\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Vous saviez d\'ej\`a que les math\'ematiques \linebreak[4] \'etaient complexes !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

~ \vspace{0.5cm}

\setcounter{exer}{10}

\Sol[Exercice 9]{
  \begin{enumerate}
   \item $P(i)=i^3-(6+i)\times i^2 + \alpha \times i -13 i = -i+(6+i) + \alpha i -13i$\\
   Donc $P(i)=0 \iff 6 + \alpha i - 13i = 0 \iff \dots \iff \alpha = 13+6i$.
   \hfill    D'où \quad \fbox{$P(z)=z^3-(6+i)z^2+(13+6i) z - 13i$}\\
   \item ~\\ \begin{tabular}{c@{ \, $=$ \, }l}
      $(z-i)(z^2+az+b)$ & $z^3+az^2+bz-iz^2-iaz-ib $\\
      & $P(z) \iff  \left\{\begin{array}{l}
                                                               a-i=-(6+i) \\ b-ia=13+6i \\ -ib=-13i
                                                              \end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{l}
a=-6 \\ b+6i=13+6i \\b = 13             
            \end{array}\right.    $
         \end{tabular}\\
On vérifie dans la deuxième équation, on retrouve bien $b=13$.
\hfill Donc \quad \fbox{$P(z)=(z-i)(z^2-6z+13)$}\\
\item ~\\ \begin{tabular}{cclcl}
$P(z)=0$ & $\iff$ & $z-i=0$ & ou & $z^2-6z+13=0$ \\
& $\iff$ & \fbox{$z_1=i$} & ou & $\Delta=-16$ \\
&&&& $z_2=\dfrac{6-i\sqrt{16}}{2}=\dots =$ \fbox{$z_2= 3-2i$} \quad ou \quad \fbox{$z_3=3+2i$}       
      \end{tabular}
  \end{enumerate}
  On peut donc dire que $P(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)$ \hfill ie \quad \fbox{$P(z)=(z-i)(z-3+2i)(z-3-2i)$.}
}


\Sol[Exercice 10]{
\begin{enumerate}
 \item $\left\{\begin{array}{l}
                  z+z' = 2 \\ zz'=17
                 \end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
                  z' = 2-z \\ z(2-z)=17
                 \end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
                  z' = 2-z \\ 2z-z^2-17=0
                 \end{array}\right.
\qquad\qquad \begin{array}{l}
\\ \Delta = 4-4\times (-1) \times (-17) = -64                     
                    \end{array}$
\\
Donc \quad $z_1=\dfrac{-2+8i}{-2}=1-4i$ \quad et \quad $z_2=1+4i$\\
D'où \quad $z_1'=2-z_1=2-(1-4i)=1+4i$ \quad et \quad $z_2'=2-z_2=\dots =1-4i$
\hfill \fbox{$\mathscr S = \left\{\big(1-4i;1+4i\big) ; \big(1+4i;1-4i\big)\right\}$}\\ \\
\textit{Les rôles de $z$ et $z'$ étant symétriques, il est logique d'avoir deux couples de solutions symétriques.}\\
\item $\left\{\begin{array}{l}
                  z+z' = 5 \\ zz'=6.5
                 \end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
                  z' = 5-z \\ z(5-z)=6.5
                 \end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
                  z' = 5-z \\ 5z-z^2-6.5=0
                 \end{array}\right.
\qquad\qquad \begin{array}{l}
\\ \Delta = 25-4\times (-1) \times (-6.5) = -1                    
                    \end{array}$
\\
Donc \quad $z_1=\dfrac{-5+i}{-2}=\dfrac{5-i}{2}$ \quad et \quad $z_2=\dfrac{5+i}{2}$\\
D'où $z_1'=5-z_1=5-\dfrac{5-i}{2}=\dfrac{10-5+i}2=\dfrac{5+i}2$ \quad et 
\quad $z_2'=5-z_2=\dots =\dfrac{5-i}2$
\hfill \fbox{$\mathscr S = \left\{\left(\dfrac{5-i}2;\dfrac{5+i}2\right) ; \left(\dfrac{5+i}2;\dfrac{5-i}2\right)\right\}$}\\ \\
\textit{Les rôles de $z$ et $z'$ étant symétriques, il est logique d'avoir deux couples de solutions symétriques.}\\
\end{enumerate}
}


