\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Devoir Commun}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Chapitres 1 et 2}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG4 \`a 7}
\newcommand{\Annee}{Mercredi 2 octobre 2013}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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%\setlength{\parindent}{0pt}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDSCommunCor


\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Il suffit de compter :\\ $\begin{array}{lcl}
         (2+i)(1-i)+[2(1-i)]^2+i &=& 2-2i+i-i^2+4(1-i)^2+i\\
         &=& 2-(-1)+4(1-2i+i^2)\\
         &=& 3+4(-2i) \, = \, 3-8i
        \end{array}$ 
   ~\hfill     Donc \quad \fbox{\textbf{FAUX}} 
 \item L'inverse de \quad $\dfrac{1+i}{3-i}$ \quad est \quad
 $\begin{array}{*{9}{c}}
 \dfrac{3-i}{1+i} & = & \dfrac{3-i}{1+i}\times \dfrac{1-i}{1-i} & = & \dots & = & 
 \dfrac{2-4i}{2} & = & 1-2i
\end{array}$
\hfill Donc \quad  \fbox{\textbf{VRAI}} 
\item On utilise la forme algébrique de $z=x+iy$ avec $x, y \in \R$. \\
$\begin{array}{lccrclr}
\text{Alors } &  \overline{z}=x-iy & \text{ et } & z^2 &=& x^2+2ixy-y^2 \\
              &                    &             &  \overline{z}^2&=&x^2-2ixy-y^2\\
& & \text{Donc } & z^2+\overline{z}^2&=&2(x^2-y^2) \in \R & \text{ car } x,y \in\R
\end{array}$\\
\textbf{Autre méthode} si on est plus fainéant, mais intelligent :
\quad $z^2+\overline{z}^2 = z^2+\overline{z^2} = Z+\overline{Z}$ \quad
avec \quad $Z=z^2$. \\
Or ceci est trivialement un nombre réel.  \hfill Donc \quad \fbox{\textbf{VRAI}} 
\item Pas nécessairement. \\
$(u_n)$ peut être croissante ET majorée. Dans ce cas, elle converge vers 
son plus petit majorant. \\
Par exemple, la suite $(u_n)_{\N^*}$ définie par son terme général $u_n=-\dfrac1n$ est croissante
et majorée par $0$, elle converge (vers $0$ en l'occurence). \hfill Donc \quad \fbox{\textbf{FAUX}}
\item Evidemment ! Prenons par exemple $u_n=10n$ et $v_n=\dfrac1n$.
\hfill Donc \quad \fbox{\textbf{VRAI}} \\
 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item $x^2-3x-4=0$ :\qquad 
  $\Delta = ... = 25$ \quad Donc les solutions sont $x_1=\dfrac{3-5}{2}=-1$ et  $x_2=\dfrac{3+5}{2}=4$
  \hfill \fbox{$\mathscr S=\big\{-1;4\big\}$}
  \item $z^4-3z^2-4=0$ :\qquad 
  On pose \quad $x=z^2$ \quad et alors \\
$  \begin{array}{*{9}{c}rr}
 z^4-3z^2-4=0 & \iff & \multicolumn{7}{c}{x^2-3x-4=0}\\
   &\iff & \multicolumn{3}{c}{x=-1} &\text{ou}& \multicolumn{3}{c}{x=4} &\text{d'après la question 1)}\\
   &\iff & \multicolumn{3}{c}{z^2=-1} &\text{ou}& \multicolumn{3}{c}{z^2=4}\\
   &\iff& z=i &\text{ou}& z=-i &\text{ou}& z=2 &\text{ou}& z=-2 && \fbox{$\mathscr S=\big\{2,-2;i,-i\big\}$}
  \end{array}$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item $P(-1)=(-1)^3-3\times (-1)^2+3\times (-1)+7= -1-3-3+7=0$ \hfill \textit{Quelle surprise !}\quad \fbox{$P(-1)=0$} 
  \item On veut : \\
  $\begin{array}{*{4}{c}r}
        & (z+1)(z^2+az+b)&=&P(z) \\
          \iff & z^3+az^2+bz+z^2+az+b &=&  z^3-3z^2+3z+7\\
          \iff & \left\{\begin{array}{l}
                          a+1=-3 \\ b+a=3 \\ b=7
                         \end{array}\right.
 \iff   \left\{\begin{array}{lr}
                          a=-4 \\ b+a=3 \quad \text{OK} \\ b=7
                         \end{array}\right.  &&& \qquad\quad \text{ Donc } \quad  \fbox{$P(z)=(z+1)(z^2-4z+7)$}
        \end{array}$\\
        


\item On nous demande de retrouver les solutions de l'équation $P(z)=0$ par le calcul,
pour justifier les réponses de XCas. Or on sait que :\\
$\begin{array}{*{4}{c}lcl}
  P(z)=0 \iff (z+1)(z^2-4z+7)=0 & \iff & z+1=0 &\text{ou}& z^2-4z+7=0\\
  & \iff & \fbox{$z=-1$} &\text{ou}& \Delta = \dots = -12 \\
  &      &      &         & z=\dfrac{4-i\sqrt{12}}{2}=\dots = \fbox{$2-i\sqrt{3}$}  &\text{ou}& \fbox{$z=2+i\sqrt{3}$}  
 \end{array}$%\\
%\fbox{$\mathscr S=\{-1,2-i\sqrt{3},2+i\sqrt{3}\}$}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}\hfill \textit{Inspiré du sujet Liban 2013}\\\\
\partieBac{}
\begin{enumerate}
\item L'algorithme \no 1 devrait calculer tous les termes de $v_{1}$ à $v_{n}$ mais 
$v_0$ n'est pas donné donc il ne peut rien faire et plante. De plus, même avec une initialisation, il
n'afficherait que le dernier $v_{n}$.

