\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{M\^eme le plan est complexe ! }  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 9}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\setcounter{NumLecon}{9}

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%\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

 
\Chacha{madonne.eps}{Autoportrait avec cigarette (1895) \fg \, et \\ \og  La madone (1895-1902)}{Edvard Munch}
{La maladie, la folie et la mort sont les anges noirs qui ont veillé sur mon berceau}{Edvard Munch}{Edvard Munch 
(1863 - 1944) est un peintre expressionniste norvégien,
souvent considéré comme le pionnier de l'expressionnisme et très tôt réputé pour son appartenance
 à une nouvelle époque artistique en Europe.
L'importance de son œuvre est aujourd'hui reconnue dans le monde. \\
Les œuvres de Munch les plus connues sont celles des années 1890, notamment  \textit{Le Cri} (1893)
(cf fin du cours), pièce de la série \textit{La Frise de la Vie}, que Munch a assemblée au tournant du siècle. 
Sa production ultérieure attire toutefois de plus en plus l'attention et semble inspirer tout spécialement les artistes actuels.\\
Munch traite d'une manière récurrente des thèmes de la vie, de l'amour, de la peur et de la mort.
La collection la plus importante de ses œuvres se trouve au le Musée Munch dans Oslo. 
Quelques-unes de ses peintures se trouvent à la galerie nationale d'Oslo. 
L'Hotel Continental d'Oslo possède de nombreuses impressions. Enfin, la pinacothèque de Paris a organisé en 2010 la superbe exposition 
\textit{Anti-Cri} regroupant de nombreux tableaux de Munch, issus de collections privées.\\
\textit{ Le Cri } et  \textit{La Madone} ont été volés le 22 août 2004 au musée Munch d'Oslo. Ils ont été récupérés dans des circonstances non connues 
en août 2006 en Norvège... Les deux œuvres ensemble sont estimées à 100 millions de dollars.}
{1.2}{0.4}{
 \item Découvrir l'affixe d'un nombre complexe
  \item Interpréter géométriquement le module et l'argument d'un nombre complexe
  \item Les utiliser pour placer un nombre complexe dans le plan
 \item Déterminer la forme trigonométrique et la forme exponentielle d'un nombre complexe
 \item Utiliser les nombres complexes pour résoudre des problèmes géométriques
}


\TITRE{anti-cri.eps}{0.5}

\begin{abstract}
Nous l'avons évoqué dans un précédent chapitre, les nombres complexes trouvent de nombreuses
applications géométriques, et c'est même par ce biais qu'ils ont acquis une crédibilité
auprès des mathématiciens, lorsqu'au XIX$^e$ siècle, Argand les associe aux points du 
plan.\\
C'est grâce à cela que l'on a pu établir une démonstration rigoureuse de 
l'existence de $\C$, en explicitant sa construction.\\
Cette démonstration n'est absolumment pas au programme, et même si vous pourriez en saisir quelques éléments,
vous ne pourriez pas en saisir l'essence, vos connaissances sur les ensembles et leurs
propriétés étant encore trop obscures et trop peu diversifiées (il existe des ensembles par exemple, 
où la multiplication n'est pas commutative, comme pour les ensembles de nombres : cf les matrices en spécialité). \\
Une idée de cette démonstration est présente en annexe, à la fin de ce cours, pour ceux qui souhaiteraient approfondir.\\
Mais voyons donc les bases de cette géométrie de plus près.
\end{abstract}



\section{L'ensemble $\C$ d'un point de vue géométrique}
\subsection{Le plan complexe}
\textit{Montrer en introduction le film \og Dimension Math - Chapitre 5 \fg de Jos Leys, Etienne Ghys et Aurélien Alvarez}\\

Dans tout le chapitre, on munit un plan orienté d'un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$. 

\begin{defi}
\`A tout nombre complexe $z=x+iy$, avec $(x;y)\in\R^2$, on associe le point $M$ de coordonnées
$(x,y)$ et on note souvent $M(z)$. \\
Réciproquement, à tout point $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$, on associe 
un unique nombre complexe $z=x+iy$, appelée \textbf{affixe} du point $M$, souvent noté $z_M$.
\\
Enfin,  à  tout   vecteur  $\overrightarrow{u}$  de  coordonnées  $(x,y)$ on associe  une affixe
$z_{\overrightarrow{u}}=x+iy$ et réciproquement.
\end{defi}

\begin{minipage}{9cm}
\definecolor{bleu}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{vert}{rgb}{0,1,0}
\definecolor{reel}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{imag}{rgb}{0.9,0.1,0.1}
\definecolor{gris25}{gray}{0.75}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=1]
\draw[-,color=reel] (-1.0,0) -- (6.5,0);
\draw[-,color=imag] (0,-1) -- (0,3.6);
\clip(-2.0,-1.8) rectangle (6.5,4.9);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (4,0)-- (4,3);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (0,3)-- (4,3);
\draw [->] (0,0) -- (1,0);
\draw [->] (0,0) -- (0,1);
\draw [->,line width=1.0pt] (0,0) -- (4,3);
\draw (-0.5,-0.1) node[anchor=north west] {$O$};
\draw (0.15,-0.1) node[anchor=north west] {$ \vect{ e_1 } $};
\draw (-0.75,0.75) node[anchor=north west] {$ \vect{ e_2 } $};
\draw[color=bleu] (4,0.0) node[anchor=north] {$x$};
\draw[color=bleu] (-0.0,3.0) node[anchor=east] {$y$};
\draw (1.4,2.0) node[anchor=north west] {$ \vect{ u } $};
\draw (4.72,-0.22) node[anchor=north west] {\colorbox{reel}{\textbf{axe réel}}};
\draw (-0.7,4.6) node[anchor=north west] {\colorbox{imag}{\textbf{axe imaginaire}}};
\fill [color=black] (0,0) circle (1pt);
\draw[color=bleu] (5.2,3.25) node {$M(z=x+iy)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\Expls{$z=2-5i$ correspond au point $M(2;-5)$ et réciproquement. \\
L'affixe du point $M$ est le nombre complexe $z_M=2-5i$.\\
L'affixe de $ \overrightarrow{e_1}$ est $z_{\overrightarrow{e_1}}=1$.
celle de 
$ \overrightarrow{e_2}$ est $z_{\overrightarrow{e_2}}=i$.\\
}
\end{minipage}


\Rqs{
\item On a ainsi identifié le plan orienté muni d'un repère orthonormé direct et l'ensemble $\C$, 
ce qui justifie l'appellation \textbf{plan complexe} de ce type de plan.
 \item Les réels étaient déjà identifiés depuis la seconde à une droite (incluse dans le plan)
\item Cette identification justifie que l'on ne peut pas prolonger à $\C$ la relation d'ordre 
de $\R$, car cela reviendrait à comparer deux points du plan, ou deux vecteurs, ce qui n'a pas de sens.
\item L'unicité des coordonnées dans le plan implique aussi l'unicité de la forme algébrique 
d'un nombre complexe (même si nous l'avons déjà démontré autrement).
\item La droite passant par $O$ de vecteur directeur $\overrightarrow{e_1}$ est appelé l'axe réel (ou axe des réels) du plan complexe (cet axe correspond à l'axe des abscisses). \\
La droite passant par $O$ de vecteur directeur $\overrightarrow{e_2}$ est appelé l'axe imaginaire (ou axe des imaginaires) du plan complexe (cet axe correspond à l'axe des ordonnées).
}

