\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{R\'ecurrence et Limites}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\textbf{Vous traiterez au choix au moins deux exercices parmi les quatre suivants.}


\begin{ExoF}\hfill $\spadesuit$\\
On considère la suite $v$ définie pour tout entier naturel $n$  par :
$$ v_0=0\quad \text{et} \quad v_{n+1}=v_n+2n+1$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les cinq premiers termes de la suite $v$, puis conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Démontrer par récurrence votre conjecture émise à la question $1$.
\end{enumerate}
 \end{ExoF}
 
 \begin{ExoF} \hfill $\spadesuit \spadesuit$\\
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : 
\quad $u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}$
\begin{enumerate}
 \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$
 \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$ 
 \footnote{Attention, $x>4$ et $y>4$ n'implique pas du tout que $\dfrac{x}{y}>1$ ! Il faut réfléchir à ce que signifie
 pour une fraction d'être plus grande que 1 ...}. 
 \end{enumerate}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill $\spadesuit  \spadesuit \spadesuit$\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par son premier terme $u_{1} = \dfrac{3}{2}$ 
et la relation  de récurrence  $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Calculer $u_2$ et $u_3$.
 \item En déduire que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
       \end{enumerate}
 \item On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : 
 pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}



 
 \begin{ExoF}  \hfill $\spadesuit  \spadesuit \spadesuit\spadesuit$\\
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ 	d\'efinie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\quad $ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}$
\\ 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
\\
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$. 
		\item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.  
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
 \end{ExoF}



 
\end{document}