\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Devoir Commun}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Scientifique}			%% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG4 \`a 7}				%% Classe
\newcommand{\num}{4}				%%% Numero du chapitre ou coeff
\newcommand{\Annee}{16 avril 2014}			%%% Date ou année
\newcommand{\tps}{2h}
\newcommand{\Niveau}{Terminale}
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\coef}{4}



\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\footskip=30pt


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages

\debutDSCommunCor


\begin{ExoF} \textbf{Communs à tous les candidats \hfill 10 points }% Antilles sept 2011 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
$\vect{\text{AB}}(2~;~- 8 ~;~- 2), \: \vect{\text{AC}}(3~;~0 ~;~1)$ .\\
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, dont les trois points distincts A, B et C définissent un plan.  
		\item %Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
On a $\vect{n} \cdot  \vect{\text{AB}} = 2 - 8 + 6 = 0$ et $\vect{n} \cdot  \vect{\text{AC}} = 3 - 3 = 0$.

Le vecteur $\vect{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires  du plan (ABC) est donc un vecteur normal au plan (ABC).
		\item %Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
On sait que $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 1x + 1y - 3z + d = 0$.\\
En particulier C$(2~;~2~;~2)  \in (\text{ABC}) \iff 1 \times 2  + 1 \times 2 - 3 \times 2 + d = 0 \iff d = 2$.

Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff x + y - 3z + 2 = 0$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les plans (ABC) et $P$ sont sécants.
Le vecteur $\vect{p}(1~;~- 1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (P).

Or $\vect{n}$ et $\vect{p}$ ne sont pas colinéaires, ce qui signifie que les plans  (ABC) et $P$ 
ne sont pas parallèles donc ils sont sécants.
		\item %Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.
		
$M(x~;~y~;~z) \in D \iff M(x~;~y~;~z) \in \left\{\begin{array}{l c l}
x + y - 3z + 2 &=& 0\\
x - y + z - 4 &=& 0
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x + y   &=&3t - 2\\
x - y  &=&- t + 4 \quad (1)\\
z&=&t
\end{array}\right. $\\
$\Rightarrow 2x = 2t + 2 \iff x = t + 1$.

En remplaçant dans l'équation (1) $y = x + z - 4 = z + 1 + z - 4 = 2t - 3$.

Finalement : $M(x~;~y~;~z) \in D \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t + 1\\
y&=&2t - 3\\
z&=&t
\end{array}\right.$

	\end{enumerate} 
\item %On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique:
 
%\[\left\{\begin{array}{l c r}
%x &=& 1 + t\\ 
%y &=& -3 + 2t\\
%z &=&t,
%\end{array}\right.\quad  t \in \R.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point I appartient à la droite $D$. 
Le point de $D$ correspondant à $t = 1$ est le point I.
		\item %Montrer que le point I appartient à la sphère $S$.
Calculons $\Omega\text{I}^2 = (2 - 3)^2 + (- 1 - 1)^2 + (1 - 3)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$, donc $\Omega\text{I} = 3$ : le point I appartient à la sphère $S$. 
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
%Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point.
Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à   $S$ si et seulement si $\Omega M^2 = 9 \iff (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$.

Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $D$ et à  $S$ si et seulement si ses coordonnées vérifient les équations :
$\left\{\begin{array}{r c r}
x &=& 1 + t\\ 
y &=& -3 + 2t\\
z &=&t\\
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 &=& 9
\end{array}\right. \Longrightarrow (1 + t - 3)^2 + (- 3 + 2t - 1)^2 +  (t - 3)^2 = 9$

$  \iff t^2 + 4 - 4t + 4t^2 + 16 - 16t + t^2 + 9 - 6t = 9 \iff 6t^2 - 26t + 20 = 0 \iff 3t^2 - 13t + 10 = 0$.

On sait que I appartient à $S$ donc $t = 1$ est une des des solutions de l'équation du second degré.

Or $3t^2 - 13t + 10 = (t - 1)(3t - 10)$ ; donc l'autre solution est donnée par $3t - 10 = 0 \iff t = \dfrac{10}{3}$, valeur du paramètre qui conduit à J$\left(\dfrac{13}{3}~;~\dfrac{11}{3}~;~\dfrac{10}{3}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{ExoF}

\begin{ExoF}  \textbf{Commun à tous les candidats \hfill 10 points} % Antilles 2013