\Sol[Exercice 11]{
\begin{enumerate}
 \item \textit{Sans indication supplémentaire, on teste des solutions évidentes. }\\
 \begin{tabular}{ll}
Commençons par $z=i$ : & 
 $i^3+(-8+i)i^2+(17-8i)i+17i=-i-(-8+i)+17i+8+17i\neq 0$ \\
 Essayons $z=-i$ :& 
 $(-i)^3+(-8+i)(-i)^2+(17-8i)\times(-i)+17i=i-(-8+i)-17i-8+17i= 0$
 \end{tabular}\\\\
 Donc $z=-i$ est une solution imaginaire pure de l'équation $f(z)=0$\\\\
 \textit{\textbf{La lecture de la question 2. aurait pu nous aiguiller} ... Une autre méthode est présentée dans l'exercice 12.\\
 Attention, $z=i$ n'est pas solution car l'équation n'est pas à coefficients réels !}
 \item ~\\ \begin{tabular}{c@{ \, $=$ \, }l}
      $(z+i)(z^2+az+b)$ & $z^3+az^2+bz+iz^2+iaz+ib $\\
      & $z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i \iff  \left\{\begin{array}{l}
                                                               a+i=-8+i \\ b+ia=17-8i \\ ib=17i
                                                              \end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{l}
a=-8 \\ b-8i=17-8i \\b = 17             
            \end{array}\right.    $
         \end{tabular}\\
On vérifie dans la deuxième équation, on retrouve bien $b=17$.\\
Donc \quad \fbox{$z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i=(z+i)(z^2-8z+17)$}
 \item ~\\ \begin{tabular}{cclcl}
$(E)$ & $\iff$ & $z+i=0$ & ou & $z^2-8z+17=0$ \\
& $\iff$ & \fbox{$z_1=-i$} & ou & $\Delta=-4$ 
\qquad  $z_2=\dfrac{8-i\sqrt{4}}{2}=\dots =$ \fbox{$z_2= 4-i$} \quad ou \quad \fbox{$z_3=4+i$}       
      \end{tabular}
\end{enumerate}
}
 


\Sol[Exercice 12]{
  \begin{enumerate}
   \item On pose $z=iy$ avec $y\in \R$. Alors $z\in i\R$ et $z$ est solution de $f(z)=0$ si et seulement si
   $$(iy)^4-6(iy)^3+14(iy)^2-24(iy)+40=0 \iff y^4+6iy^3-14y^2-24iy+40=0 $$
   Or un nombre complexe vaut $0$ si et seulement si sa partie imaginaire et sa partie réelle valent $0$.\\
   On a donc $f(z)=0 \iff \left\{\begin{array}{l}
                                  Re\left(y^4+6y^3i-14y^2-24yi+40\right)=0 \\ Im\left(y^4+6iy^3-14y^2-24iy+40\right)=0
                                 \end{array}\right. \iff 
                                 \left\{\begin{array}{l}
                                  y^4-14y^2+40=0 \\ 6y^3-24y=0
                                 \end{array}\right.$\\
Résolvons déjà la deuxième équation qui est très simple : \\
$6y^3-24y=0 \iff 6y(y^2-4)=0 \iff y=0 $ ou $y=2$ ou $y=-2$.\\
Regardons alors si la première équation est vérifiée dans chacun des trois cas précédents.
\begin{itemize}
 \item Si $y=0$ alors $y^4-14y^2+40 \neq 0$ \hfill Donc $y=0$ n'est pas solution du système, ni de $f(z)=0$ donc.
 \item Si $y=2$ alors $y^4-14y^2+40=16-46+40=0$. \hfill Donc $y=2$ est solution du système et donc de $f(z)=0$.
 \item Idem pour $y=-2$, puisque les exposants sont pairs.
\end{itemize}
Ainsi, $z=2i$ et $z=-2i$ sont les deux solutions imaginaires pures de $f(z)=0$.\\\\
\textit{On pouvait aussi résoudre la première équation avec le changement de variable $Y=y^2$.\\
On trouve alors comme solutions $y=\pm \sqrt{10}$ et $y=\pm 2$. \\
Les solutions du système sont donc les solutions communes
aux deux équations, à savoir $y=\pm 2$.}
\item \textbf{\textit{Grâce à cette question, on sait que l'on a la précédente juste !}}\\
\begin{tabular}{c@{ \, $=$ \, }l}
      $(z^2+az+b)(z^2+4)$ & $z^4+4z^2+az^3+4az+bz^2+4b $\\
      & $f(z) \iff  \left\{\begin{array}{l}
       a=-6 \\ 4+b=14 \\ 4a=-24 \\ 4b=40
                                                              \end{array}\right.
\iff \left\{\begin{array}{l}
a=-6 \\ b=10 \\ a=-6 \\ b=10             
            \end{array}\right.    $
         \end{tabular}\hfill 
Donc \quad \fbox{$f(z)=(z^2-6z+10)(z^2+4)$}
 \item ~\\ \begin{tabular}{cclclcl}
$f(z)=0$ & $\iff$ & $z^2-6z+10=0$ & ou & $z^2+4=0$ \\
& $\iff$ & $\Delta=-4$ & ou &  \fbox{$z_3=2i$} & ou &  \fbox{$z_4=-2i$}\\
&& $z_1=\dfrac{6-i\sqrt{4}}{2}=\dots =$ \fbox{$z_1= 3-i$} \quad ou \quad \fbox{$z_2=3+i$}       
      \end{tabular}
  \end{enumerate}
}
 
\end{document}