\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suite arithm\'etico-g\'eom\'etrique}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

Comme vous le savez tous, le Schblurb commun à aillette mouchetée est l’animal emblématique de la Syldavie. Aussi 
paisible que les habitants de ce bucolique pays, le Schblurb se nourrit exclusivement des baies du bleurtschzrn, arbre 
qui pousse en abondance dans les verts sous-bois syldaves. 
\\\\
On modélise la population de  Schblrurbs par une suite $(u_n)$, où un terme $u_n$ désigne
l’effectif des Schblurbs, exprimé en millions d’individus, pour l’année $n$. \\
Par exemple, si pour l’année zéro il y a $\nombre{300000}$ Schblurbs, on prendra $u_0= 0,3$.\\
On sait que la population de Schblrurbs suit la loi suivante :
$$ u_{n+1}=au_n+b$$
Le but de l’exercice est d’étudier le comportement de la suite $u$ pour certaines
valeurs de la population initiale $u_0$ et des paramètres $a$ et $b$.\\
Dans les parties A, B et C, on se place dans le cas où :\qquad $u_0=0,3\qquad, \qquad  a=-0,5\qquad \text{et}\qquad b=7$\\

\noindent \partieBac{Premier constat}
\begin{enumerate}
 \item Calculer la population de Schblurbs présent aux années $1$ ; $2$ et $3$.
 \item En déduire que $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.
 \item A l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de $(u_n)$ à l'infini.
\end{enumerate}

\noindent On cherche à estimer la population de Schblurbs communs à aillette mouchetée  dans l'avenir lointain, donc à démontrer notre conjecture.\\
Pour cela on propose deux techniques différentes (parties B et C), qui tombent souvent au baccalauréat Syldave.\\
\textbf{Vous traiterez au choix au moins l'une des deux.}\\

\noindent \partieBac{Première méthode : avec une fonction}
\begin{enumerate}
\item Préciser la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item A l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite d'équation 
$y=x$ représenter les $5$ premiers termes de la suite $(u_n)$ sur l'axe des abscisses d'un repère orthonormé.
%\item Que pouvez-vous conjecturer sur la limite de la suite $u$ ?
\item En vous inspirant du graphique, déterminer \textbf{par le calcul} la limite de la suite $(u_n)$.
\item Interpréter en termes de population de Schblurbs communs à aillette mouchetée. 
\end{enumerate}

\noindent\partieBac{Deuxième méthode : avec une suite auxiliaire}
On donne la suite $(v_n)$ est définie, pour $n\in\N$, par : \qquad 
$ v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout entier $n$, on a :
$$ v_{n}=u_n-\dfrac{14}{3}$$
\item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique ; on précisera sa raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que pour tout $n\in\N$ on a : $$ u_n=-\dfrac{131}{30}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n+\dfrac{14}{3}$$
\item En déduire la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$. 
\item Interpréter en termes de population de Schblurbs communs à aillette mouchetée. 
\end{enumerate}

\noindent\partieBac{Pour aller plus loin}
Proposer si possible des valeurs pour $u_0$, $a$ et $b$ pour lesquelles la population de Schblurbs 
communs à aillette mouchetée tend à s'éteindre. \textbf{Justifier}.


 
\end{document}