\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Maison 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suite arithm\'etico-g\'eom\'etrique}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\noindent \partieBac{Premier constat}
\begin{enumerate}
\item $u_1=-0,5\times 0,3+7=6,85$ \qquad
Remarquons l'extraordinaire expanson du Schblurb qui en l'espace d'un an a vu sa population passée de 300000 individus à plus de 6 millions.
\\
$u_2=-0,5\times 6,85+7=3,575$ \qquad
Cette deuxième année a vu la population de Schblurb chutée de manière inquiétante, il faudra attendre la troisième année pour être rassuré :
\qquad 
$u_3=-0,5\times 3,575+7=5,2125$  
\item $u_2-u_1\neq u_3-u_2$ \qquad donc la suite ne peut pas être arithmétique.\\
De même, \qquad $\dfrac{u_2}{u_1}\neq \dfrac{u_3}{u_2}$, \qquad donc la suite ne peut pas être géométrique.
\item $(u_n)$ semble converger vers un nombre proche de $4.67$, peut-être $4+\dfrac23$ ?
\end{enumerate}

\noindent \partieBac{Première méthode : avec une fonction}
\begin{enumerate}
\item Considérons la fonction $f$ qui a un réel $x$ associe $f(x)=-0,5x+7$.\\
On a alors, pour $x=u_n$ :
$$ f(u_n)=-0,5u_n+7=u_{n+1}$$
\item 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{0} \def\ymax{8}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.5,-0.6)(8.5,8.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.3,0)(0.3,6.85)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.3,0)(0.3,6.85)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.3,6.85)(0,6.85)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0.3,6.85)(0,6.85)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,6.85)(6.85,6.85)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6.85)(6.85,6.85)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.85,6.85)(6.85,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.85,6.85)(6.85,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.85,0)(6.85,3.575)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.85,0)(6.85,3.575)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.85,3.575)(0,3.575)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.85,3.575)(0,3.575)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3.575)(3.575,3.575)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3.575)(3.575,3.575)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.575,3.575)(3.575,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3.575,3.575)(3.575,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.575,0)(3.575,5.2125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3.575,0)(3.575,5.2125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3.575,5.2125)(0,5.2125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3.575,5.2125)(0,5.2125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,5.2125)(5.2125,5.2125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,5.2125)(5.2125,5.2125)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.2125,5.2125)(5.2125,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(5.2125,5.2125)(5.2125,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.2125,0)(5.2125,4.39375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(5.2125,0)(5.2125,4.39375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.2125,4.39375)(0,4.39375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(5.2125,4.39375)(0,4.39375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.39375)(4.39375,4.39375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.39375)(4.39375,4.39375)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.39375,4.39375)(4.39375,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.39375,4.39375)(4.39375,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.39375,0)(4.39375,4.80312)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.39375,0)(4.39375,4.80312)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.39375,4.80312)(0,4.80312)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.39375,4.80312)(0,4.80312)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.80312)(4.80312,4.80312)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.80312)(4.80312,4.80312)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.80312,4.80312)(4.80312,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.80312,4.80312)(4.80312,0)
\def\F{0 0.5 x mul sub 7 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\uput[0](3,6.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](0.3,0){ $u_0$}
\uput[180](0,6.85){ $u_1$}
\uput[-90](6.85,0){ $u_1$}
\uput[180](0,3.575){ $u_2$}
\uput[-90](3.575,0){ $u_2$}
\uput[180](0,5.2125){ $u_3$}
\uput[-90](5.2125,0){ $u_3$}
\uput[180](0,4.39375){ $u_4$}
\uput[-90](4.39375,0){ $u_4$}
\uput[180](0,4.80312){ $u_5$}
\uput[-90](4.80312,0){ $u_5$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Graphiquement, il semble que la suite $(u_n)$ converge vers l'abscisse du point d'intersection 
des droites d'équations $y=-0,5x+7$ et $y=x$. Justifions cela par le calcul.\\
On sait que si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ (\og détail \fg que nous n'avons pas 
 démontré, pourtant nécessaire
pour conclure, mais c'est ma faute ...), alors :
\begin{itemize}
 \item  $(u_{n+1})$ converge vers le même réel $\ell$.
\item  $(u_{n+1})$ converge aussi vers $-0.5\ell +7$ d'après les règles d'opérations sur les limites.
\item Par unicité de la limite, nécessairement on a $\ell = -0.5\ell + 7 \iff ... \iff \ell = \dfrac{14}3$.\\
Ce qui revient bien à trouver l'abscisse du point d'intersection des deux droites représentées.
\end{itemize}
\item La population de Schlurbs communs à aillettes mouchetées se stabilisera autour de $\dfrac{14}3$.
\end{enumerate}

