\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Commun} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Devoir Commun}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Scientifique}			%% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG4 \`a 7}				%% Classe
\newcommand{\num}{4}				%%% Numero du chapitre ou coeff
\newcommand{\Annee}{19 mars 2014}			%%% Date ou année
\newcommand{\tps}{4h}
\newcommand{\Niveau}{Terminale}
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\coef}{4}



\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex
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\footskip=30pt


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\thispagestyle{NomClasse}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages

\debutDSCommun

\begin{ExoF}  \textbf{Commun à tous les candidats \hfill 5 points}\\ % Métropole 2012
Pour sélectionner ses élèves en Master 2 de Mathématiques Pures, une faculté suit 
la procédure de recrutement suivante. Elle effectue une première sélection de candidats sur 
dossier. 40\,\% des dossiers reçus sont validés et transmis à une équipe d'enseignants-chercheurs.\\ 
Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 
70\,\% d'entre eux sont retenus. \\
Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur de la faculté qui 
recrutera 25\,\% des candidats rencontrés. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{3mm}
\begin{itemize}
\item $D$ : \og Le candidat est retenu sur dossier \fg, 
\item $E_{1}$ : \og Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien \fg, 
\item $E_{2}$ : \og Le candidat est recruté \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,levelsep=30mm,treesep=20mm,treemode=R,nodesep=1.75pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{\ldots}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{\ldots}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{\ldots}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{\ldots}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}		 		
}\\

\end{center} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$. 
		\item On note $F$ l'évènement \og Le candidat n'est pas recruté \fg.
		 
Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.\\
	\end{enumerate} 
\item Cinq amis postulent au Master 2 de Mathématiques Pures de cette faculté. 
Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. \\
On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. 
		On arrondira à $10^{-3}$.\\
	\end{enumerate} 
	
\item[\textbf{Bonus}] Quel est le nombre minimum de dossiers que la faculté doit traiter pour que la probabilité 
de recruter au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF}
\textbf{Communs à tous les candidats \hfill 5 points }\\% Pondichery 2013 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.\\  
On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.\\
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.\\ 
À tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, 
on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.\\
On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].\\
 
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1) et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2). 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend 
$z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$. 
		\item Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
		\item Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$. 
		\item Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère \Ouv{ } ci-dessous.
		\begin{center}
		 \psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(4,3)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridcolor=gray,griddots=5,subgriddots=5](0,0)(-4,-3)(4,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 2pt,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-3)(4,3)
\psline{->}(0,1)
\psline{->}(1,0)
\uput[dl](0.7,-0.1){$\overrightarrow u$}
\uput[dl](-0.1,0.8){$\overrightarrow v$}
\uput[dl](-0.05,-0.05){$O$}
\end{pspicture*}
		\end{center}
Tracer la droite (O$I$) et vérifier graphiquement les propriétés 1 et 2.
	\end{enumerate} 
	\medskip
\item On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Écrire les coordonnées des points $I$, B et $M'$. 
		\item Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$. 
		\item Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
%\setcounter{exer}{0}
\begin{ExoF} \textbf{Communs à tous les candidats \hfill 6 points}\\
%Centre Etranger 2012
On considère l'équation (E) d'inconnue $x$ réelle : $\mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right)$.

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Conjecture graphique}}

\medskip

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3\left(x^2+x^3\right)$ telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-6)(4,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-6)(4,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5.0}{4.0}{EXP(x)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-5.0}{4.0}{3*(x^2+x^3)}
\end{pspicture*}
\end{center}

À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.\\

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2+x^3$.
		\item En déduire que l'équation (E) n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$.
		\item Vérifier que 0 n'est pas solution de (E).
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel de $]-1~;~0[\cup]0~;~+\infty[$ par : 

\[h(x)=\ln 3+\ln\left(x^2\right)+\ln(1+x)-x.\]

Montrer que, sur $]-1~;~0[\: \cup\: ]0~;~+\infty[$, l'équation  (E) équivaut à $h(x) = 0$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $h$ aux bornes de son ensemble de définition.
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, on a : 

\[h'(x)=\dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}.\]

