\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Devoir Commun}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Scientifique}			%% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG4 \`a 7}				%% Classe
\newcommand{\num}{4}				%%% Numero du chapitre ou coeff
\newcommand{\Annee}{19 mars 2014}			%%% Date ou année
\newcommand{\tps}{4h}
\newcommand{\Niveau}{Terminale}
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\coef}{4}



\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\footskip=30pt


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages

\debutDSCommunCor
\begin{ExoF}  \textbf{Commun à tous les candidats \hfill 5 points} % Métropole 2012
	\begin{enumerate}
		\item\begin{enumerate}
		\item \textbf{(1 point)}~%Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{0,4}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{0,7}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{0,25}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{0,75}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{0,3}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,6}		 		
}
\end{center}
\medskip
 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$.
On a $p\left(E_{1}\right) = p\left(D \cap E_{1}\right) = p(D) \times p_{D}\left(E_{1}\right) = 0,4 \times 0,7 = 0,28$. \hfill \textbf{(1 point)}
		\item %On note $F$ l'évènement « Le candidat n'est pas recruté ».
		 
%Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
Calculons la probabilité de ne pas être recruté, soit : \hfill \textbf{(1 point)}

$p(F) = p\left(\overline{D}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{1}}\right) + p\left(D \cap E_{1} 
\cap \overline{E_{2}}\right) = 0,6 + 0,4 \times 0,3 + 0,4 \times 0,7 \times 0,75 = 0,6 + 0,12 + 0,21 = 
0,93$. \\
%D'o\`u $p\left(\overline{F}\right) = 1 - p(F) = 1 - 0,93 = 0,07$.

Ou encore, on peut directement calculer la probabilité d'être recruté, soit :

$p\left(\overline{F}\right) = p\left(D \cap E_{1}\cap E_{2}\right) = 0,4 \times 0,7 \times 0,25 = 0,07$.
\hfill 
D'o\`u $p(F) = 1 - p\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,07 = 0,93$.
	\end{enumerate} 
\item %Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$. 
%On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
		On repète donc $n$ fois de manière identique et indépendante l'expérience de Bernoulli 
		de Succès 
		\og le candidat est recruté \fg, de probabilité $0.07$.\\  La variable $X$ compte de nombre de succès du schéma de Bernoulli
		correspondant. \\Elle suit donc 
		une loi binomiale de paramètre $n=5$ et $p=0,07$. \hfill \textbf{(1 point)}
		\item %Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
		On a $p(X = 2) = \binom{5}{2}0,07^2 \times 0,93^3  = 10 \times 0,07^2 \times 0,93^3 \approx \np{0,0394} \approx 0,039$ à $10^{-3}$ près \hfill \textbf{(1 point)}
	\end{enumerate} 		 
\item[\textbf{Bonus}] %Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?
On reprend ici la loi binomiale mais avec $n$ candidats chacun ayant une probabilité d'être 
recruté égale à $0,07$.

La probabilité qu'aucun ne soit retenu est égale à : $\binom{n}{0}\times 0,07^0 \times 0,93^n = 0,93^n$.

La probabilité qu'un au moins des $n$ candidats soit recruté est donc égale à $1 - 0,93^n$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$1 - 0,93^n > 0,999 \iff 0,001 > 0,93^n \iff \ln 0,001 > n \ln 0,93$  \quad (par croissance de la fonction ln)
\\ $~\qquad\iff n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93}$ \quad car  \quad $\ln 0,93 < 0$.
 \hfill Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93} \approx 95,1$.

Il faut donc traiter au moins 96 dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de 
recruter au moins un candidat. \hfill \textbf{(1 point)}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} \textbf{Communs à tous les candidats \hfill 5 points }% Pondichery 2013 
\renewcommand{\I}{\text{i}}
\begin{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend
$z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$.

\begin{enumerate}
		\item  $z_{M}=2\times\left(\dfrac{1}{2}-\I \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1-\I \sqrt{3}$. 
		\hfill \textbf{(0.5 point)}
		\item  $z_{M'} = -\I z_M=-\I(1-\I \sqrt{3})=-\I+\I^2\sqrt{3}= -
\sqrt{3} - \text{i}$.\hfill \textbf{(0.5 point)}
\item 
\textbf{Méthode algébrique :} 	%%%% correction : ajout de modulo 2pi
\qquad $|z_{M'}|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2$ \hfill \textbf{(1 point)} \\ On cherche $\theta$ un
argument de $z_{M'}$ tel que $\left\{ \begin{array}{rcl}
 \cos \theta& =   & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}   \\
 \rule{0pt}{20pt}  \sin \theta & =& -\dfrac{1}{2}
\end{array} \right.$ \hfill 
On reconnaît $\theta = -\dfrac{5\pi}{6}$  (modulo $2\pi$).\\
\medskip

