\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Activit\'es}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les maths : l'int\'egrale !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 12}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{12}	
\newcommand{\tps}{2h}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\pagestyle{empty}
%\vspace{3cm}

\begin{act}
 Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij .\\
  Soit $f$ la fonction définie sur $\R^{+*}$ par $f(t)=\dfrac1x$.
  On a dessiné ci-dessous sa courbe représentative $\mathscr C_f$. 
  \begin{enumerate}
   \item Comment encadrer l'aire $\mathscr A$ comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et 
   les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ ?
   \begin{center}
    \psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\psgrid[subgriddiv=4,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=orange](0,0)(-0.5,-0.5)(2.25,2.25)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\psplot[plotpoints=200]{-0.5}{6.0}{1/x}
\end{pspicture*} \qquad \qquad 
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\psgrid[subgriddiv=4,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=orange](0,0)(-0.5,-0.5)(2.25,2.25)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(2.25,2.25)
\psplot[plotpoints=200]{-0.5}{6.0}{1/x}
\end{pspicture*}
   \end{center}
   \item On a finalement découpé l'intervalle $[1;2]$ en quatre sous-intervalles de même amplitude 
   $\dfrac14$.
   \begin{enumerate}
          \item Justifier que :
          $$\dfrac{f\left(1+\dfrac14\right)+f\left(1+\dfrac24\right)+f\left(1+\dfrac34\right)+f\left(1+\dfrac44\right)}{4}
         \leq \mathscr A \leq 
         \dfrac{f\left(1\right)+f\left(1+\dfrac14\right)+f\left(1+\dfrac24\right)+ f\left(1+\dfrac34\right)}{4}
          $$
 \begin{minipage}{6.5cm}
 \item On a effectué les calculs ci-contre à l'aide du logiciel Xcas.\\
  En déduire un encadrement de $\mathscr A$ entre deux décimaux avec deux chiffres après la virgule.
   \end{minipage}  \quad 
 \begin{minipage}{10cm}
  \includegraphics[scale=0.6]{XcasActivite1.eps}
 \end{minipage}\\
   \end{enumerate}

     \item Soit $n\geq 1$. On découpe l'intervalle $[1;2]$ en $n$ sous-intervalles de même amplitude.
 \begin{enumerate}
  \item Généraliser la méthode précédente pour obtenir un encadrement de $\mathscr A$ dans ce cas, en fonction de $n$.
  \item Déduire des autres résultats du logiciel Xcas un encadrement plus précis de $\mathscr A$, 
  en précisant en le nombre $n$ utilisé.
    \end{enumerate}
    \begin{minipage}{10cm}
    \item On propose l'algorithme ci-contre. 
        \begin{enumerate}
          \item Qu'affiche l'algorithme quand on rentre la valeur $n=4$ ?
          \item Que fait-il ?
  \item Pour $n=10$, il renvoit la valeur $0.05$, pour $n=20$, la valeur $0.025$, 
  pour $n=50$, la valeur $0.01$.\\
  Justifier que l'amplitude de l'encadrement de $\mathscr A$ lorsque l'on découpe l'intervalle 
  $[1;2]$ en $n$ sous-intervalles de même amplitude est $\dfrac{1}{2n}$.
  \item Quelle était la meilleure amplitude obtenue jusqu'à présent ?
  \item Pour quelles valeurs de $n$ obtient-on un encadrement de $\mathscr A$ à $0.0001$ près ?
  \item Modifier l'algorithme pour qu'il vous en procure un.
         \end{enumerate}
    \end{minipage}\qquad 
\begin{minipage}{8cm}
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     n EST_DU_TYPE NOMBRE
3     k EST_DU_TYPE NOMBRE
4     U EST_DU_TYPE NOMBRE
5     V EST_DU_TYPE NOMBRE
6     E EST_DU_TYPE NOMBRE
7   DEBUT_ALGORITHME
8     LIRE n
9     U PREND_LA_VALEUR 0
10    V PREND_LA_VALEUR 1/n
11    POUR k ALLANT_DE 1 A n-1
12      DEBUT_POUR
13      U PREND_LA_VALEUR U+1/(n+k)
14      V PREND_LA_VALEUR V+1/(n+k)
15      FIN_POUR
16    U PREND_LA_VALEUR U+1/(2*n)
17    E PREND_LA_VALEUR V-U
18    AFFICHER E
19  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\end{minipage}\\