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item $\Lim{+\infty}(x+1)=+\infty$ et $\Lim{+\infty}\e^x=+\infty$, donc, par opérations $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$.\\
Pour tout $x\in\R$, $f(x)=x\e^x+\e^x$. Or $\Lim{-\infty}x\e^x=0$ (croissances comparées) et $\Lim{-\infty}\e^x=0$, donc, par opérations  $\Lim{-\infty}f(x)=0$.
\item Pour tout réel $x$,$ f'(x)=1\e^x+(x+1)\e^x=(x+2)\e^x$.
\begin{multicols}{2}
\item Pour tout réel $x$, $\e^x>0$, donc $f'(x)$ a le même signe que $x+2$. On en déduit le tableau de variations suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $- \infty$ & \qquad\qquad & $-2$ & \qquad\qquad & $+\infty$\\
\hline
$f'(x)$&&$-$&0&$+$&\\
\hline
&\rnode{a}{$0$}& & & &\rnode{c}{$+\infty$}\\
$f$& & & & & \\
& & &\rnode{b}{$-1/\e^2$}& & \\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c}
\end{center} 
\end{multicols}
\end{enumerate}



\textbf{Partie B}


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
 On a, pour tout réel $x$:
 \begin{eqnarray*}
 g_m(x)=0 &\Longleftrightarrow& x+1=m\e^x\\
 &\Longleftrightarrow& (x+1)\e^x=m\\
 &\Longleftrightarrow& f(x)=m.
 \end{eqnarray*}

\item D'après l'équivalence et le tableau de variations précédents:
\begin{itemize}
\item si $m<-\frac{1}{\e^2}$: l'équation $g_m(x)=0$ ne possède aucune solution, 
donc $\mathcal{C}_m$ ne coupe pas $(Ox)$;
\item si $m=-\frac{1}{\e^2}$: l'équation $g_m(x)=0$ possède une solution, 
donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe $(Ox)$ en un point;
\item si $-\frac{1}{\e^2}<m<0$: l'équation $g_m(x)=0$ possède deux solutions, 
donc $\mathcal{C}_m$ coupe $(Ox)$ en deux points;
\item si $m\geqslant 0$: l'équation $g_m(x)=0$ possède deux solutions, donc $\mathcal{C}_m$ coupe l'axe 
$(Ox)$ en deux points.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \begin{itemize}
\item
La courbe 1 ne coupe pas l'axe $(Ox)$, donc l'équation $g_m(x)=0$ n'a pas de solution et cela entraîne que $m<-\frac{1}{\e^2}$. La seule possibilité est donc que $m=-\e$.
\item La courbe 2 coupe l'axe $(Ox)$ une seule fois, donc $m=-\frac{1}{\e^2}$ ou $m\geqslant 0$. La seule possibilité est donc $m=0$.
\item Par élimination, la courbe 3 correspond à $m=\e$.
\end{itemize}
\item Pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=-m\e^x$ qui est du signe de $-m$; on en déduit:
\begin{itemize}
\item si $m>0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est en dessous de $\mathcal{D}$;
\item si $m<0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est au dessus de $\mathcal{D}$;
\item si $m=0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=00$, donc $\mathcal{C}_m$ et  $\mathcal{D}$ sont confondues.
\end{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item Le domaine $D_2$ hachuré:
\begin{enumerate}
\item
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.82,-2.51)(4.23,5.85)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.82,-2.51)(4.23,5.85)
\pscustom[linewidth=0pt,hatchcolor=black,fillstyle=hlines,hatchangle=30.0,hatchsep=0.08]{\psplot{0}{2}{x+1-2.718281828^(-x+1)}\lineto(2,3.37)\psplot{2}{0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}\lineto(0,-1.72)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-1.8209836065573772}{4.227213114754098}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
\psplot{-1.82}{4.23}{(--1--1*x)/1}
\psplot[plotpoints=200]{-1.8209836065573772}{4.227213114754098}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.13,5.74){$\mathcal{C}_{-\e}$}
\rput[tl](-1.34,-0.23){$\mathcal{C}_0$}
\rput[tl](0.12,-1.26){$\mathcal{C}_{\e}$}
\psline(2,-2.51)(2,5.85)
\rput[tl](2.13,-1.13){$\Delta_2$}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](1,2){$b = -4.7$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Pour tout $a\geqslant 0$, la courbe $\mathcal{C}_{-\e}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{\e}$, par conséquent l'aire $\mathcal{A}(a)$ est donnée par:
\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}(a)&=&\int_0^af_{-\e}(x)-f_{\e}(x)\text{d}x\\
&=&\int_0^a\left((x+1)+\e\e^{-x}\right)-\left((x+1)-\e\e^{-x}\right)\text{d}x\\
&=&\int_0^a2\e\e^{-x}\text{d}x\\
&=&2\e\left[-\e^{-x}\right]_0^{a}\\
&=&2\e\left(-\e^{-a}+1\right)\\
&=&2\e-2\e^{1-a}.
\end{eqnarray*}
On a de plus $\lim\limits_{a \to + \infty}\e^{1-a}=0$, par conséquent: $\lim\limits_{a \to + \infty}\mathcal{A}(a)=2\e$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\end{document}