\begin{ExoC}
 On considère le nombre complexe $z=3-2i$.\\
 Sans calcul, placer dans le plan complexe les points $A(z)$, $B\left(\overline{z}\right)$, 
 $C\left(-z\right)$, $D\left(-\overline{z}\right)$ $E(2z)$ et $F(iz)$.
\end{ExoC}

\begin{minipage}{7cm}
\underline{Conjugué et opposé} : \\
Les points associés à deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l'axe des réels.\\
Les points associés à deux nombres complexes opposés sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,2.5) 
\psaxes{->}(0,0)(1,1) 
\psline{->}(-3,-2)(3,2) 
\psline{->}(3,-2)(-3,2) 
\psline(-3.5,0)(3.5,0) 
\psline(0,-2.5)(0,2.5) 
\pspolygon[linestyle=dashed](3,-2)(3,2)(-3,2)(-3,-2) 
\rput(-0.15,-0.3){$O$} 
\rput(0.72,-0.25){$ \overrightarrow{e_1} $} 
\rput(-0.3,0.5){$ \overrightarrow{e_2} $} 
\rput(3.5,2.3){$M_1(z)$} 
\rput(3.5,-2.3){$M_4(\overline{z})$} 
\rput(-3.5,-2.3){$M_3(-z)$} 
\rput(-3.5,2.3){$M_2(-\overline{z})$} 
\rput(3.3,-0.3){$\textcolor{red}{x}$}
\rput(-0.3,2.3){$\textcolor{blue}{y}$} 
\rput(-3.3,-0.3){$\textcolor{red}{-x}$} 
\rput(-0.3,-2.3){$\textcolor{blue}{-y}$} 
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{minipage}



\begin{ExoF}
 Représenter dans le plan complexe l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que :
 \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item Re$(z)=2$ (en bleu)
  \item Re$(z)=$Im$(z)$ (en rouge)
  \item Re$(z)=2$Im$(z)-1$ (en vert)
  \item Im$(z)=\left(\text{Re}(z)\right)^2$ (en noir)
  %\item $\dfrac{iz-1}{z-i}$ soit réel. 
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ un repère orthonormal direct du plan 
et $a$ et $b$ deux réels. \\
Déterminer et représenter l'ensemble des points $M(a;b)$ du plan tels que le nombre complexe 
$z=2a+b+i(b^2-1)$ soit :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item un réel
\item un imaginaire pur
\item nul
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


%\begin{ExoF}
%On considère le complexe $z=x^2+y^2-2x-3+i(2x-1+y)$
%\begin{enumerate}
%\item Déterminer et représenter l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ tel que $z$ soit un réel.
%\item Déterminer et représenter l'ensemble $F$ des points $M'$ d'affixe $z$ tel que $z$ soit un imaginaire pur.
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}



\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 53-54 p 242
\end{ExoL}



\subsection{Premiers calculs géométriques}

\begin{prop}
Dans le plan complexe,
notons $z_A$ l'affixe du point $A$ et $z_B$ l'affixe du point $B$, alors l'affixe du vecteur 
$ \overrightarrow{AB}$ est $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$ 
\end{prop}

\Dem{Il suffit de se ramener aux coordonnées. \\
Notons $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $z_A=x_A+iy_A$ et $z_B=x_B+iy_B$.\\
On a $ \overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$, donc l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ est $(x_B-x_A+i(y_B-y_A) $\\
D'autre part, $z_B-z_A=x_B+iy_B-(x_A+iy_A)=x_B-x_A+i(y_B-y_A)$\\
Par conséquent l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ est $ z_B-z_A$ 
}

\Expl{L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ avec $A(3;5)$ et $B(5;8)$ est donc $z=2+3i$ }

\begin{prop}
Dans un plan complexe, soient les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ 
d'affixe respective $z_{\overrightarrow{u}}$ et $z_{\overrightarrow{v}}$.
\begin{enumerate}
\item Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont égaux ssi ils ont même affixe. \\
Autrement dit, 
$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v} \Longleftrightarrow z_{\overrightarrow{u}}=z_{\overrightarrow{v}}$.
\item L'affixe du vecteur somme $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ est la somme des affixes des 
vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. \\
Autrement dit, $z_{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}=z_{\overrightarrow{u}}+z_{\overrightarrow{v}}$.
\item $\forall \lambda \in \R$, le vecteur $\lambda \overrightarrow{u}$ a pour affixe le produit  
du réel $\lambda$ par l'affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$. \\
Autrement dit, $z_{\lambda \overrightarrow{u}}=\lambda z_{\overrightarrow{u}}$.
\item $I$ est le milieu de $[AB]$ $\Longleftrightarrow$ $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
\item $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ $\iff$  $z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}$
\item La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ amène le point $M(z)$ sur le point $M'(z')$ 
tel que $z'=z+z_{\overrightarrow{u}}$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\Dem{
Tout se retrouve grâce aux propriétés déjà connues sur les coordonnées
}

\begin{minipage}{8cm}
\Expl{
  Soient les points $A(-3+i)$, $B(5+7i)$ et $C(4+i)$.\\
  Alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $$z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=8+6i$$
  Le milieu  $I$ de $[AB]$ est le point d'affixe $$z_I=\dfrac{z_A+z_{B}}2=1+4i$$
  Le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ est le point d'affixe $$z_{G}=\dfrac{z_A+z_B+z_C}3=2+3i$$
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-1.1)(8.1,8.6)
\def\xmin{-4} \def\xmax{8} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{8.5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, 
subgriddiv=1](0,0)(-4,-1)(8,8.5)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
 \uput[dr](-3,1){$A$}
\uput[ur](5,7){$B$}
 \uput[dr](4,1){$C$}
\psdot[dotstyle=x,dotsize=7pt](1,4) \uput[dr](1,4){$I$}
\psdot[dotstyle=x,dotsize=7pt](2,3) \uput[dr](2,3){$G$}
\uput[dr](3,5){$\overrightarrow{AB}$}
\psline{->}(-3,1)(5,7)
\psline{-}(-3,1)(4,1)(5,7)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


\Rq{Ces applications permettent de traduire des problèmes géométriques en relations entre 
nombres complexes. 
}

\begin{minipage}{8.3cm}
\begin{ExoC}
  Soient les points $M(2.5+1.5i)$ et $M'(1+2i)$.\\
  Déterminer l'affixe du point $S$ tel que $OMSM'$ soit un parallélogramme.
\end{ExoC}
\Sol{
  Le point $S$ d'affixe $z_S=z_M+z_{M'}=3.5+3.5i$ est le point tel que 
  $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}$.\\
  Ainsi, $OMSM'$ est un parallélogramme.\\
  \textit{On peut également raisonner en terme de milieu des diagonales ou d'égalité de vecteur.}
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.5cm}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4.6,-2.6)(6.6,4.6)
\def\xmin{-4.5} \def\xmax{6.5} \def\ymin{-2.5} \def\ymax{4.5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-2.1)(5.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1]
(0,0)(-4.5,-2.5)(6.5,4.5)
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.75cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
 \uput[u](1,2.5){$M'$}
%\uput[d](-2.5,-1.5){$M''$}
\uput[r](2.5,1.5){$M$}
 \uput[ur](3.5,3.5){$S$}
\psline[linestyle=dashed](1,2)(3.5,3.5)(2.5,1.5)
\psline{->}(0,0)(1,2)
\psline{->}(0,0)(2.5,1.5)
%\psline{->}(0,0)(-2.5,-1.5)
\psline{->}(0,0)(3.5,3.5)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{minipage}




