\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Activit\'es}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Vous saviez d\'ej\`a que les math\'ematiques \linebreak[4] \'etaient complexes !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.3cm,bmargin=1.3cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

%\renewcommand{\arraystretch}{1.2}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\pagestyle{empty}

\begin{act} \textbf{Une conjecture valable pour chaque rang $n$}
\begin{enumerate}
 \item Calculer à la main les premiers termes de la suite jusqu'à $u_5$.
 \item Etablir à la calculatrice le tableau de valeurs de $(u_n)$ et vérifier vos résultats.
 \item La plupart des calculatrices n'affichent pas dans leur tableau une valeur exacte à partir de $u_{20}$.\\
Grâce aux premières lignes de ce tableau, conjecturer la valeur exacte de $u_{33}$ et $u_{34}$.
\item Ces résultats sont-ils certains ? Que faudrait-il faire pour les vérifier ?
\item Quelqu'un a eu le courage de se lancer dans cette vérification et a trouvé 
$u_{33}=\nombre{8589934591}$, mais pour $u_{34}$, sa calculatrice ne donne qu'une 
valeur approchée. \\
Vérifier à la calculatrice votre conjecture pour $u_{33}$, puis, sans calculatrice, vérifier
votre conjecture sur $u_{34}$.
\item Conjecturer une formule explicite pour calculer $u_n$. Ce résultat est-il certain pour tout $n\in\N$ ?
\end{enumerate}
\end{act}

\vspace{2cm}

\begin{ExoC}
Compléter la démonstration par récurrence suivante, afin de 
montrer que la somme des $n$ premiers entiers non nuls vaut $\dfrac{n(n+1)}{2}$.\\
\textcolor{blue}{On veut montrer que la proposition \og $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ \fg \, 
est vraie pour tout $n \geq $}\\
\begin{itemize}
 \item \textcolor{blue}{\textbf{Initialisation :} pour $n=$}
 \begin{itemize}
  \item \textcolor{red}{La somme des $n$ premiers entiers non nuls vaut \\
\item Et $\dfrac{n(n+1)}{2} = $}\\\\
 \end{itemize}
\textcolor{blue}{Donc la proposition est vraie au rang $\qquad$.\\
\item \textbf{Hérédité :} On suppose qu'il existe un entier $k \geq \qquad\qquad $ tel que $\qquad$ \\\\
On cherche à montrer que} $\qquad$ \\\\
$\begin{array}{llcr}
\text{\textcolor{blue}{Or }}& \textcolor{red}{1+2+3+ \dots + \dots + (k+1)} & = & \\\\
&& = & \\\\
&& = &
\end{array}$\\
\textcolor{blue}{La proposition est vraie au rang $\qquad$. \\
Donc la proposition est $\qquad$ \\
 \item \textbf{Conclusion} :
La proposition est $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ et $\qquad$.\\
Elle est donc vraie pour tout $n \geq \qquad$}
\end{itemize}
\end{ExoC}

\vspace{2cm}

\begin{ExoC}
On note $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$.\\
Démontrer par récurrence que $\forall n \in \N$ on a $0 \leq u_n \leq 3$.
\end{ExoC}

\newpage

\begin{act}\\
\begin{minipage}{7cm}
 On considère les suites $u$ et $v$ définies pour tout entier $n\geq 1$ par :
$$ u_n=\dfrac{1}{n^2}\qquad \text{et}\qquad v_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}$$
Et on donne l'algorithme ci-contre.
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{11cm}
\begin{center}
\Algo{10cm}{
\Variable{ 
 $n$ est un nombre entier et $u$  est un nombre réel.
}
\Deb{
$n:=1$ ; $u:=1$\\
  \While{$u\geq 10^{-3}$}
{$n:=n+1$\\
$u:=\dfrac{1}{n^2}$ 
}
Renvoyer $n$
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Compléter le début de trace de l'algorithme ci-dessus.
\begin{center}
 \begin{tabular}{*{6}{|C{2cm}}|}\hline
  $n$ & & & & & \tabularnewline\hline
  $u$ & & & & & \tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\item A quel résultat aboutit la mise en oeuvre de l'algorithme ci-contre ?
\item Fabrice affirme : \og $\forall n \geq 32$ on a $u_n<10^{-3}$ \fg
\begin{enumerate}
 \item Proposer une traduction française de cette phrase mathématique.
 \item Fabrice a-t-il raison ? Expliquer.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Modifier cet algorithme pour obtenir la première valeur $N$ telle que $u_N<10^{-6}$.
\item Que renvoit alors l'algorithme ?
\item Loïc affirme : \og $\exists N\in\N, \, \forall n \geq N$ on a $u_n<10^{-6}$ \fg
\begin{enumerate}
 \item Proposer une traduction française de cette phrase mathématique.
 \item Loïc a-t-il raison ? Expliquer.
\end{enumerate}
\item Soit $\epsilon$ un réel strictement positif.\\
Démontrer qu'il existe un entier $N$ tel que pour tout entier $n\geq N$ on ait :
$$ 0<u_n<\epsilon$$
\item Norbert affirme : \og $\forall \epsilon >0, \, \exists N\in\N, \, \forall n \geq N$ on a $0<u_n<\epsilon$ \fg
\begin{enumerate}
 \item Proposer une traduction française de cette phrase mathématique.
 \item Norbert a-t-il raison ? Expliquer.
\end{enumerate}
\textbf{On dit que la suite $u$ converge vers $0$ ou que la limite de la suite $u$ est $0$, on note :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$$}
\end{enumerate}
\item Démontrer de façon analogue que la suite $v$ converge vers $0$.
\end{enumerate}
\end{act}