\textbf{Ou encore, par la forme exponentielle :} \qquad 
%%%% correction : ajout de parenthèses
$|z_{M'}|=|-\I |\times|z_M|= 1\times  |2\text{e}^{-
\text{i}\frac{\pi}{3}}|=2$\\
Et $\arg(z_{M'})=\arg{(-\I)}+\arg{(z_M)}=-\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{5\pi}{6}$
(module $2\pi$).\\
\begin{minipage}{8cm}
\item
La figure n'est pas à l'échelle. \hfill \textbf{(0.5 point)}\par

Graphiquement on vérifie les propriétés 1 et 2.
\end{minipage} \qquad
\begin{minipage}{10cm}
%\begin{pdfdisplay}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.7 0.3 0.7}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt
0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.32,-2.09)(2.2,1.28)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridcolor=gray,griddots=5,subgriddots=5](-2.32,-2.09)(2.2,1.28)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt
0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.32,-2.09)(2.2,1.28)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(1,0)(1,-1.73)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(0,1)(-1.73,-1)
\pscircle(0,0){3}
\psline(1,0)(1,-1.73)
\psline[linestyle=dashed](0,-1)(-1.73,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(1,0)
\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(1,-1.73)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,-1.73)
\psline[linecolor=zzttqq](1,-1.73)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(0,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(-1.73,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.73,-1)(0,0)
\psplot{-2.32}{3.2}{(-0--0.87*x)/-1}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](1,0)
\rput[bl](1.02,0.1){$A$}
\psdots[dotstyle=*](0,1)
\rput[bl](0.1,1.03){$B$}
\psdots[dotstyle=*](1,-1.73)
\rput[bl](1.1,-1.7){$M$}
\psdots[dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.05,0.05){$O$}
\psdots[dotstyle=*](-1.73,-1)
\rput[bl](-2.1,-0.97){$M'$}
\psdots[dotstyle=*](1,-0.87)
\rput[bl](1.02,-0.84){$I$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
%\end{pdfdisplay}
\end{minipage}
\medskip

	\end{enumerate}
\item Cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$.
	\begin{enumerate}
		\item $z_I = \dfrac{z_A + z_M}{2}=\dfrac{x + 1}{2} + \text{i}\;
\dfrac{y}{2}$. \hfill \textbf{(0.5 point)}
		\item $z_{M'} = - \I (x + \I y)=y - \I \; x$. \hfill \textbf{(0.5 point)}
		\item $I\left(\dfrac{x + 1}{2}~;~\dfrac{y}{2}\right)$, B$(0~;~1)$ et $M'(y~;~-x)$.
		\hfill \textbf{(0.5 point)}
		\item $\vect{\text{O}I}\cdot
\vect{\text{B}M'} =\left(\dfrac{x+1}{2}\right)\times
y+\left(\dfrac{y}{2}\right)\times(- x -1) = \dfrac{xy}{2} + \dfrac{1}{2}-\dfrac{xy}{2}- \dfrac{1}{2}=0$
\\Donc (O$I$) et  (B$M'$) sont perpendiculaires.
		\hfill \textbf{(0.5 point)}
		\item  B$M' = \sqrt{y^2+(-x -1)^2}=\sqrt{(x + 1)^2+y^2}$ \hfill \textbf{(0.5 point)}
		