%\begin{ExoF}
%On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=1+2i$ et $z_B=2-i$. 
%Déterminer l'affixe de $C$ tel que $OABC$ soit un parallélogramme.
%\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A=\dfrac{3}{2}i$, 
$z_B=2+\dfrac{1}{2}i$, $z_C=1-\dfrac{3}{2}i$ et $z_D=-1-\dfrac{1}{2}i$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points sur un graphique puis déterminer l'affixe du milieu $I$ du segment $[AC]$.
\item Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$. 
Que peut-on en déduire ?
\item Déterminer l'affixe du point $E$ symétrique de $A$ par rapport à $B$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
La plan complexe est muni du repère orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.
\begin{enumerate}
\item Placer \textbf{à la règle et au compas} les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives 
$2-i$ ; $2i$ et $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} }{2}i$
\item Déterminer les affixes des points $A'$ et $B'$ symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$
\item Déterminer l'affixe du symétrique $C'$ de $C$ par rapport à l'axe réel, puis déterminer 
l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{CC'}$
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\newpage
\section{Distances et angles orientés}
\textit{\textbf{Introduction orale :}
Pour repérer un point dans le plan, vous avez  depuis la 3e utiliser des coordonnées cartésiennes, ie une abscisse
et une ordonnée.\\
Cependant, il existe d'autres types de coordonnées.\\
Par exemple, on peut décrire la position d'un point $M$ dans un repère \Ouv grâce à sa distance à l'origine $OM$ 
et à l'angle orienté $\left(\vec u ; \overrightarrow{OM}\right)$. On parle de \textbf{coordonnées polaires} 
(qui ne sont pas uniques, contrairement aux cartésiennes, puisque plusieurs angles peuvent convenir 
pour décrire la position d'un même point).\\
Ces coordonnées ont disparu du programme de 1S, mais on va tout de même les toucher du doigt avec le 
plan complexe. En effet, elles rendent les calculs très simples lors de l'étude de certaines figures géométriques
ou de transformations autres que la translation (mais elles aussi disparues du programme).\\
Ainsi, nous allons définir la notion de module et d'argument d'un nombre complexe, qui renvoit à cette fameuse
distance et cet angle orienté ...
}

\subsection{Module d'un nombre complexe}

\begin{defi}[Proposition]
On considère $z\in\C$ de forme algébrique $z=x+iy$ (donc $x$ et $y$ réels) et $M$ son point associé dans le plan complexe.\\
Le \textbf{module} de $z$,  noté $|z|$, est la distance $OM$. \\
$|z|$ est donc un nombre réel positif ou nul et on a $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$. 
\end{defi}

\noindent \begin{minipage}{8cm}
\definecolor{bleu}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{vert}{rgb}{0,1,0}
\definecolor{reel}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{imag}{rgb}{0.9,0.1,0.1}
\definecolor{gris25}{gray}{0.75}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=1]
\draw[-,color=black] (-1.0,0) -- (6.5,0);
\draw[-,color=black] (0,-1) -- (0,3.6);
\clip(-2.0,-1.8) rectangle (6.5,4.9);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (4,0)-- (4,3);
\draw [color=bleu,dash pattern=on 3pt off 3pt] (0,3)-- (4,3);
\draw [->] (0,0) -- (1,0);
\draw [->] (0,0) -- (0,1);
\draw [-,color=vert1,line width=0.6pt] (0,0) -- (4,3);
\draw (-0.5,-0.1) node[anchor=north west] {$O$};
\draw (0.15,-0.1) node[anchor=north west] {$ \vect{ e_1 } $};
\draw (-0.75,0.75) node[anchor=north west] {$ \vect{ e_2 } $};
\draw[color=bleu] (4,0.0) node[anchor=north] {$x$};
\draw[color=bleu] (-0.0,3.0) node[anchor=east] {$y$};
\draw[color=vert1] (0.5,1.15) node[anchor=north west,rotate=37] {\small $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$};
\fill [color=black] (0,0) circle (1pt);
\fill [color=black] (4,3) circle (1pt);
\draw[color=bleu] (5.2,3.25) node {$M(z=x+iy)$};
\end{tikzpicture}\\
\psset{unit=0.6cm} 
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,2.5) 
\psaxes{->}(0,0)(1,1) 
\psline{->}(-3,-2)(3,2) 
\psline{->}(3,-2)(-3,2) 
\psline(-3.5,0)(3.5,0) 
\psline(0,-2.5)(0,2.5) 
\pspolygon[linestyle=dashed](3,-2)(3,2)(-3,2)(-3,-2) 
\rput(-0.15,-0.3){$O$} 
\rput(0.72,-0.25){$ \overrightarrow{e_1} $} 
\rput(-0.3,0.5){$ \overrightarrow{e_2} $} 
\rput(3.5,2.3){$M_1(z)$} 
\rput(3.5,-2.3){$M_4(\overline{z})$} 
\rput(-3.5,-2.3){$M_3(-z)$} 
\rput(-3.5,2.3){$M_2(-\overline{z})$} 
\rput(3.3,-0.3){$\textcolor{red}{x}$}
\rput(-0.3,2.3){$\textcolor{blue}{y}$} 
\rput(-3.3,-0.3){$\textcolor{red}{-x}$} 
\rput(-0.3,-2.3){$\textcolor{blue}{-y}$} 
\end{pspicture} 
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{10cm}
\Rqs{
\item Si $z$ est l'affixe d'un vecteur $ \overrightarrow{AB}$ alors $z=z_B-z_A$ et $|z|$ représente 
la distance $AB$. Ainsi :
$$AB=||\overrightarrow{AB}||=|z_{\overrightarrow{AB}}|=|z_B-z_A|$$
\item $|z| \geq 0 $ pour tout nombre complexe $z$ et $|z|=0\Longleftrightarrow z=0$
\item On a \quad $z\overline{z}=x^2+y^2=|z|^2$ 
\item $|z|=|-z|=\left|\,\overline{z}\,\right|=\left|-\overline{z}\right|$
\item Si $z=x+iy$ est réel alors $y=\im(z)=0$ et on a $$|z|=\sqrt{x^2}=|x|$$
Le module d'un nombre réel est donc sa valeur absolue, ce qui justifie la notation, et généralise
la valeur absolue d'un nombre réel.
}
\end{minipage}


\Expls{Si $z=3-4i$, alors $|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$. \qquad Si $z=9i$ alors $|z|=\sqrt{9^2}=9$.\\
On donne les points $A$ et $B$ d'affixe respective $z_A=-1+4i$ et $z_B=2-i$. 
Calculer la distance $AB$.\\
Soient $D(4i)$, $E(3)$ et $F(6+8i)$. Quelle est la nature du triangle $DEF$ ? }


\begin{prop}
\begin{multicols}{2}
Soit $z\in\C$. Alors :
\begin{enumerate}
%\item $|z|=0\Longleftrightarrow z=0$
%\item Si $z=x+iy$ alors $|z|\geq max(|x|,|y|)$
\item $|zz'|=|z||z'|$
\item $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$
\item $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire)
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}