\newpage

\textbf{\underline{Illustration graphique} : } Avec la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ de terme général $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=10cm,dotstyle=x,dotsize=5pt}
\begin{pspicture*}(-1.1,0.95)(24.1,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{24} \def\ymin{1} \def\ymax{1.8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\F}
\def\G{1.55}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\G}
\def\H{1.45}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\H}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=10pt,hatchcolor=red,linestyle=solid]
{
\psplot{10}{25}{\G}
\psplot{25}{10}{\H}
}
\psdot(1,1)
\uput{0.2}[90](1,1){$u_1$}
\psdot(2,1.75)
\uput{0.2}[90](2,1.75){$u_2$}
\psdot(3,1.33)
\uput{0.2}[-90](3,1.33){$u_3$}
\psdot(4,1.625)
\uput{0.2}[90](4,1.625){$u_4$}
\psdot(5,1.4)
\uput{0.2}[-90](5,1.4){$u_5$}
\psdot(6,1.58)
\uput{0.2}[90](6,1.58){$u_6$}
\psdot(7,1.42)
\uput{0.2}[-90](7,1.42){$u_7$}
\psdot(8,1.56)
\psdot(9,1.44)
\psdot(10,1.55)
\psdot(11,1.45)
\psdot(12,1.54)
\psdot(13,1.46)
\psdot(14,1.53)
\psdot(15,1.47)
\psdot(16,1.53125)
\psdot(17,1.471)
\psdot(18,1.527)
\psdot(19,1.473)
\psdot(20,1.525)
\psdot(21,1.476)
\psdot(22,1.522)
\psdot(23,1.478)
\psdot(24,1.52)
\psdot(25,1.48)
\uput[ur](-0.7,1.48){$\ell$}
\psline{<->}(0.7,1.5)(0.7,1.55) \uput[r](0.7,1.52){$\epsilon$}
\psline{<->}(0.7,1.5)(0.7,1.45)\uput[r](0.7,1.47){$\epsilon$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](10,0)(10,1.53)
\uput[ur](10,1.3){$10$ est le rang à partir duquel tous les termes}
\uput[ur](10,1.25){de la suite sont dans la bande hachurée d'épaisseur choisie}
\uput[ur](10,1.20){(ici, $\varepsilon=0.05$)}
% \uput[ur](9,1.7){La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ de terme général $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=2,Dy=0.2,Ox=0,Oy=\ymin]{->}(0,\ymin)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{ExoC}
\begin{enumerate}
 \item Conjecturer à la calculatrice les limites éventuelles des suites suivantes, puis les démontrer.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
 \item $\left(u_n\right)_{n\in\N^*}\, :\, u_n= \dfrac{1}{n}-2$
 \item $\left(v_n\right)_{n\in\N} \, :\, v_n=\dfrac{5n+1}{n+3}$
 \item $(w_n)_{n\in\N}$ \, :\,$w_n=(-1)^n$
\end{multicols}
 \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item A partir de quel rang $N$ la distance entre $u_n$ et sa limite est-elle strictement inférieur à $0.001$ ?
 \item Même question pour $(v_n)$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoC}


