\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Correction}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins deux exercices parmi les quatre suivants.}


\begin{ExoF}\hfill $\spadesuit$
%On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$  par :
%$$ v_0=0\quad \text{et} \quad v_{n+1}=v_n+2n+1$$
\begin{enumerate}
\item %Calculer les cinq premiers termes de la suite $v$, puis conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
$v_1=v_0+2\times 0 +1 = 1$ \qquad $v_2 = ... = 4$ \qquad $v_3= ... = 9$ \qquad $v_4=...16$ \qquad $v_5=25$\\
Il semble que pour tout $n\in\N$ on a $v_n=n^2$.
\item %Démontrer par récurrence votre conjecture émise à la question $1$.
L'initialisation a déjà été vérifiée.\\
Supposons désormais qu'il existe un $n\in\N$ tel que $v_n=n^2$.\\
On veut montrer que ceci implique que $v_{n+1}=(n+1)^2$. \\ Or
\begin{eqnarray*}
v_n=n^2 & \Longrightarrow & v_{n+1}=n^2+2n+1 \qquad \text{d'après l'énoncé}\\
 & \iff & v_{n+1}=(n+1)^2 \qquad \qquad \text{ Youpi !!}
\end{eqnarray*}
Notre proposition est héréditaire, et initialisée donc elle est bien vraie pour tout $n\in\N$ !
\end{enumerate}
 \end{ExoF}
 
 \begin{ExoF} \hfill $\spadesuit \spadesuit$
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : 
%\quad $u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}$
\begin{enumerate}
 \item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation} : pour $n=0$.\hfill 
 $u_0=2>0$ donc la proposition est vraie au rang $0$.
 \item \textbf{Hérédité} : On suppose qu'il existe un $n\in\N$ tel que $u_n>0$.\hfill 
 Montrons que ceci implique que $u_{n+1}>0$.\\
 Il est clair que $u_n>0 \Longrightarrow 1+3u_n>0$. \qquad\qquad 
 De même $u_n>0 \Longrightarrow 3+u_n>0$.\\
D'après l'énoncé $u_{n+1}=\dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}>0$ \qquad Youpi !
\item La proposition est héréditaire, et initialisée donc elle est bien vraie pour tout $n\in\N$ !
 \end{itemize}
 \item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$ 
 %\footnote{Attention, $x>4$ et $y>4$ n'implique pas du tout que $\dfrac{x}{y}>1$ ! Il faut réfléchir à ce que signifie
 %pour une fraction d'être plus grande que 1 ...}. 
 \begin{itemize}
  \item \textbf{Initialisation} : pour $n=0$.\\
 $u_0=2>1$ donc la proposition est vraie au rang $0$.
 \item \textbf{Hérédité} : On suppose qu'il existe un $n\in\N$ tel que $u_n>1$.\hfill 
 Montrons que ceci implique que $u_{n+1}>1$.\\
 On tente la méthode précédente : il est clair que $u_n>1 \Longrightarrow 1+3u_n>1$.\\
 De même $u_n>1 \Longrightarrow 3+u_n>1$.\\
D'après l'énoncé $u_{n+1}=\dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}$ cependant, un quotient de deux nombres plus grands que 1 
n'est pas forcément lui-même plus grand que 1. Il faut donc changer de stratégie ...\\
Réfléchissons au brouillon : $\dfrac{a}b >1 \iff a>b$.\\
Montrons donc plutôt que $1+3u_n >3+u_n \iff 3u_n-u_n >3-1 \iff 2u_n >2 \iff u_n>1$\\
Maintenant, il faut rédiger cela dans le sens logique d'implication. En gros, cela consiste à remonter
notre raisonnement au brouillon, ce qui est possible puisque toutes nos \og flèches \fg se remontent.\\
On reprend donc au propre :\hfill 
$u_n >1 \iff ... \iff 1+3u_n > 3+u_n \iff \dfrac{1+3un}{3+u_n}>1$ \qquad Youpi !
\item La proposition est héréditaire, et initialisée donc elle est bien vraie pour tout $n\in\N$ !
 \end{itemize}
 \end{enumerate}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill $\spadesuit  \spadesuit \spadesuit$
%Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par son premier terme $u_{1} = \dfrac{3}{2}$ 
%et la relation  de récurrence  $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item %Calculer $u_2$ et $u_3$.
        $u_2=\dfrac{1 \times u_1+1}{2(1+1)}=\dfrac{\dfrac32 + 1}{4}=\dfrac{5}{2}\times 14=\dfrac{5}{8}$\hfill 
        $u_3=\dfrac{2 \times u_2+1}{2(2+1)}=\dfrac{\dfrac54 + 1}{6}=\dfrac{9}{4}\times 16=\dfrac{3}{8}$
 \item %En déduire que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
 $u_2-u_1\neq u_3-u_2$ \qquad donc la suite ne peut pas être arithmétique.\\
De même, \qquad $\dfrac{u_2}{u_1}\neq \dfrac{u_3}{u_2}$, \qquad donc la suite ne peut pas être géométrique.
       \end{enumerate}
 \item %On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : 
% pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 
On veut montrer que pour tout $n\in\N^*$ on a $v_{n+1}=q\times v_n$ où $q\in\R$.\\
Regardons déjà à quoi ressemble $v_{n+1}$. Pour tout $n\in\N*$ on a :\\
$v_{n+1} =(n+1)u_{n+1}-1=...=\dfrac{nu_n+1}{2}-1=...=\dfrac{nu_n-1}{2}=\dfrac12 v_n$.\\
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$.\hfill 
De plus, on a $v_1=1\times u_1-1=\dfrac12$.
\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$.
Comme $(v_n)$ est géométrique, pour tout $n\in\N^*$ on a $v_n=v_1 \times q^{n-1} = \dfrac12 \times \left(\dfrac12\right)^{n-1}=(0.5)^n$\\
De plus, d'après l'énoncé, pour tout $n\in\N^*$ on a $v_n=nu_n-1 \iff v_n+1=n_un \iff \dfrac{v_n+1}{n}=u_n$\\
Finalement, on en déduit que pour tout $n\in\N^*$ on a $u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$
\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
On sait que $\Lim[n]{+\infty} 0.5^n=0$ \quad car $-1<0.5<1$\\
Donc $\Lim[n]{+\infty} 1+0.5^n=1$ \qquad et par quotient \qquad $\Lim[n]{+\infty} \dfrac{1+0.5^n}n = 0$.\\
La suite $(u_n)$ converge vers 0.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}