\Dem[ROC pour 1-2]{
\begin{enumerate}
%\item $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0$ \quad  car $x,y\in\R$
%\item $x\leq \sqrt{x^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|$ \quad  et de même \quad  $y\leq \sqrt{y^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|$
\item $$|zz'|^2=zz'\times \overline{zz'}=zz'\times \overline{z}\times \overline{z'}=z \overline{z} \times z'  \overline{z'}= |z|^2|z'|^2$$
Comme un module est positif on obtient : $|zz'|=|z||z'|$
\item $$ \left|\dfrac{z}{z'}\right|^2=\dfrac{z}{z'}\times \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right) }=
\dfrac{z \times \overline{z} }{z' \times \overline{z'} }=\dfrac{|z|^2}{|z'|^2}$$
Comme un module est positif on obtient : $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$
\item 
\begin{minipage}{6cm}
Pour comprendre l'inégalité triangulaire il suffit d'observer cette figure ci-contre.\\
On a bien $OP\leq OM+OM'$\\
et donc $|z+z'|\leq |z|+|z'|$
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
  \begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{complexe.2}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\underline{Démonstration plus rigoureuse} :\\
Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de 
chaque membre.
$$\text{Or} \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad |z+z'|^2=(z+z')(\overline{z+z'})=(z+z')(\overline{z}+\overline{z'})=|z|^2+(z\overline{z'}
+\overline{z}z')+|z'|^2$$
 $$\text{Et} \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad (|z|+|z'|)^2=|z|^2+2|zz'|+|z'|^2$$
Il s'agit donc de comparer %les \og doubles produits \fg.
\quad $(z\overline{z'} +\overline{z}z')$ \quad et \quad $2|zz'|$.\\
Or \quad 
$z\overline{z'}+\overline{z'}z=z\overline{z'}+\overline{z\overline{z'}}=2\Re(zz')\leq  2|zz'|$ \quad d'après la propriété 2. Donc 
$$|z+z'|^2=|z|^2+(z\overline{z'}
+\overline{z}z')+|z'|^2\leq|z|^2+2|zz'|+|z'|^2=(|z|+|z'|)^2$$
}


%\Expl{Soient $u$ et $v$ deux nombres complexes distincts et de même module $r$. 
%Montrer que $ \dfrac{u+v}{u-v}$ est un imaginaire pur. On a :
%$$ \overline{\left(\dfrac{u+v}{u-v}\right)}=\dfrac{\overline{u}+\overline{v} }{\overline{u}-\overline{v} }=\dfrac{uv \overline{u}+uv \overline{v}  }{uv \overline{u}-uv \overline{v}}=\dfrac{|u|^2v+u|v|^2}{|u|^2-u|v|^2}= \dfrac{r^2v+ur^2}{r^2-ur^2}=-\dfrac{u+v}{u-v}$$
%Ce qui prouve que $ \dfrac{u+v}{u-v}$ est un imaginaire pur. }


\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Pour tout nombre complexe $z$ on pose :
  $$P(z)=z^3-3z^3+3z+7$$
  \begin{enumerate}
   \item Calculer $P(-1)$.
   \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$ on ait :
   $$P(z)=(z+1)(z^2+az+b)$$
   \item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$.
  \end{enumerate}
  \item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O;\vec u ; \vec v \right)$, d'unité graphique 2 cm.\\
  On désigne par $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives :
  \begin{multicols}{4}
   $z_A=-1$ \\ $z_B=2+i\sqrt{3}$\\ $z_C=\overline{z_B}$ \\ $z_D=3$
  \end{multicols}
\item \begin{enumerate}
 \item Réaliser une figure.
 \item Calculer les distance $AB$, $BC$ et $CA$.\\
 En déduire la nature du triangle $ABC$.
 \item Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CD}$.
 \item Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CD}$.
 \item En déduire la nature du triangle $ADC$.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\subsection{Argument d'un nombre complexe}

\begin{defi}
Soit $z$ un nombre complexe \textbf{non nul} associé au point $M$ dans le plan complexe. \\
On appelle \textbf{argument}  de $z$, noté $\arg(z)$ toute mesure, en radians,  de l'angle orienté
$(\overrightarrow{e_1} \ ; \ \overrightarrow{OM})$.
\end{defi}

\Att{Le nombre complexe $z=0$ ne possède pas d'argument car, dans ce cas, 
l'angle $(\overrightarrow{e_1} \ ; \ \overrightarrow{OM})$ ne se définit pas.}

\noindent \begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=6cm]{complexe.5}\\\\
\psset{unit=0.6cm} 
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,2.5) 
\psaxes{->}(0,0)(1,1) 
\psline{->}(-3,-2)(3,2) 
\psline{->}(3,-2)(-3,2) 
\psline(-3.5,0)(3.5,0) 
\psline(0,-2.5)(0,2.5) 
\pspolygon[linestyle=dashed](3,-2)(3,2)(-3,2)(-3,-2) 
\rput(-0.15,-0.3){$O$} 
\rput(0.72,-0.25){$ \overrightarrow{e_1} $} 
\rput(-0.3,0.5){$ \overrightarrow{e_2} $} 
\rput(3.5,2.3){$M_1(z)$} 
\rput(3.5,-2.3){$M_4(\overline{z})$} 
\rput(-3.5,-2.3){$M_3(-z)$} 
\rput(-3.5,2.3){$M_2(-\overline{z})$} 
\rput(3.3,-0.3){$\textcolor{red}{x}$}
\rput(-0.3,2.3){$\textcolor{blue}{y}$} 
\rput(-3.3,-0.3){$\textcolor{red}{-x}$} 
\rput(-0.3,-2.3){$\textcolor{blue}{-y}$} 
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\Rqs{ 
\item Un nombre complexe possède une infinité d'arguments ! \\
En effet si $\theta$ est un argument de $z$, tout autre argument 
est de la forme $\theta+2k\pi$ ($k\in\Z$). \\
L'unique argument appartenant à l'intervalle $]-\pi;\pi]$ s'appelle l'\textbf{argument principal}.\\
On notera par exemple $\arg(z)=\dfrac{\pi}{4}\quad [2\pi]$ (se lit \og modulo $2\pi$ \fg)
pour signifier que $\arg(z)$ peut-être égal à $ \dfrac{\pi}{4}$ mais aussi à n'importe lequel des 
nombres $ \dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in\Z$. 
\item  $\forall z\in\C^*$ on a 
 $\arg(\overline{z})=-\arg(z) \quad [2\pi]$ \\
 $\arg(-z)=\arg(z)+\pi \quad [2\pi]$ et 
 $\arg(-\overline{z})=\pi-\arg(z) \quad [2\pi]$
\item Si $z$ est l'affixe d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ alors $z=z_B-z_A$. \\
Par conséquent, 
$\left( \overrightarrow{e_1} ; \overrightarrow{AB} \right) = \arg(z_B-z_A) \quad [2\pi]$.
}
\end{minipage}

\Expl{On voit clairement, de part leur position dans le plan complexe, que :
$$\arg(i)=\dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi] \qquad \arg(1)=0\quad [2\pi] \qquad 
 \arg(-1)=\pi\quad [2\pi] \qquad
\arg(-i)=-\dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi] \qquad
\arg(i+1)=\dfrac{\pi}{4}\quad [2\pi]$$
Mais ce n'est pas toujours aussi simple ! 
}

\begin{ExoC}
\begin{enumerate}
 \item Par lecture graphique, donner le module et l'argument principal des points $A(-3)$, $B(2i)$, $C(-i)$ et 
 $D(2+2i)$.
 \item A partir de $\arg(1+i)=\dfrac{\pi}4 \quad [2\pi]$, déterminer sans calcul un argument de
$1-i$, $-1-i$ puis $-1+i$. 
\item On donne désormais le point $E$ avec les caractériques suivantes : 
\begin{itemize}
 \item $E$ est situé sur le cercle de centre $O$ et de rayon $3$.
 \item L'abscisse de $E$ vaut $\dfrac32$
\end{itemize}
 Placer $E$ puis par considération géométrique, déterminer son module et son argument principal.\\
 En déduire son ordonnée puis son affixe.
\end{enumerate}
 \end{ExoC}