\vspace{2cm}


\textbf{\underline{Illustration graphique} : }
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=5cm,dotstyle=x,dotsize=5pt}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.1)(17,1.42)
\def\xmin{-1} \def\xmax{17} \def\ymin{-0.1} \def\ymax{1.42}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
}
\definecolor{color1205c}{rgb}{0.8313725490196079,0.2196078431372549,0.2196078431372549}
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](0,0.7)(17,0.7)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](9.9,0)(9.9,1.42)
\rput(9.9,-0.07){$N$}
\psframe[linewidth=0,dimen=outer,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchangle=45,
hatchcolor=red,hatchsep=10pt](9.9,0.7)(17.1,1.5)
\rput(16.5,-0.07){$n$}
\rput(-0.7,1.3){$u_n$}
\psdots(0,0)\psdots(0.3,0.05)\psdots(0.6,0.03)
\psdots(0.9,0.09)\psdots(1.2,0.15)\psdots(1.5,0.12)
\psdots(1.8,0.13)\psdots(2.1,0.18)\psdots(2.4,0.15)
\psdots(2.7,0.20)\psdots(3,0.25)\psdots(3.3,0.23)
\psdots(3.6,0.25)\psdots(3.9,0.3)\psdots(4.2,0.27)
\psdots(4.5,0.3)\psdots(4.8,0.35)\psdots(5.1,0.34)
\psdots(5.4,0.36)\psdots(5.7,0.44)\psdots(6,0.4)
\psdots(6.3,0.45)\psdots(6.6,0.5)\psdots(6.9,0.48)
\psdots(7.2,0.53)\psdots(7.5,0.58)\psdots(7.8,0.65)
\psdots(8.1,0.6)\psdots(8.4,0.67)\psdots(8.7,0.72)
\psdots(9,0.67)\psdots(9.3,0.76)\psdots(9.6,0.65)
\psdots(9.9,0.75)\psdots(10.2,0.82)\psdots(10.5,0.8)
\psdots(10.8,0.83)\psdots(11.1,0.93)\psdots(11.4,0.87)
\psdots(11.7,0.92)\psdots(12,1.04)\psdots(12.3,0.95)
\psdots(12.6,1.1)\psdots(12.9,1.14)\psdots(13.8,1.08)
\psdots(13.5,1.12)\psdots(13.8,1.23)\psdots(14.1,1.18)
\psdots(14.4,1.20)\psdots(14.7,1.35)\psdots(15,1.29)
\psdots(15.3,1.3)\psdots(15.6,1.47)\psdots(15.9,1.41)
\psdots(16.2,1.41)\psdots(16.5,1.59)\psdots(16.8,1.53)
\uput[ur](-0.7,0.7){$A$}
\uput[ur](10.3,0.5){$N$ est le rang à partir duquel}
 \uput[ur](10.3,0.3){tous les termes de la suite}
\uput[ur](10.3,0.1){sont supérieurs au $A$ choisi}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.5,-0.1)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage


\begin{ExoC}
\begin{enumerate}
        \item 
       Démontrer que chacune des suites suivantes diverge vers $\pm \infty$ :
\begin{enumerate}
 \item $(u_n)_{n\in\N}$ de terme génral $u_n=n$
 \item $(v_n)_{n\in\N}$ de terme général $v_n=n^2$
 \item $(w_n)_{n\in\N}$ de terme génral $w_n=-(n+1)^2$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item A partir de quel rang a-t-on $u_n>10^6$ ?
 \item Même question pour $v_n$.
 \item  A partir de quel rang a-t-on $w_n<-10^6$ ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoC}


\vspace{1cm}

\textbf{Cas d'une somme : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (u_n+v_n)$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}>{\centering}m{2.4cm} *{6}{|>{\centering}m{2.1cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ &\makebox[3em]{$\ell$}&$\ell$&$\ell$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$\tabularnewline\hline
 \rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$  & \makebox[3em]{$\ell'$} & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$  \tabularnewline \hline
\rule[-50pt]{0pt}{100pt}$\lim\limits_{n\to+\infty} (u_n+v_n)$  & &  &  &  &  & 
  \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
  \end{center}
  
\vspace{0.5cm}

\textbf{Cas d'un produit : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (u_n v_n)$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}>{\centering}m{2.4cm} *{4}{|>{\centering}m{3.3cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ &\makebox[3em]{$\ell$}&$\ell\neq 0$&$\infty$&$0$\tabularnewline\hline
\rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$ & \makebox[3em]{$\ell'$} &  $\infty$ & $\infty$ & $\infty$  \tabularnewline \hline
\rule[-50pt]{0pt}{100pt}$\lim\limits_{n\to+\infty} (u_n\times v_n)$  &  & &  &  \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
\end{center}
  
\vspace{0.5cm}

\textbf{Cas d'un quotient : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}>{\centering}m{2cm} *{6}{|>{\centering}m{2.2cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ &\makebox[3em]{$\ell$}&$\ell$& $\ell$ ou $\infty$&$0$&$0$&$\infty$\tabularnewline\hline
\rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$ & \makebox[3em]{$\ell' \neq 0$} &  $\infty$ & $0^+$ ou $0^-$& $0$ & $\infty$ & $\infty$ 
 \tabularnewline \hline
\rule[-50pt]{0pt}{100pt}$\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{u_n}{v_n}$  &  &  &   &
&    &  \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
\end{center}

\newpage
\Cadre[Exemples de programmation]{
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
Sur \textbf{TI 89} :\\
\includegraphics[scale=1.2]{TI89.eps}   \\~\\ 
\end{center}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
Sur \textbf{Algobox} : \\
\includegraphics[scale=0.6]{Algobox.eps}  \\~\\                                  
\end{center}
\end{minipage}
\\\\
\noindent\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
Sur \textbf{TI 82 à 84} :\\
\includegraphics[scale=1.2]{TI83.eps} \\~\\ 
\end{center}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
Sur \textbf{Scilab} :\\
\includegraphics[scale=0.8]{Scilab.eps} \\~\\ 
\end{center}
\end{minipage}\\\\
\noindent\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
Sur \textbf{TI Nspire CX CAS} :\\
\includegraphics[scale=0.8]{Nspire.eps}
\end{center}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{8cm}
Sur \textbf{Casio}, les commandes sont les mêmes, sauf pour la saisie et l'affichage des variables, respectivement écrites ainsi : \\
\texttt{? $\to$ N} \qquad  et \qquad \texttt{N} $\blacktriangleleft$
\end{minipage}
}

\end{document}