\noindent\partieBac{Deuxième méthode : avec une suite auxiliaire}
\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé on a :
\qquad $\forall n\in\N\qquad  v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}=u_n-\dfrac{7}{1+0,5}=u_n-\dfrac{14}{3}$
\item Montrer que $v$ est géométrique revient à montrer que \qquad
$ \forall n\in\N\quad v_{n+1}=v_n\times q\quad \text{ où } q\in\R$\\
\textit{Attention, cette fois, on ne peut pas se contenter de regarder les premiers termes. En effet, 
le fait que les premiers termes soient en progression géométrique nous permet uniquement de conclure que 
la suite \textbf{peut} être géométrique de raison $\dfrac{v_2}{v_1}$ ...}\\
Regardons alors ce qui se passe pour $n\in\N$ : on a 
$$ v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac{14}{3}=-0,5u_n+7-\dfrac{14}{3}=-0,5u_n+\dfrac{21-14}{3}=-0,5u_n+\dfrac{7}{3}=-0,5\left(u_n+\dfrac{7/3}{-0,5}\right)=-0,5\left(u_n-\dfrac{7/3}{1/2}\right)$$
D'où \qquad $ v_{n+1}=-0,5\left(u_n-\dfrac{14}{3}\right)=-0,5v_n$ \hfill 
 $v$ est bien une suite géométrique de raison $q=-0,5$.
\item  D'après le cours, puisque $v$ est une suite géométrique \qquad
$ v_n=v_0\times q^n=v_0\times\left(-0,5\right)^n$\\
De plus \qquad $v_0=u_0-\dfrac{14}{3}=0,3-\dfrac{14}{3}=\dfrac{9}{30}-\dfrac{140}{30}=-\dfrac{131}{30}$, \qquad ce qui donne au final :
$$ \forall n\in\N \qquad v_n=-\dfrac{131}{30}\times\left(-0,5\right)^n$$
\item D'après l'énoncé, on a \qquad
$ \forall n\in\N \qquad v_n=u_n-\dfrac{14}{3} $\\
Puisque $ \forall n\in\N \qquad v_n=-\dfrac{131}{30}\times\left(-0,5\right)^n$ on en déduit que :
$$ \forall n\in\N \qquad -\dfrac{131}{30}\times\left(-0,5\right)^n=u_n-\dfrac{14}{3}\Longleftrightarrow \forall n\in\N \qquad u_n=-\dfrac{131}{30}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n+\dfrac{14}{3}$$
\item On va utiliser le résultat de la question précédente. On sait que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n=0\qquad \text{car : } -1<-\dfrac{1}{2}<1$$
Par conséquent :
$$\lim\limits_{n\to +\infty}  -\dfrac{131}{30}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n=0 $$
Au final :
$$\lim\limits_{n\to +\infty}  -\dfrac{131}{30}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n +\dfrac{14}{3}=\dfrac{14}{3} $$
Ainsi $\ell =\dfrac{14}{3}\simeq 4,67$. 
\item La population de Schblurb, le temps passant, se stabilisera autour de $4,67$ millions d'individus.
\end{enumerate}
\noindent\partieBac{Pour aller plus loin}
Notons dans un premier temps que $u_0<0$ est impossible, par soucis de cohérence avec l'énoncé.\\ 
Ensuite, la partie B aide grandement à trouver de telles valeurs. \\
En effet, les valeurs de $a$ et $b$ changent la fonction $f$,
donc le point d'intersection des deux droites représentées. On peut donc faire en sorte que ce point d'intersection 
ait pour abscisse $0$. Donc choisir $b=0$ dans un premier temps.\\
Enseuite, par soucis de cohérence toujours, il ne faudrait pas que la population devienne négative à un moment, 
ce qui est le cas si l'on ne change pas le $a$. En fait, c'est le cas dès que l'on a un escargot, et l'on 
peut constater que cela arrive dès que la fonction $f$ est décroissante. 
Choisisons alors un $a>0$.\\
Par exemple, $a=2$. On constate facilement grâce à un graphique, que l'on a un escalier qui monte, donc que
la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, ce qui est le contraire de ce que l'on veut. \\
En fait, c'est le cas dès que la droite représentant $f$ (croissante) est au-dessus de la diagonale.\\
Choissons alors un $a<1$ pour avoir un escalier qui descend, donc dans la direction du point $(0;0)$.\\
Par exemple, on peut choisir $a=0.5$. Puis il suffit de choisir n'importe quel $u_0$ positif.\\
Essayez, vous verrez !


\end{document}