\Rqs{
\item Si $z\in \R^+$ alors $\arg(z)=0 \quad [2\pi]$, si $z\in\R^-$ alors $\arg(z)=\pi \quad [2\pi]$
\item On peut raisonner de même sur les  imaginaires purs dont la partie imaginaire est strictement positive 
ou négative. Par conséquent :
$$ z\in \R^*\Longleftrightarrow \arg(z)=0 \quad [\pi]$$
$$ z\in i\R^* \Longleftrightarrow \arg(z)=\dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]$$
}

\begin{ExoF}
 Soit $A$ le point situé sur le cercle de centre $O$ et de rayon 2 d'ordonnée $1$.
 \begin{enumerate}
  \item Faire une figure et par considération géométrique, déterminer l'affixe $z_A$ de $A$.
  \item Tracer l'ensemble des points $M(z)$ tels que 
  \begin{enumerate}
   \item $\arg(z)=\arg(z_A) \quad [2\pi]$ (en vert)
   \item $\arg(z)=\arg(-z_A) \quad [2\pi]$ (en rouge)
   \item $\arg(z)=\arg(\overline{z_A}) \quad [2\pi]$  (en noir) 
   \item $\arg(z)=\arg(iz_A) \quad [2\pi]$ (en bleu)
   \item $\arg(z)=\arg(z_A) \quad [\pi]$ (en pointillés verts)
   \item $\arg(z)=\arg(z_A)+\arg(\overline{z_A})) \quad [2\pi]$ (en ??)
   \item $|z|=|2z_A|$
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Déterminer et représenter dans chaque cas l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe 
$z$ vérifie la condition donnée :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $M\in\mathscr C\Longleftrightarrow |z-2-i|=1$
\item $M\in\mathscr F \Longleftrightarrow |z|=|\overline{z}-2+i |$
\item $M\in\mathscr G\Longleftrightarrow \arg(z+2i)=\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$
\item $ M\in\mathscr H\Longleftrightarrow |z-3|=|z-3i |$
\item $ M\in\mathscr K\Longleftrightarrow | \overline{z} -4+i|=1$
\item  $  M\in\mathscr L\Longleftrightarrow \arg( \overline{z}) =\arg(-z)[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 61-62 p 243
\end{ExoL}

\newpage
\section{Deux nouvelles écritures des nombres complexes}
\subsection{Forme trigonométrique}
\begin{theo}[Définition]
Tout nombre complexe $z$ non nul peut s'écrire sous la forme, dite \textbf{trigonométrique}, 
$z=r (\cos \theta + i \sin \theta)$ avec $r>0$ (donc réel) et $\theta \in \R$. \\
De plus, le réel $r$ est égal au module de $z$, et les réels $\theta$ convenables sont les arguments du complexe $z$.
\end{theo}


\Dem{\begin{itemize}
      \item Si on connait le module $r$ de $z$ et un argument $\theta$ de $z$, il suffit de faire
      la somme de deux vecteurs (à illustrer) puis de factoriser. \\
      Donc $z$ peut s'écrire sous la forme $z=r (\cos \theta + i \sin \theta)$
      \item Si $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ alors 
      $|z|^2=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2 \Longleftrightarrow |z|=r$ puisque $r>0$.\\
De plus, si $\theta'$ est un argument de $z$ alors, d'après ce qui précède on sait que $z$ peut s'écrire :
$$ z=r(\cos\theta'+i\sin\theta')$$
Deux nombres complexes étant égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire
on a :
$$\left\{\begin{array}{l}
          r\cos \theta = r\cos \theta'\\
          r\sin \theta = r\sin \theta'
         \end{array}\right. \stackrel{r>0}{\iff} 
\left\{\begin{array}{l}
          \cos \theta = \cos \theta'\\
          \sin \theta = \sin \theta'
         \end{array}\right. \iff
         \left\{\begin{array}{l}
           \theta =  \theta' \quad [2\pi] \quad \text{ ou } \quad \theta = -\theta' \quad [2\pi] \\
         \theta = \theta' \quad [2\pi] \quad \text{ ou } \quad \theta = \pi-\theta' \quad [2\pi] 
         \end{array}\right.
         $$
Par conséquent les seules solutions du système sont $\theta'=\theta[2\pi]$ et donc $\theta$ est un argument de $z$.
     \end{itemize}
}


\Rqs{
\item Le nombre complexe nul n'a pas de forme trigonométrique (puisque pas d'argument)
\item L'argument d'un nombre complexe n'étant pas unique, il en va de même de la forme trigonométrique, 
contrairement à la forme algébrique.
\item Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et des arguments égaux à 
un multiple de $2\pi$ près.
}

\begin{ExoC}
Déterminer :
\begin{itemize}
 \item  deux autres formes trigonométriques du nombre $z=3\left[\cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{7}\right)\right]$
 \item une forme trigonométrique et la forme algébrique du nombre complexe $z$ de module 
 $\sqrt{5}$ et dont un argument est $\dfrac{2 \pi}{3}$
 \item un argument de $\cos\dfrac{\pi}4-i\sin\dfrac{\pi}4$
 \item  une forme trigonométrique 
 de $z=-2\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right] $
 \item  une forme trigonométrique et la forme algébrique de 
 $z=-5\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right] $
\end{itemize}
\end{ExoC}

\Cadre[Méthode pour trouver l'argument d'un nombre complexe]{
Soient $(x;y)\in\R^2$ tels que $z=x+iy$.
\begin{itemize}
 \item On calcule le module de $z$. 
 \item On factorise l'écriture de $z$ par $|z|$ : $z=|z|\left(\dfrac{x}{|z|} + i \dfrac{y}{|z|} \right)$
 \item On reconnait alors la valeur d'un angle remarquable $\theta$ (ou d'un angle associé grâce à la configuration du rectangle dans le cercle trigonométrique)
  tel que $\cos \theta = \dfrac{x}{|z|}$ et $\sin\theta=\dfrac{y}{|z|}$
\end{itemize}
}

\Expl{
Reprenons l'exemple de $z=1+i$. \\
On a $|z|=\sqrt{2}$ et $z=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + i \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$.\\
Or $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. \\
Donc un argument de $z$ est bien $\dfrac{\pi}{4}$ .\\
De même, calculer l'argument principal de $z=\sqrt{3}+i$ ,  $z'=-\sqrt{3}+i$ et de leur conjugués.\\
En déduire leur écriture trigonométrique correspondante.
}

\Rq{Il arrivera rarement que l'argument ne soit pas une valeur remarquable. 
Dans ce cas, on utilisera la calculatrice.}


\Cadre[Résumé]{
Soit $z\in\C^*$ de forme algébrique $z=x+iy$, de module $r$ et d'argument principal $\theta$. Alors :\\
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=r\cos\theta  \\ y=r\sin\theta
 \end{array} 
\right. \qquad 
\textrm{ et }
\qquad \left\{ \begin{array}{l}
r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta \textrm{ tel que } \quad \cos\theta = \dfrac{x}{r} \quad \textrm{ et } 
\quad \sin\theta = \dfrac{y}{r}
 \end{array} \right.$$
}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item Déterminer une écriture trigonométrique de $z=\dfrac{3}{2}-i \dfrac{\sqrt{3} }{2}$
\item Déterminer le module et une valeur approchée à $10^{-2}$ près d'un argument de $z'=-1+2i$. 
\item Placer alors dans le plan complexe les deux points $A(z)$ et $B(z')$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\subsection{Conséquences sur l'argument}

\begin{prop}
\begin{multicols}{2}
Soit $z\in\C^*$ et $n\in\Z$ : 
 \begin{enumerate}
\item $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')[2\pi]$
\item $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')[2\pi]$
\item $\arg(z^n)=n\times \arg(z)[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}