\vspace{1cm}

 \begin{minipage}{10cm}
 \item Pour tout $t>1$, on note $S(t)$ l'aire de la portion de plan délimitée 
   par l'axe des abscisses, les droites d'équation $x=1$ et $x=t$ et la courbe $\mathscr C_f$.\\
Soient $a$ et $h$ deux réels tels que $a\geq 1$ et $h>0$. 
\begin{enumerate}
 \item En utilisant deux rectangles bien choisis, montrer que 
 $$\dfrac1{a+h} \leq \dfrac{S(a+h)-S(a)}{h} \leq \dfrac1{a}$$
 \item Proposer une conclusion.
\item En déduire une valeur exacte possible pour $\mathscr A$ et contrôler sa cohérence avec l'encadrement trouvé précédemment.
 \item Proposer une valeur exacte pour l'aire du dommaine délimité par la courbe $\mathscr C_f$, l'axe des abscisses
 et les droites d'équation $x=3$ et $x=5$. 
\end{enumerate}
 \end{minipage}
\qquad \begin{minipage}{10cm}
\psset{xunit=3cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\psgrid[subgriddiv=4,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=orange](0,0)(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\pscustom[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{1.4}{1.6}{1/x}\lineto(1.6,0)\lineto(1.4,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-1.0361954452682667}{4.8085527002630775}{1/x}
\psline(1,0)(1,1)
\end{pspicture*}
       \end{minipage} 
  \end{enumerate}
\end{act}

  
 \newpage
 

\includegraphics[scale=1.3]{integration/integration.11}\\

\vspace{2cm}

\includegraphics[scale=1.3]{integration/integration.12}



\newpage

\Expls{
  \begin{enumerate}
   \item On considère une fonction $f$ constante égale à $k\geq 0$. 
  %Si le repère est orthonormal avec $\mid\mid\vec i \mid\mid =\mid\mid j\mid\mid=1$ cm.
  \begin{enumerate}
   \item Proposer une valeur pour $\int_a^bf(x)dx$ dans le cas particulier où $k=0$, puis pour $k=1$.
   \item Même question dans le cas général.
  \end{enumerate}
  \item On considère une fonction affine $f$ positive sur le segment $[a;b]$ et définie par $ f(x)=mx+p$
   \begin{enumerate}
   \item Représenter graphiquement la fonction $f$ définie sur $[1;8]$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$.\\
   Déterminer alors $\int_1^{8} \left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}\right)dx$
   \item Proposer une valeur pour $\int_a^bf(x)dx$ dans le cas général.
  \end{enumerate}
  \item Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;1]$ par $ f(x)=\sqrt{1-x^2}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la courbe $\mathscr C_f$ représentant $f$ est le demi-cercle de centre $O$ et de 
rayon $1$ qui est situé dans le demi-plan des ordonnées positives.
\item En déduire que $$ \int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx=\dfrac{\pi}{4}$$
\end{enumerate}
  \end{enumerate}  
}

\vspace{2cm}



\begin{center}
\includegraphics[scale=1.1]{integration/integration.20} 
\end{center}