		et  d'autre part, $
2\text{O}I=2\sqrt{\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2}=\dfrac{2}{2}\sqrt{(x+1)^2+y^2}$
donc $2\text{O}I=\text{B}M'$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Communs à tous les candidats \hfill 6 points}\\ %Centre Etranger 2012
\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Conjecture graphique}}\\
%\noindent Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\left(x^2+x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-6)(7,6)
%\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{EXP(x)}
%\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.\\
%
%\bigskip
Les solutions de l'équation $ (E) $ sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Il semble y en avoir $2$. L'une comprise entre $-1$ et $0$, l'autre entre $0$ et $1$.
\hfill \textbf{(0.25 point)} \\
\textbf{\textcolor{red}{Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique}}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $\forall x \in \R,x^2 + x^3 = x^2(1+x)$. Comme un carré est positif ou nul, $ x^2+x^3 $ est du signe de $ 1 + x $. \hfill \textbf{(0.5 point)}
\begin{itemize}
\item $ x^2+x^3=0 $ pour $x \in \left\lbrace -1~;~0 \right\rbrace $.
\item $ x^2+x^3 >0$ pour $ x \in ]-1~;~0[~ \cup~ ]0~;~+\infty[$.
\item  $ x^2+x^3 <0$ pour $ x \in ]- \infty~;~ -1[$.
\end{itemize}
\item $x$ solution de $(E)\iff \mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right)
\iff x^2+x^3 = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3}$. \hfill \textbf{(0.5 point)}\\
Or, pour tout réel $x, \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3} >0$, alors que  
$ x^2+x^3 <0$ pour $ x \in ]\infty~;~-1[$. \\
Donc $(E)$ n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.
\item $ \mathrm{e}^{0} = 1 $  et $ 3 \times (0^2 + 0^3)=0 $. Donc $0$ n'est pas solution de (E). \hfill \textbf{(0.25 point)}
\end{enumerate}
\item $\forall x \in ]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[, \begin{array}[t]{lcll}
(E) & \iff & \mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right) & \\
& \iff & \ln \mathrm{e}^{x} = \ln \left( 3\left(x^2+x^3\right)\right) & a=b \iff \ln a = \ln b \\
& \iff & x = \ln 3 + \ln \left( x^2\left( 1+x \right) \right) & \ln (ab) = \ln a + \ln b \\
& \iff 	& x = \ln 3 + \ln \left( x^2 \right) + \ln \left( 1+x\right) & \\
& \iff 	&  \ln 3 + \ln \left( x^2 \right) + \ln \left( 1+x\right) -x = 0 & \\
& \iff 	&  h(x) = 0 & \\
\end{array} $
\hfill \textbf{(0.5 point)}
\item 
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Limite en $ -1 $ \hfill \textbf{(1 point)}

$ \left. \begin{array}{lcl}
 \displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad \ln 3 -x   = \ln 3 + 1 \\
\displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad \ln(x^2) = \displaystyle \lim_{X \to 1 } \quad \ln X  = 0\\
\displaystyle \lim_{x \to -1 } \quad \ln(1+x) = \displaystyle \lim_{X \to 0 } \quad  \ln X   =  -\infty\\
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to -1} \quad h(x)  =  - \infty$
\\
\item Limite en $ 0 $

$ \left. \begin{array}{lcl}
 \displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad \ln 3 -x   = \ln 3  \\
 \left.\begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad x^2  & = & 0 \\
\displaystyle \lim_{X \to 0 } \quad  \ln X  & = & -\infty
\end{array} \right\rbrace & \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} &
\displaystyle \lim_{x \to 0} \quad \ln x^2   =  -\infty  \\

\left. \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to 0 } \quad 1+x  & = & 1 \\
\displaystyle \lim_{X \to 1 } \quad  \ln X  & = & 0
\end{array} \right\rbrace & \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad \ln (1+x)   =  0 
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to 0} \quad h(x)  =  -\infty  $
\\
\item Limite en $ +\infty $

$ \left. \begin{array}{lcl}
 \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad \ln 3 -x   =  - \infty \\
 \left. \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad x^2  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad  \ln X  & = & +\infty
\end{array} \right\rbrace & \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} &\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad \ln x^2   =  +\infty  \\

\left. \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad 1+x  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad  \ln X  & = & +\infty
\end{array} \right\rbrace & \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} & \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad \ln (1+x)   =  +\infty 
\end{array} \right\rbrace  \stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow} \text{on a la F.I. }\og +\infty - \infty\fg$

$ h(x) = \ln 3 +(x+1) \left( \dfrac{2 \ln x}{x+1} + \dfrac{\ln(1+x)}{x+1}-\dfrac{x}{x+1} \right)  $.