L'algorithme \no 2 calcule $n$ fois de suite $v_{1}$ à partir de $v_{0}$ : il ne calcule pas les termes de $0$ à $v_{n}$.

\textbf{L'algorithme \no 3} calcule tous les termes de 0  à $v_{n}$ et les affiche tous.

\item D'après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à $n = 9$ car il manque le dernier affichage
en dehors de la boucle), il semblerait que la suite  converge vers un nombre proche de 3.
\end{enumerate}
\partieBac{Sens de variation de la suite $(v_n)_{n\geq 0}$}
	\begin{enumerate}
		\item Montrons par récurrence que la proposition $ 0 < v_{n} < 3$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

$\ast$ Initialisation : $n = 0$, \\
$v_{0} = 1$ donc on a bien $0 < v_{0} < 3$ . \hfill Ainsi la proposition est vraie au rang $0$.\\

$\ast$ Hérédité : Supposons qu'il existe $n\geq 0$ tel que $0\leq v_n \leq 3$.\\
Montrons alors que $0\leq v_{n+1} \leq 3$\\
\begin{tabular}{rlr}
Par hypothèse, on sait que & $0 < v_{n} < 3$ \\
$\iff$ & $0 >-v_n>-3$\\
$\iff$ & $6>  6 - v_{n} > 3$\\
$\iff$ & $\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{6 - v_{n}} < \dfrac{1}{3}$ & car la fonction inverse est décroissante sur $]0~;~+ \infty[$.\\
$\iff$ & $\dfrac{9}{6} < \dfrac{9}{6 - v_{n}} < \dfrac{9}{3}$\\
$\iff$ & $\dfrac{3}{2} < v_{n+1} < 3$\\\\ 
\end{tabular}\\
Ainsi on a bien $0 < v_{n+1} < 3$. \quad  Youpi ! \hfill L'hérédité est établie !\\

$\ast$ Conclusion : 
Par le principe de récurrence, la proposition $0 < v_{n} < 3$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
\item \begin{enumerate}
\item $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{9}{6 - v_{n}} - v_{n} 
= \dfrac{9 - v_{n}\left(6 - v_{n} \right)}{6 - v_{n}} 
= \dfrac{9 - 6v_{n} + v_{n}^2 }{6 - v_{n}} 
= \dfrac{\left(v_{n} - 3 \right)^2}{6 - v_{n}}$.

\item D'après la question 1., $0 < v_{n} < 3$ pour tout $n$ entier naturel. \\
Ainsi $6 - v_{n}>3>0$ \qquad Donc $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(v_{n} - 3 \right)^2}{6 - v_{n}} > 0$
\hfill Ainsi la suite $\left(v_{n}\right)$ est croissante.
%\item Comme la suite est majorée par 3 et croissante, alors elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3.
	\end{enumerate}
      \end{enumerate}
\partieBac{Recherche de la limite de la suite $(v_n)_{n\geq 0}$}
\begin{enumerate}
\item  $w_{n+1}= \dfrac{1}{v_{n+1} - 3} = \dfrac{1}{\dfrac{9}{6 - v_{n}} - 3}  
=\dfrac1{\dfrac{9-3(6-v_n)}{6-v_n}}= \dfrac{6 - v_{n}}{3v_{n} - 9} $\hfill 
Or \quad $w_n=\dfrac{1}{v_n-3} \iff \dots \iff v_n=\dfrac1{w_n}+3$\\
Donc \quad  $6 - v_{n}=\dots = 3-\dfrac{1}{w_n}$ \quad
et \quad $3v_{n} - 9= \dots = \dfrac3{w_n}$\hfill 
Au final on obtient \quad $w_{n+1}=\left(3-\dfrac1{w_n}\right) \times \dfrac{w_n}{3}=w_n-\dfrac13$

Ainsi la suite $\left(w_{n}\right)$ est arithmétique de raison $r = - \dfrac{1}{3}$.
\item $(w_n)$ est arithmétique donc pour tout $n\geq 0$ on a \quad 
$w_{n} = w_{0} + nr = \dfrac{1}{v_0-3}- \dfrac{1}{3}n = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}n$.

Et \quad  $v_{n} = \dfrac{1}{w_{n}} + 3 = \dfrac{1}{- \frac{1}{2} - \frac{1}{3}n} + 3 =\dots = \dfrac{6}{- 3 - 2n} + 3$.

\item $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{6}{- 3 - 2n} = 0$, \quad donc \quad $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 3$.

\end{enumerate}

 
\end{ExoF}


\end{document}