\Dem[ROC]{
\begin{enumerate}
\item Soit $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$,  alors 
$$zz'=rr'[(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+i(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta')]$$ 
%\end{enumerate}
Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition (vu en première), vous en déduisez que 
$$zz'=rr'(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta'))$$
Ainsi, nous arrivons au résultat capital : $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') [2\pi]$
%\begin{enumerate}
 \item $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)+\arg(z)=\arg(\dfrac{1}{z}\times z)=\arg(1)=0 \,[2\pi]$, donc 
$\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z) \, [2\pi]$\\
Alors $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg\left(z\times\dfrac{1}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')[2\pi]$
%\end{enumerate}
%}
%\DemS{
%\begin{enumerate}
 \item Montrons déjà par récurrence la propriété sur les entiers naturels. Soit $\mathscr{P_n} : \arg(z^n)=n\times \arg(z)[2\pi]$.
\begin{itemize}
 \item Initialisation :\\
Si $n=0$ alors $\arg(z^0)=\arg(1) = 0 \, [2\pi]$. Donc $\mathscr P_0$ est vraie.
 \item Hérédité : Supposons qu'il existe un $k\in\N$ tel que $\mathscr P_k$ soit vraie. Montrons que $\mathscr P_{k+1}$ l'est,
 ie $\arg\left(z^{k+1}\right)=(k+1)\times \arg(z)[2\pi] $.
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(z^{k+1}\right)&= & \arg(z \times z^k ) \, [2\pi] \\
 & = & \arg(z) + \arg(z^k) \, [2\pi] \qquad \textrm{ d'après 4)} \\
 & = & \arg(z) + k\arg(z) \, [2\pi] \qquad \textrm{ (HR) }\\
 & = & (k+1) \arg(z) \, [2\pi]
\end{eqnarray*}
Donc $\mathscr P_{k+1}$ est vraie et $\mathscr P_n$ est héréditaire.
 \item Conclusion $\mathscr P_n$ est vraie pour tout $n\in\N$.
\end{itemize}
Enfin, montrons la propriété $\forall n \in \Z$. Si $n<0$, alors 
$$ \arg(z^n)=\arg\left(\dfrac{1}{z^{-n}}\right)=\arg\left(\left(\dfrac{1}{z}\right)^{-n}\right)
=-n\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=n \arg(z)[2\pi]$$
\end{enumerate}
}

\Rqs{
\item Les formes algébriques sont pratiques pour les additions
\item Les formes trigonométriques sont pratiques pour les multiplications :
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] \textbf{Pour multiplier} deux nombres complexes \textit{non nuls}, on \textbf{multiplie les modules} et on \textbf{additionne les arguments}.
\item[\textbullet]  \textbf{Pour diviser} deux nombres complexes \textit{non nuls}, on \textbf{divise les modules} et on \textbf{soustrait les arguments}
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item Déterminer une forme trigonométrique de $z=\dfrac{1}{1+i}$ et 
 de $z'=(1+i)\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{4}\right)$
 \item Déterminer une forme trigonométrique de $z=-2 \sqrt{3}+2i$ puis de $z'=3-4i$.\\
 En déduire une forme trigonométrique de $zz'$ et de $ \dfrac{z}{z'}$  
 \item Soit $z=3\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$ et 
$z'=2\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$. Calculer $zz'$.
 \end{itemize}
}


\begin{ExoF}
Déterminer une forme trigonométrique de $ \dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}$ 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct 
$(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$, on considère l'application $f$ du plan dans 
lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=z^2-4z$
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ et $B$ les points d'affixes :
$$ z_A=1-i\qquad \qquad \text{et}\qquad \qquad z_B=3+i$$
\begin{enumerate}
\item Calculer les affixes des points $A'$ et $B'$, images des points $A$ et $B$ par $f$.
\item On suppose que deux points ont la même image par $f$.\\
Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera.
\end{enumerate}
\item Soit $I$ le point d'affixe $-3$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $OMIM'$ est un parallélogramme si, et seulement si, $z^2-3z+3=0$
\item Résoudre l'équation $z^2-3z+3=0$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer $(z'+4)$ en fonction de $(z-2)$.\\ 
En déduire une relation entre  $|z'+4|$ et $|z-2|$, puis entre $\arg(z'+4)$ et $\arg(z-2)$.
\item On considère les points $J$ et $K$ d'affixes respectives $z_J=2$ et $z_K=-4$.\\
Démontrer que tous les points $M$ du cercle $\mathscr C$ de centre $J$ et de rayon $2$ ont leur image $M'$ sur un même cercle que l'on déterminera.
\item Soit $E$ le point d'affixe $z_E=-4-3i$. Donner la forme trigonométrique $z_E+4$ et à l'aide du $3)(a)$ démontrer qu'il existe deux points dont l'image par $f$ est le point $E$. Préciser sous forme algébrique l'affixe de ces deux points.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\subsection{Notation Exponentielle}

\noindent On note $f$ la fonction qui à tout réel $\theta$, associe le nombre complexe 
$z=\cos\theta + i\sin\theta$.\hfill 
Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$ on a :
\begin{eqnarray*}
f(\theta + \theta')&=& \cos\left(\theta + \theta'\right) + i \sin\left(\theta + \theta' \right)\\
&=& \left(\cos\theta + i\sin\theta \right) \times \left(\cos\theta'+i\sin\theta'\right) \qquad \text{ car } \arg(z)+\arg(z')=\arg(zz')\, [2\pi]\\
&=&f(\theta) \times f(\theta')
\end{eqnarray*}
Ainsi, $f$ transforme les sommes en produit et on retrouve la même propriété algébrique que pour la 
fonction exponentielle.
Pour cette raison, on adopte la \textbf{notation} $e^{i\theta}=\cos\theta + i \sin\theta$, qui s'avèrera
fort commode pour les calculs.


\begin{defi}
Pour tout réel $\theta$ on note :
$$e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin\theta$$
le nombre complexe de module 1 et d'argument $\theta$.\\
Ainsi, tout nombre complexe $z$ non nul, de module $r$ et d'argument $\theta$ admet une écriture du 
type $ z=re^{i\theta}$, appelée \textbf{forme exponentielle} de $z$.
\end{defi}

\Rqs{
 \item Cette écriture n'est pas unique puisqu'elle dépend de l'argument choisi.
 \item Il s'agit d'une notation, pas du calcul de $e^{i\theta}$ ...
 %\item Cette notation n'est pas aléatoire. Elle pourra être justifiée dans le chapitre sur la fonction exponentielle.
\item Remarquons que cette écriture présente de nombreux avantages, 
en plus d'alléger la notation trigonométrique. \\
En effet, considèrons deux nombres complexes $z$ et $z'$ 
de module $r$ et $r'$ et d'argument $\theta$ et $\theta'$, alors on a vu que le module de $zz'$ 
est $rr'$ et l'argument de $zz'$ est $\theta+\theta'$. Observons le calcul suivant :
$$ zz'=re^{i\theta}r'e^{i\theta'}=rr'e^{i\theta+i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}$$
On retrouve donc le module et l'argument du nombre complexe $zz'$ en utilisant les règles de calculs sur les puissances.
%\item On a bien : 
%$|e^{i\theta}|=1$ et $\arg(e^{i\theta})=\theta[2\pi]$
}