Or 

\begin{itemize}
\item $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{x}{x+1}   = \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}} = 1  $ 
\item $  \left\lbrace \begin{array}{lcc}
\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \quad 1+x  & = & +\infty \\
\displaystyle \lim_{X \to +\infty } \quad \dfrac{ \ln X }{X} & = & 0
\end{array} \right. \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \quad\dfrac{\ln(1+x)}{x+1}   =  0 $
\item Pour tout $x > 1, 0 \leqslant\dfrac{\ln x}{x + 1} < \dfrac{ \ln x}{x}  $. Par comparaison, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{ \ln x}{x} = 0 $ et le théorème des gendarmes assure que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \dfrac{ \ln x}{x+1} = 0 $

Finalement avec des opérations élémentaires, on obtient enfin $\displaystyle \lim_{x \to +\infty } h(x) = -\infty $.
\end{itemize}
\end{itemize}

\item $h$ est une somme et composée de fonctions dérivables, donc $h$ est bien dérivable sur $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$. 

Si $u>0$ sur un intervalle, alors $ \ln u $ est dérivable sur cet intervalle et sa dérivée est $ \dfrac{u'}{u} $.

Pour tout réel $x \in ]-1~;~0[~ \cup~ ]0~;~+\infty[, h'(x) = 0 + \dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{1}{x+1}-1 = \dfrac{2}{x}+ \dfrac{1}{x+1}-1 = \dfrac{2(x+1)+x-x(x+1)}{x(x+1)} $


On a bien : $h'(x) = \dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}.$ \hfill \textbf{(0.75 point)}

\item Pour étudier le sens de variations de $h$, on étudie le signe de sa dérivée. \hfill \textbf{(0.75 point)}

Les numérateurs et dénominateurs sont des trinômes du second degré. 

Pour le dénominateur, les racines sont $0$ et $-1$, le coefficient dominant est $1>0$. Il est donc positif \og à l'extérieur \fg{} des racines, négatif \og entre \fg{} les racines (voir le tableau).

Pour le numérateur, pas de racine évidente. On calcule donc le discriminant. On trouve : $ \Delta =12>0 $ et les deux racines sont $ x_1 = \dfrac{-2+2 \sqrt{3}}{-2} = 1-\sqrt{3} $ et $ x_2 = 1+\sqrt{3} $. Le coefficient dominant est $-1>0$, d'où le signe... 

\begin{center} 
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3]
{$x$ /1,$-x^2+2x+2$ /1,$x(x+1)$ /1, $h'(x)$/1, Variations de $h(x)$/2}{$-1$,$1-\sqrt{3}$,$0$,$1+\sqrt{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+, z ,-,}
\tkzTabLine{z,-,t,-, z ,+,t,+,}
\tkzTabLine{d,+,z,-, d ,+,z,-,}
\tkzTabVar{D-/$-\infty$,+/$h(1-\sqrt{3})$,-D-/$-\infty$,+/$h(1+\sqrt{3})$,-/$-\infty$}
%\tkzTabVal[draw]{2}{3}{.5}{$\alpha_1$}{$0$}
\tkzTabVal[draw]{3}{4}{.5}{$\alpha_1$}{$0$}
\tkzTabVal[draw]{4}{5}{.5}{$\alpha_2$}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center} 

Pour avoir le tableau de variations complet, il nous faut encore les signes de $ h\left(1-\sqrt{3}\right) <0 $ et $ h(1 + \sqrt{3})> 0 $ que l'on obtient avec la calculatrice. 

\item \begin{itemize}
\item Sur l'intervalle $ \left]-1 ~;~ 0\right[  $, la dérivée s'annule en changeant de signe $ (+;-) $, donc $ h(1-\sqrt{3}) $ est un maximum pour $h$ sur cet intervalle. Or $ h(1-\sqrt{3}) <0$ donc l'équation $ h(x) = 0 $ n'a pas de solution sur $ \left]-1~;~0\right[$. C'est une première contradiction avec la conjecture de la partie A.

\item Sur l'intervalle $ ]0 ~;~ 1+\sqrt{3}[ $ la fonction $h$ est dérivable, donc continue ; $0$ est compris entre $ \displaystyle \lim_{x \to 0 }h(x) $ et $ h\left(1+\sqrt{3}\right) $, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ h(x) = 0 $ admet donc au moins une solution sur $ \left[0~;~ 1+\sqrt{3} \right[$. Comme $h$ est strictement monotone sur cet intervalle, cette solution $ \alpha_1 $ est unique.

