
\curveto(1.0559375,2.05)(1.2809376,1.825)(1.3809375,1.65)
\curveto(1.4809375,1.475)(1.6559376,1.175)(1.7309375,1.05)
\curveto(1.8059375,0.925)(1.9059376,0.65)(1.9309375,0.5)
\curveto(1.9559375,0.35)(2.0059376,0.075)(2.0309374,-0.05)
\curveto(2.0559375,-0.175)(2.1309376,-0.4)(2.1809375,-0.5)
\curveto(2.2309375,-0.6)(2.3309374,-0.8)(2.3809376,-0.9)
\curveto(2.4309375,-1.0)(2.5309374,-1.175)(2.5809374,-1.25)
\curveto(2.6309376,-1.325)(2.7309375,-1.475)(2.7809374,-1.55)
\curveto(2.8309374,-1.625)(3.0059376,-1.7)(3.1309376,-1.7)
\curveto(3.2559376,-1.7)(3.4809375,-1.675)(3.5809374,-1.65)
\curveto(3.6809375,-1.625)(3.8559375,-1.525)(3.9309375,-1.45)
\curveto(4.0059376,-1.375)(4.1059375,-1.2)(4.1309376,-1.1)
\curveto(4.1559377,-1.0)(4.2309375,-0.825)(4.2809377,-0.75)
\curveto(4.3309374,-0.675)(4.4559374,-0.55)(4.5309377,-0.5)
\curveto(4.6059375,-0.45)(4.7809377,-0.375)(4.8809376,-0.35)
\curveto(4.9809375,-0.325)(5.1559377,-0.35)(5.2309375,-0.4)
\curveto(5.3059373,-0.45)(5.4309373,-0.575)(5.4809375,-0.65)
\curveto(5.5309377,-0.725)(5.6309376,-0.875)(5.6809373,-0.95)
\curveto(5.7309375,-1.025)(5.8309374,-1.175)(5.8809376,-1.25)
\curveto(5.9309373,-1.325)(6.0559373,-1.45)(6.1309376,-1.5)
\curveto(6.2059374,-1.55)(6.3309374,-1.675)(6.3809376,-1.75)
\curveto(6.4309373,-1.825)(6.6309376,-1.875)(6.7809377,-1.85)
\curveto(6.9309373,-1.825)(7.1809373,-1.75)(7.2809377,-1.7)
\curveto(7.3809376,-1.65)(7.5559373,-1.525)(7.6309376,-1.45)
\curveto(7.7059374,-1.375)(7.8559375,-1.2)(7.9309373,-1.1)
\curveto(8.005938,-1.0)(8.130938,-0.775)(8.180938,-0.65)
\curveto(8.230938,-0.525)(8.405937,-0.375)(8.530937,-0.35)
\curveto(8.655937,-0.325)(8.880938,-0.35)(8.980938,-0.4)
\curveto(9.080937,-0.45)(9.255938,-0.55)(9.330937,-0.6)
\curveto(9.405937,-0.65)(9.605938,-0.725)(9.730938,-0.75)
\curveto(9.855938,-0.775)(10.055938,-0.75)(10.130938,-0.7)
\curveto(10.205937,-0.65)(10.405937,-0.55)(10.530937,-0.5)
\curveto(10.655937,-0.45)(10.855938,-0.35)(10.930938,-0.3)
\curveto(11.005938,-0.25)(11.180938,-0.175)(11.280937,-0.15)
\curveto(11.380938,-0.125)(11.530937,-0.15)(11.680938,-0.3)
}
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](7.9809375,-4.5)(7.9809375,0.1)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1,2.5){$\mathscr C_f$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(8.002344,-4.895){$x_0$}
\rput(1.5,2.5){$y$}
\rput(11.5,-4.895){$x$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(0.5,-0.5){$\ell$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(0,0){$\ell + \varepsilon$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(0,-1){$\ell - \varepsilon$}
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](9.680938,-4.5)(9.680938,-0.5)
\psdots[dotsize=0.162,dotstyle=x](9.681,-0.73)
\psdots[dotsize=0.16,dotstyle=x](9.681,-0.5)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(9.4,-0.295){$N$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(9.4,-0.85){$M$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.3723438,-4.795){$O$}
\end{pspicture} 
}
\end{center}

\Rq{
}

\newpage

\begin{defi}
Une fonction $f$ \textbf{tend vers} :
\begin{itemize}
\item  \textbf{$+\infty$  quand $x$ tend vers $+\infty$}, lorsque tout intervalle du type $]A;+\infty[$, 
avec $A\in\R$, contient toutes les images $f(x)$ pour $x$ assez grand et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$$
\item \textbf{$-\infty$  quand $x$ tend vers $+\infty$}, lorsque tout intervalle du type $]-\infty;A[$, 
avec $A\in\R$, contient toutes les images $f(x)$ pour $x$ assez grand et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$$
\end{itemize} 
\end{defi}

\textbf{Illustrations} :\\
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{nivaud.2}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 
\includegraphics[scale=1]{nivaud.3}
\end{center}

\Rq{
  
}

\newpage

\begin{defi}
Une fonction $f$ \textbf{tend vers} :
\begin{itemize}
       \item \textbf{un réel $\ell$ quand $x$ tend vers un réel $a$}, lorsque pour tout intervalle ouvert contenant $\ell$,
contient aussi toutes les valeurs de $f(x)$ pour tout réel $x$ assez proche de $a$. On note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=\ell$$
 \item \textbf{$+\infty$  quand $x$ tend vers un réel $a$}, lorsque pour tout intervalle du type $]\lambda;+\infty[$, avec $\lambda\in\R$, 
contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour tout réel $x$ assez proche de $a$. On note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty$$
 \item \textbf{$-\infty$  quand $x$ tend vers un réel $a$}, lorsque pour tout intervalle du type $]-\infty;\lambda[$, avec $\lambda\in\R$, 
contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour tout réel $x$ assez proche de $a$. On note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty$$
      \end{itemize}
Dans tous les cas, on définit la limite de $f$ en $a$ \textbf{à droite} (respectivement \textbf{à gauche}) de manière analogue, 
en considérant $x$ assez proche de $a$ mais restant strictement supérieur à $a$ (respectivement inférieur). \\
On note :
$$\lim\limits_{\begin{array}{c}
x \to a \\x>a\end{array}}f(x) =\lim\limits_{x \to a^+}f(x)\qquad \qquad \text{ et }
\qquad \qquad \lim\limits_{\begin{array}{c}
x \to a \\x<a\end{array}}f(x) =\lim\limits_{x \to a^-}f(x)$$
\end{defi}

\textbf{Illustrations} :\\
\begin{minipage}{6cm}
$$\lim\limits_{x \to a^+}f(x)=+\infty$$
$$\includegraphics[scale=0.8]{nivaud.4}$$ 
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
$$\lim\limits_{x \to a^-}f(x)=+\infty$$
$$\includegraphics[scale=0.8]{nivaud.5}$$ 
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
$$\lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty$$
$$\includegraphics[scale=0.8]{nivaud.1}$$ 
\end{minipage}

\begin{defi}
 Lorsque $f$ admet pour limite $+\infty$ ou $-\infty$ en un réel $a$ (ou en $a$ à droite, ou en $a$ à gauche), on dit que la 
 droite d'équation $x=a$ est \textbf{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad} à la courbe représentative de $f$.
\end{defi}

\Rq{
}

\end{document}