\Expls{
$$e^{i0}=\cos 0+i\sin 0=1 \qquad \qquad \qquad e^{i \frac{\pi}{2} }=\cos \dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}=i $$ 
$$e^{2i\pi}=\cos 2\pi+i\sin2\pi=1 \qquad \qquad \qquad e^{-i \frac{\pi}{2} }=\cos \dfrac{-\pi}{2}+i\sin \dfrac{-\pi}{2}=-i $$ 
Dans le plan complexe, placer les points suivants :
$$A\left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)
\qquad B\left(-2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)
\qquad C\left(e^{-5i\frac{\pi}{6}}\right)
\qquad D\left(1+e^{-i\frac{\pi}{3}}\right)$$ 
}

\Rq{Le conjugué de $e^{i\theta}$ est $ \overline{e^{i\theta}}=\cos \theta-i\sin\theta=\cos \theta+i\sin(-\theta)=\cos\left(-\theta\right)+i\sin(-\theta)= e^{-i\theta}$}


\begin{prop}
$\forall \theta$ et $\theta'$ de $\R$ on a :
$$ e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}\qquad \qquad
 \dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}\qquad \qquad \left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}
\text{ pour tout }n\in\Z$$ 
\end{prop}


\Dem{
Simple transcription des propriétés vues sur les arguments.
}

\begin{ExoC}
  \begin{itemize}
   \item Soient $z=3e^{i \frac{3\pi}{4} }$ et $z'=5e^{i \frac{\pi}{12} }$, 
   donner une forme exponentielle de $zz'$ et de $ \dfrac{z}{z'}$ 
\item On note $z_1=1+i$ et $z_2=\sqrt{3}-i$. Déterminer les formes exponentielles 
de $z_1$ et $z_2$.\\
 En déduire la forme exponentielle du nombre complexe $z=\dfrac{z_1^4}{z_2^3}$
\item Calculer $(1+i)^{14}$
 \item Déterminer le module de $z=e^{i\theta}$ et puis $z=-3e^{i\theta}$
 \item Déterminer la forme algébrique de $z=2e^{-i\frac{\pi}4}$ ainsi que le module et un argument de $-z$.
  \end{itemize}
\end{ExoC}


\underline{Enigme} \footnote{Réponse : La relation $\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}$ n'est valable que si $n\in\Z$} : Trouver l'erreur dans le calcul suivant :
\begin{eqnarray*}
& e^{i2\pi}=1\\
\Longleftrightarrow & \left(e^{i2\pi}\right)^x=1^x=1\\
\Longleftrightarrow & e^{i2\pi x}=1\\
\text{ pour $x=\dfrac{1}{4}$ on obtient : }& e^{i \dfrac{\pi}{2}}=1\\
\text{ d'où : }& i=1\\
\end{eqnarray*}


\begin{ExoF}
Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants :
\quad $ z_1=-\sqrt{3}+i\qquad \text{et}\qquad z_2=e^{-i\frac{\pi}{6} }\times z_1^2$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans le plan complexe, placer les points $A\left(2e^{i\frac{\pi}3}\right)$, $B\left(-e^{i\frac{\pi}6}\right)$,
$C(-z_A \times z_B)$ et $D\left(-\dfrac{z_B}{z_A}\right)$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Déterminer les formes algébriques de chacun des nombres complexes suivants :
 \begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
  \item $z_1=e^{i\frac{\pi}3}+e^{i\frac{\pi}6}$
  \item $z_2=2-i+3e^{i\pi}$
  \item $z_3=-2ie^{i\frac{\pi}3}$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Soit les nombres complexes :
 $$z_1=\sqrt{2}+i\sqrt{6} \qquad\qquad z_2=2-2i \qquad\text{et}\qquad Z=\dfrac{z_1}{z_2}$$
 \begin{enumerate}
  \item Ecrire $Z$ sous forme algébrique.
  \item \begin{enumerate}
         \item Déterminer le module et un argument de chacun des nombres $z_1$ et $z_2$.\\
         Les écrire alors sous forme exponentielle.
         \item En déduire le module et l'argument de $Z$.
         \item Déterminer les valeurs de $\cos\dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{12}$.
        \end{enumerate}
 \item Dans le plan complexe d'unité graphique 2 cm, placer dans l'ordre les points $B(z_2)$, $A(z_1)$ et $C(Z)$
 à la règle et au compas.
 \item Ecrire sous forme algébrique le nombre $Z^{2014}$.
 \end{enumerate}

\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère le nombre complexe \quad $ z=1-\sqrt{3}+i(1+ \sqrt{3})$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $z^2$ sous forme algébrique
\item Déterminer le module et un argument de $z^2$
\item Indiquer le signe de la partie réelle de $z$ et celui de la partie imaginaire, puis, à l'aide des propriétés sur le module et l'argument, déterminer le module et un argument de $z$.
\item Déduire de ce qui précède $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12}$ puis $\cos \dfrac{\pi}{12}$ puis $\sin \dfrac{\pi}{12}$
\item Comparer avec les valeurs trouvées à l'exercice précédent.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 67-71-\textbf{76-84} p 244
\end{ExoL}

\newpage
\section{Applications géométriques}
\subsection{Distance}
\begin{act}
Notons que si $a=x_A+iy_A$ et $b=x_B+iy_B$ sont les affixes respectives de deux points $A$ et $B$ alors
$$ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=|z_{\overrightarrow{AB}}|=\mid b-a\mid $$
Utilisons cela pour déterminer des lieux géométriques, ie des lieux où un point $M$,
d'affixe $z$ satisfaisant à une condition initiale, se situe.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que : 
$$|z-3+4i|=5$$
\textit{Pour cela, considérer le point $B(3-4i)$ et traduire l'égalité en termes géométriques.}
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels que :
$$ \mid z-2-6i\mid=\mid z+1+i\mid$$
\textit{Pour cela, considérer deux points $A$ et $B$ d'affixes judiscieusement choisies puis interpréter
l'égalité.}
\end{enumerate}
\end{act}


\Cadre[Caractérisation des cercles et des médiatrices]
{\begin{itemize}
 \item Soit $ \mathscr C$ le cercle de centre $\Omega(\omega)$ et de rayon $R$.
$$M(z) \in \mathscr C \Longleftrightarrow \Omega M = R \Longleftrightarrow |z-\omega| = R$$
 \item Soit $\Delta$ la médiatrice d'un segment $[AB]$ avec $A(a)$ et $B(b)$.
$$M(z) \in\Delta \Longleftrightarrow MA=MB \Longleftrightarrow |z-a|=|z-b|$$
\end{itemize}
}

\begin{ExoC}
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telles que :
$$ \mid z-3i\mid=2$$
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telles que :
$$ \mid z-2\mid=\mid 2z+i\mid$$
\end{enumerate} 
\end{ExoC}



\Sol{\begin{enumerate}
\item En considérant le point $C$ d'affixe $z_C=3i$ on obtient :
$$  \mid z-3i\mid=2\Longleftrightarrow  \mid z-z_C\mid=2\Longleftrightarrow CM=2$$
L'ensemble recherché est donc le cercle de centre $C$ et de rayon $2$.
\item En considérant les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=2$ et $z_B=-\dfrac{i}{2}$ on obtient :
$$ \mid z-2\mid=\mid 2z+i\mid \Longleftrightarrow  \mid z-2\mid=\mid 2\left(z-z_B\right)\mid\Longleftrightarrow\mid z-z_A\mid=2\mid z-z_B\mid\Longleftrightarrow MA=2MB$$
Pour conclure on utilisera la méthode générale rappelée ci-après.
\end{enumerate}
}