La calculatrice donne : $ h(0,61) \approx -0,02 $ et $ h(0,62) \approx 0,24 $.

$0$ est donc compris entre $ h(0,61) $ et $ h(0,62) $, le raisonnement précédent assure donc que 

$ \alpha_1 \in [0,61~;~0,62] $.

On trouve de m\^eme que  $0,618 < \alpha_{1} < 0,619$

Une valeur approchée de $\alpha_1$, arrondie au centième est donc  $0,62$. 

\item Comme $ h(1+\sqrt{3}) > 0 $, $0$ est aussi compris entre  $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty }h(x) $ et $ h\left(1 + \sqrt{3}\right) $. Le même raisonnement assure donc l'existence d'une autre solution dans cet intervalle. Voir le tableau.
\hfill \textbf{(1.25 point)}\\
Avec la calculatrice, on trouve $ 7,12 $ comme valeur approchée de $\alpha_2$, arrondie au centième.
\end{itemize}
\item Notre conjecture est erronée. Il y a bien deux solutions mais pas dans les intervalles prévus !\\
La seconde n'était pas visible sur le graphique, il est donc logique que nous ne l'ayons pas conjecturer.\\
La première que nous avions vue n'en était en fait pas une, car les courbes semblaient se frôler à cette échelle,
mais si on zoome, on peut voir qu'en fait elles ne se touchent pas.
\hfill \textbf{(0.25 point)}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité \hfill 4 points}\\ %Amérique du Nord 2013
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
par \quad $ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item \hfill \textbf{(0.25 point)}
		\begin{center}
		 \begin{tabular}{|C{0.5cm}*{4}{|C{2cm}}|}\hline
		  $i$ & \cellcolor{gray} & 1 & 2 & 3\tabularnewline\hline
		  $u$ & 1 & $\sqrt{2\times 1}=\sqrt{2}$ &$\sqrt{2\times \sqrt{2}}$ & $\sqrt{2\times\sqrt{2\sqrt{2}}}$\tabularnewline\hline
		 \end{tabular}
		\end{center}
		La valeur de $u$ affichée pour $n=3$ est $u=\displaystyle\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\simeq 1.8340$ à $10^{-4}$ près
		\item Cet algorithme permet le calcul du terme de rang $n$ de la suite $(u_n)_{\N}$. 
		\hfill \textbf{(0.25 point)}
		\item D'après le tableau des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$, on peut conjecturer que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 2.
		\hfill \textbf{(0.25 point)}

	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel 
		$n,\: 0 < u_{n} <u_{n+1}< 2$. \hfill \textbf{(1 point)}
		
		\textbullet ~~Initialisation :		
		On a $u_0=1$ et $u_1=\sqrt{2}\simeq 1.4$ donc on a bien $0 < u_{0} <u_1 < 2$.\\
		La proposition est initialisée à $n=0$.
		
		\textbullet ~~Hérédité : 		
		Soit $n$ un entier naturel quelconque. Montrons que :
		$0 < u_{n} < u_{n+1} < 2 \Longrightarrow 0<u_{n+1} <u_{n+2}< 2$
		
		On a:
		$$0 < u_{n} <u_{n+1}< 2 \stackrel{\times 2>0}{\iff} 0 < 2u_{n} <2u_{n+1} < 4 
		\stackrel{\sqrt{~~} \nearrow}{\iff} 0 <\sqrt{ 2u_{n}} <\sqrt{2u_{n+1}}<\sqrt{4}
		\iff 0 < u_{n+1} <u_{n+2} < 2$$
		La proposition est héréditaire à partir de $n=0$.
		
		\textbullet ~~Conclusion
		
		$0 < u_{0} <u_1 <2$
		
		Si $0 < u_{n} <u_{n+1}< 2$ alors	$0 < u_{n+1} < u_{n+2}< 2$.
		
		D'après l'axiome de récurrence on a pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} < u_{n+1} < 2$.
				