 
 \begin{ExoF}  \hfill $\spadesuit  \spadesuit \spadesuit\spadesuit$\\
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ 	d\'efinie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
%\quad $ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}$
%\\ 
%On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
%\\
%On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison
		%$- \dfrac{1}{3}$. 
On veut montrer que pour tout $n\in\N^*$ on a $v_{n+1}=q\times v_n$ où $q\in\R$.\\
Regardons déjà à quoi ressemble $v_{n+1}$. Pour tout $n\in\N*$ on a :
\begin{eqnarray*}
v_{n+1} &=&\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1} \qquad\qquad\qquad\qquad \text{au lieu de remplacer directement et bêtement } 
u_{n+1} \text{ par sa valeur}\\
&=& \left(u_{n+1}-1\right) \times \dfrac{1}{u_{n+1}+1} \qquad 
\text{on change l'écriture du quotient ce qui évite la fraction à quatre étages...}\\
&=&\left(\dfrac{1+0.5u_n}{0.5+u_n}-1\right)\times \dfrac{1}{\dfrac{1+0.5u_n}{0.5+u_n}+1}\\
&=& ... \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \text{Pensez à écrire l'inverse de la fraction en échangeant ses étages !}\\
&=& \left(\dfrac{0.5-0.5u_n}{0.5+u_n}\right) \times \left(\dfrac{0.5+u_n}{1.5+1.5u_n}\right)\\
&=&...\\
&=&\dfrac{0.5(1-u_n)}{1.5(1+u_n)}=...=-\dfrac13 v_n\\
 \end{eqnarray*}
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $-\dfrac13$.
		\item %Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$. 
$v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+1}=\dfrac{1}{3}$. \qquad Donc pour tout $n\in\N$ on a $v_n=\dfrac13 \times \left(-\dfrac13 \right)^n$
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.  
\begin{eqnarray*}
 v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1} & \iff & (u_n+1)v_n=u_n-1\\
 & \iff & u_nv_n+v_n=u_n-1\\
 & \iff & u_nv_n-u_n=-1-v_n\\
 & \iff & u_n(v_n-1)=-1-v_n\\
 & \iff & ... \iff  u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}
\end{eqnarray*}
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
On sait que $\Lim[n]{+\infty} v_n = 0$ car $-1<-\dfrac{1}3<1$\\
Par règles d'opération sur les limites, on trouve donc que $\Lim[n]{+\infty}u_n=\dfrac{1+0}{1-0}=1$
	\end{enumerate}
 \end{ExoF}



 
\end{document}