		\item Déterminer les variations de la fonction $h$.\\
		\textit{On ne demande pas le détails des calculs des extrema de $h$. Une valeur arrondie à $10^{-2}$ suffira.}
		\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x)=0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
	\end{enumerate}
	\item Conclure quant à la conjecture de la partie A.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF} \textbf{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité \hfill 4 points}\\ %Amérique du Nord 2013
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, par
 \qquad $ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.$
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{7cm}
\item On considère l'algorithme ci-contre : 
\end{minipage}
\qquad \begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}         
       \end{minipage}
	\begin{enumerate}
		\item Compléter en valeur exacte la trace de l'algorithme ci-dessous lorsque l'on choisit $n = 3$.
		\begin{center}
		 \begin{tabular}{|C{0.5cm}*{4}{|C{2cm}}|}\hline
		  $i$ & \cellcolor{gray} & & & \tabularnewline\hline
		  $u$ & 1 & & & \tabularnewline\hline
		 \end{tabular}
		\end{center}
		Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat affiché dans ce cas.
		\item Que permet de calculer cet algorithme ? 
		\item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$				& 1 		&5 			&10 		&15 		&20\\ \hline 
Valeur affichée	&\np{1,4142} &\np{1,9571} &\np{1,9986} &\np{1,9999} &\np{1,9999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle\textbf{s} conjecture\textbf{s} peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} < u_{n+1} < 2$. 
%		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. \\
		\textit{On ne demande pas la valeur de sa limite.}
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. 
		\item Déterminer, $\forall n\in\N$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$,
		ainsi que celle de $u_{n}$ en fonction de $v_n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \\
		\begin{minipage}{7cm}
		\item[\textbf{Bonus}] Compléter l'algorithme ci-contre 
		par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher 
		en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$. 
		\end{minipage}
\qquad \begin{minipage}{10cm}
\begin{tabular}{|L{2cm}L{7cm}|}\hline		 
Variables :		&$n$ est un entier naturel\tabularnewline
				& $u$ est un réel\tabularnewline
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\tabularnewline
				&Affecter à $u$ la valeur 1\tabularnewline
Traitement :	&\tabularnewline
				&\tabularnewline &\tabularnewline &\tabularnewline
				&\tabularnewline &\tabularnewline &\tabularnewline 
Sortie :		&\tabularnewline \hline
\end{tabular}
       \end{minipage}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{ExoF}
\newpage
\thispagestyle{NomClasse}
\setcounter{exer}{3}
~\\
\begin{ExoF} \textbf{Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité} \hfill \textbf{4 points } \\% Liban 2013
 On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 3,\: u_{1} = 8$ et, 
 pour tout $n$ supérieur ou égal à 0 :

\[ u_{n + 2} = 5u_{n+1} - 6u_{n}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$. 
\item Pour tout entier naturel $n \geqslant  2$, on souhaite calculer $u_{n}$ à l'aide de l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2cm} p{11cm}|}\hline
\textbf{Variables :}		&$a, b$ et $c$ sont des nombres réels\\ 
							&$i$ et $n$ sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2\\ 
\textbf{Initialisation :}	&$a$ prend la valeur 3\\
							&$b$ prend la valeur 8\\ 
\textbf{Traitement :}		&Saisir $n$\\ 
&Pour $i$ variant de $2$ à $n$ faire\\
&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
$c$ prend la valeur $a$\\
$a$ prend la valeur $b$\\
$b$ prend la valeur \ldots\\
\end{tabular}\\ 
							&Fin Pour\\ 
 \textbf{Sortie :}			&Afficher b\\\hline
\end{tabular}

\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter la ligne de cet algorithme comportant des pointillés. 
		
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant:

\medskip

\hspace{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|c|c|c|c|*{5}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
$n$& 7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\ \hline 
$u_{n}$&\scriptsize\np{4502} &\scriptsize\np{13378} &\scriptsize\np{39878} &\np{119122} &\np{356342} &\np{1066978} &\np{3196838} &\np{9582322} &\scriptsize\np{28730582}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite 
$\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_{n}\end{pmatrix}$.
 
On note $A$ la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel $n$,
\quad $C_{n+1} = AC_{n}$

Déterminer $A$ et prouver que, pour tout entier naturel $n,\: C_{n} = A^nC_{0}$.
\item Soient $P = \begin{pmatrix}2&3\\1&1 		\end{pmatrix},\: D = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}- 1&3\\1&- 2		\end{pmatrix}$. 

\begin{enumerate}
 \item Prouver que $Q$ est la matrice inverse de $P$.
 \item On admet que $A = PDQ$.
 
Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n,\: A^n = PD^nQ$.

\end{enumerate}
 
\item À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet.
 
Pour tout entier naturel non nul $n$, 

\[A^n = \begin{pmatrix}- 2^{n+1} +3^{n+1}& 3\times 2^{n+1} - 2\times 3^{n+1}\\ 
- 2^n +3^n& 	3 \times 2^n - 2 \times  3^n \end{pmatrix}.\]
	 
En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ a-t-elle une limite ? 
\end{enumerate}

\end{ExoF}


\end{document}