		\item On vient de prouver que d'une part la suite $(u_n)$ est strictement croissante et que 
		d'autre part elle est majorée par 2.
		Ceci démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. \hfill \textbf{(0.5 point)}\\
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, 
par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$ donc en particulier: 
		
		$u_0=\ln(u_0)-\ln2=\ln1-\ln2=-\ln2$ \hfill \textbf{(0.75 point)}
		
		On a aussi pour tout entier naturel $n$,$v_{n+1} = \ln u_{n+1} - \ln 2$, mais $u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}$.
		
		Alors: $v_{n+1} = \ln {\sqrt{2u_{n}}} - \ln 2=\dfrac{1}{2}\left(\ln(u_n)+\ln2\right)-\ln2=\dfrac{1}{2}\left(\ln(u_n)-\ln2\right)=\dfrac{1}{2}v_n$  
		
		On peut en conclure que  la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. \\
		\item On déduit de ce qui précède que pour tout entier naturel $n$,  
		$v_{n}=-\ln2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. \hfill \textbf{(0.5 point)}\\
		
		Or, $\forall n\in\N$ : $v_{n} = \ln (u_{n}) - \ln 2 \iff v_n=\ln \left(\dfrac{u_n}{2}\right) 
		\iff {\dfrac{u_n}{2}}=e^{v_n} \iff u_n=2e^{v_n}$
		 
		\item Comme $\dfrac{1}{2}\in[-1;1]$,		
		$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}=0$ 		
		\quad  et donc \quad 
		$\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(v_n\right)}=0$ \hfill \textbf{(0.5 point)}\\
		
		On sait que la fonction exponentielle est continue en $0$ et  $e^0=1$ \\
		Alors, par composition des limites, on a : $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{e^{v_n}}=1$ 
		et finalement: $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}{\left(u_n\right)}=2$  \\
		
		\item[\textbf{Bonus}] L'algorithme suivant permet d'afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
		\hfill \textbf{(1 point)}\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :	&$n$ est un entier naturel\\
			& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 1\\ 
Traitement :	&Tant que $u\leqslant 1,999$\\
				&Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
				&Affecter à $n$ la valeur $n+1$
\\ 
Sortie :&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\setcounter{exer}{3}

\begin{ExoF} \textbf{Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité} \hfill \textbf{4 points } % Liban 2013
 
\begin{enumerate}
\item $u_2=5u_1-6u_0=40-18=22$\\
      $u_3=5u_2-6u_1=110-48=62$
\vspace{0.5cm}
      
\item 
\begin{enumerate}
\item \og $b$ prend la valeur $5a - 6c$\fg
\item La suite semble être croissante.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\item
$ A=\left(\begin{array}{cc}
5 & -6 \\ 
1 & 0
\end{array}\right) $\\

Prouvons par récurrence que $C_n = A^nC_0$.\\
C'est vrai pour $n = 0$, car $A^0$ est la matrice identité.\\
Supposons que $C_n = A^nC_0$, alors $$C_{n+1}=AC_n = A(A^nC_0)=A\times A^n C_0 = A^{n+1}C_0$$
En conclusion, pour tout entier naturel $n$, on a $$C_n=A^nC_0$$
\item 
$QP=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 3 \\ 
1 & -2
\end{array}\right) $
$\left(\begin{array}{cc}
2 & 3 \\ 
1 & 1
\end{array}\right)
=$
$\left(\begin{array}{cc}
-2+3 & -3+3 \\ 
2-2 & 3-2
\end{array}\right)$  
$= \left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
0 & 1
\end{array} \right)$
\vspace{0.5cm}

\item C'est trivialement vrai pour $n = 1$.\\
Supposons que $A^n=PD^nQ$, alors :

\[A^{n+1}=A^n\times A=PD^nQ(PDQ)=PD^n(QP)DQ=PD^nDQ=PD^{n+1}Q$$
En conclusion, pour tout entier naturel $n$, non nul on a $$A^n=PD^nQ.\]

\item 
Puisque $C_n=A^nC_0$, on obtiendra $u_n$ comme la somme:

\[u_n=8(-2^n+3^n)+3(3\times 2^n-2\times 3^n)=-8\times 2^n+8\times 3^n+9\times 2^n-6\times 3^n=2^n+2\times 3^n.\]

Les deux suites de terme général $2^n$ et $3^n$ ayant pour limite $+\infty$, il en résulte que la suite $(u_n)$ n'a pas de limite finie, mais a une limite infinie (on dit qu'elle diverge vers $+\infty$).
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}