\newpage

\begin{act}\\
 \begin{minipage}{8.5cm}
 On considère une fonction $f$ continue, positive et 
 croissante sur l'intervalle $[a;b]$. Soit $F$ la fonction suivante :
 $$\begin{array}{ccccl}
    F & : & [a;b] & \longrightarrow & \R\\
      &   &  x & \longmapsto & F(x)=\int_a^x f(t)dt
   \end{array}$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.5)(3.5,2.5)
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1, ticksize=0pt 0]{->}(0,0)(-1.5,-0.5)(3.5,2.5)
\pscustom[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1}{2}{1.4^(x-2)+1}\lineto(2,0)\lineto(-1,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-1.5}{3.5}{1.4^(x-2)+1}
\psline(2.52,0)(2.52,2.19)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,2)
\rput[bl](-1.05,-0.4){{$a$}}
\rput[bl](1.93,-0.4){{$x$}}
\rput[bl](2.36,-0.4){{$x+h$}}
\rput[bl](0.43,0.8){\blue{$F(x)$}}
\rput[bl](0.44,-0.4){$\vec i$}
\rput[bl](-0.2,1.01){$\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item Soit $h$ un réel strictement positif.
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant la relation de Chasles, montrer que $F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(x)dx$. \\
  Hachurer l'aire correspondante sur le graphique.
  \item En utilisant deux rectangles bien choisis, montrer que 
  $$ f(x)\leq \dfrac{ F(x+h)- F(x)}{h}\leq f(x+h) $$
 \end{enumerate}
 \item Répondre aux mêmes question pour $h<0$.
 \item Quelle hypothèse sur $f$ nous permet d'affirmer que $\lim\limits_{h\to 0} f(x+h)=f(x)$ ?
 \item Que pouvez-vous en déduire sur la fonction $F$ ? 
 \item Que vaut $F(a)$ ? 
 \item Conclure.
 \item \textbf{Application} : proposer une valeur possible pour $\int_2^4 t^2 dt$. \\
 Est-on sûr qu'il s'agisse de la bonne ?
\end{enumerate}
\end{act}


\vspace{2cm}

\begin{minipage}{9cm}
\begin{act}
Un problème d'aplanissement.\\
Loic possède un terrain qu'il souhaite aplanir en rabotant les bosses et en
comblant les creux.\\
Comme il est radin, il ne souhaite pas faire venir de la terre ou des
pierres de l'extérieur, et ne veut pas non plus en évacuer hors de son terrain.\\
 En coupe, le terrain ressemble à la figure ci-contre.\\
 A quelle altitude va se trouver le terrain de Loïc ?
 \end{act}
 \end{minipage}\qquad 
 \begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.2cm}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=5.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-3.)(3.5,25)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,linestyle=dashed](-1,-1.)(7,5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-3.)(3.5,25)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.2]{\psplot{0}{3}{x*(x^2-6*x+9)+15}\lineto(3,0)\lineto(0,0)\closepath}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-0.6339919683389579}{3.418213828425097}{x*(x^2-6*x+9)+15}
\end{pspicture*}
\end{center}
 \end{minipage}

\newpage

\renewcommand{\arraystretch}{2.5}


\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|}
   \hline
   \multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{6ex}\textbf{\begin{LARGE}
Primitives des fonctions de référence
\end{LARGE}} } \tabularnewline\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{7ex}\textbf{Fonction $f$} } & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Primitive $F$, $c\in\R$ }} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Intervalle $I$} } \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}  $f(x)=k$ (constante) &  & \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$f(x)=x$ &  & \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=ax+b$ \,  ($a$ et $b$ réel) &  &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$  &  & \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $f(x)=x^n$ \, ($n\in\Z$ et $n\neq -1$) &  & 
\raggedright{Si $n\geq 0$ : \\
Si $n\leq -2$ : } \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\dfrac{1}{x}$ &  &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=e^x$ &  &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $f(x)=\dfrac{1}{ \sqrt{x}}$ &  &  \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$f(x)=\cos x$  &  & \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\sin x$ &  &  \tabularnewline\hline
%\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=1+\tan^2 x$ & $F(x)=\tan x$ & $\R-\{k \dfrac{\pi}{2};k\in\Z \}$ \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  
 
\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|}
   \hline 
\multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{6ex}\textbf{\begin{LARGE}
Opération sur les primitives
\end{LARGE}} } \tabularnewline
\multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{5ex}\textbf{$u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$} } \tabularnewline
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{7ex}\textbf{Fonction} } & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Une Primitive}} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Conditions} } \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}  $u'+v'$  &  & \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$ku'$ ($k$ constante) &  & \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $u' u^n$  &  &  \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ \dfrac{u'}{ \sqrt{u} }$ &  & \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ \dfrac{v'}{v^2} $ &  &   \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $u' e^u $  &  &  \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{8ex}$\dfrac{u'}{u}$  &  &   \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  
 \renewcommand{\arraystretch}{1}
 
\end{document}