\subsection{Angles}
\begin{act}
 Rappelons que si $A$ et $B$ sont deux points distincts du plan complexe d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$ 
 alors :
$$ \left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{AB}\right)= \arg(z_A-z_B) \quad [2\pi]$$
Utilisons cela pour déterminer des propriétés géométriques.
\begin{enumerate}
 \item Sur un exemple : on donne $A(1)$ et $B(2,i \sqrt{3})$. Déterminer une mesure de l'angle 
 $\left(e_1;\overrightarrow{AB}\right)$. 
 \item En général : 
 \begin{enumerate}
 \item Démontrer que pour tous points  $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$  et $D(d)$ du plan complexe, deux à deux 
 distincts on a  :
$$ \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)=\arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right) \quad[2\pi]$$
\item En déduire une condition nécéssaire et suffisante sur $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que $(AB) \perp (CD)$
\item En déduire une condition nécéssaire et suffisante sur $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que $(AB) // (CD)$
\item En déduire une condition nécéssaire et suffisante sur $a$, $b$ et $c$ pour que $A$, $B$ et $C$ soient alignés
\end{enumerate}
\item Application : \\
On donne $A(5+3i)$ et $B(5-8i)$. Le triangle $OAB$ est-il rectangle en $O$ ?
\end{enumerate}
\end{act}

\begin{prop}
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan distincts deux à deux, d'affixes respectives 
$a$, $b$, $c$ et $d$. Alors : 
$$\left|\dfrac{d-c}{b-a}\right|=\dfrac{CD}{AB} \qquad \textrm{ et } \qquad
\arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right) = \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD} \right) \quad [2\pi]$$
\end{prop}

\Dem{
$\left|\dfrac{d-c}{b-a}\right|=\dfrac{|d-c|}{|b-a|}=\dfrac{CD}{AB}$.\\\\
$\arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right)=\arg(d-c)-\arg(b-a)=\left(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{CD}\right) -
\left(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{AB}\right)=\left(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{CD}\right) +\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{e_1}\right)  
=\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) \, [2\pi]
$}

\Cadre[Conséquences]{
 Avec les mêmes notations et ($A$, $B$ et $C$ distincts) :\\
\begin{tabular}{rclcl}Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés & $ \Longleftrightarrow $ &
$\arg\left(\dfrac{b-c}{a-c}\right) = 0 \, [\pi] $ 
& $\Longleftrightarrow$ &  $\dfrac{b-c}{a-c} \in \R$ \\\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires  & $\Longleftrightarrow$ &
$\arg\left(\dfrac{d-c}{b-a}\right) = \dfrac{\pi}{2} \, [\pi]$ 
&$\Longleftrightarrow$ & $\dfrac{d-c}{b-a} \in i\R$
 \end{tabular}
}

\begin{ExoC}
Soit $z$ un nombre complexe différent de $1$ et $M$ son point image dans le plan complexe. 
On pose $Z=\dfrac{z+i}{z-1}$.
Déterminer l'ensemble :
\begin{itemize}
 \item $\mathscr E$ des points $M$ tel que $Z\in\R$.
 \item $\mathscr F$ des points $M$ tel que $|Z|=1$.
 \item $\mathscr G$ des points $M$ tel que $\arg(Z)=\dfrac{\pi}{2}\, [2\pi]$.
\end{itemize}
\end{ExoC}

\begin{propo}
Dans le plan complexe, on considère le cercle $\mathscr C$ de centre $\Omega(\omega)$ et de rayon $r$ et un point
$M$ d'affixe $z$. Alors : 
$$M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow z=\omega + re^{i\theta} \qquad \textrm{avec} \quad \theta \in[0;2\pi[$$
\end{propo}

\Dem{
On sait que $M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow M\Omega = r \Longleftrightarrow |z-\omega | = r$.\\
On appelle $\theta$ une mesure de $\left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{\Omega M} \right)$. Alors 
$\theta=\arg(z-\omega)$ et donc :
$$M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow z-\omega  = re^{i\theta} \iff z=\omega+re^{i\theta}$$
}

\Rq{Cette égalité est appelée équation paramétrique du cercle $\mathscr C$.
}

\Expl{L'ensemble des points d'affixes $z=4i+2+3e^{i\theta}$ avec $\theta \in[0;2\pi[$ représente 
le cercle de centre $\Omega(4i+2)$ et de rayon $3$.
}

\begin{ExoF}
 Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv  .\\
 On désigne par $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z_A=1$ et $z_B=-i$.\\
On appelle $C$ le point tel que le triangle ABC soit équilatéral direct, ie tel que 
$\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)=+\dfrac{\pi}{3}$.\\
Placer le point $C$ à la règle et au compas, puis déterminer son affixe exacte par le calcul. 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$, $S$ et $T$ d'affixes respectives :
 $$a=-2+4i \qquad b=-4+2i \qquad c=4+2i \qquad d=-2+2i+6e^{i\dfrac{\pi}{2}} \qquad s=5\sqrt{2}e^{i\dfrac{3\pi}{4}} \qquad t=-2+2i$$
 \begin{enumerate}
  \item Placer ces points et compléter la figure au fur et à mesure de l'exercice.
  \item Pour chacune des questions suivantes, expliquer la méthode pour y répondre (mais il est inutile d'y répondre)
  \begin{enumerate}
   \item   Montrer que les points $A$, $B$ $C$ et $D$ sont cocycliques.
  \item Montrer que la droite $(ST)$ est la médiatrice du segment $[AB]$
  \item On considère les points $P$ et $Q$, milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[BD]$.\\
  Déterminer $p$ et $q$ les affixes respectives des points $P$ et $Q$.
  \end{enumerate}
  \item On a calculé \quad  $\dfrac{t-p}{q-s}=-\dfrac12 i$ \quad et \quad $\dfrac{d-c}{b-a}=3$ \quad  
  Que peut-on en déduire ?
  \item Que représente le point $T$ pour le triangle $PQS$ ? Le démontrer. \quad \textit{On donne $p=1+3i$ et $t=-3-i$}.
  \item Déterminer l'affixe $r$ du point $R$ tel que $ABSR$ soit un parallélogramme.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier votre choix.\\
 On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct.
 \begin{enumerate}
  \item Soit $z$ une nombre complexe d'argument $\dfrac{\pi}3$.\hfill
  \textbf{Proposition :} $z^{100}$ est un nombre réel
  \item Soit $\mathscr F$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que $|z|=|1-z|$.\\
  \textbf{Proposition :} $\mathscr F$ est une droite parallèle à l'axe des réels.
  \item On considère l'ensemble $\mathscr G$ des points $M$ d'affixe $z=1-2e^{i\alpha}$ avec $\alpha \in[0;\pi]$\\
  \textbf{Proposition :} $\mathscr G$ est inclus dans un cercle de rayon 2.
  \item Avec les mêmes notations qu'au 3. \hfill 
  \textbf{Proposition :} Le point $A(1+2i)$ est un point de $\mathscr G$
  \item On donne l'équation $(E)$ suivante : $z^2-2z\cos\dfrac{\pi}7 +1=0$\\
  \textbf{Proposition : }$(E)$ admet deux solutions complexes de modules égaux à 1.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
On désigne par $I$, $A$ et $B$ les points d’affixes respectives $z_I=1$, $a=2i$ et $b=3 + i$.
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
 \item Calculer l’affixe $c$ du point $C$ image de $A$ par la symétrie de centre $I$.
 \item Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe $\dfrac{c-b}{a-b}$\\
En déduire le module et un argument de ce nombre ; ainsi qu’une interprétation
géométrique.
 \item Soit $D$ le point d’affixe $d$ telle que $d-c = a-b$, montrer que $ABCD$ est
un carré.
 \item Pour tout point $M$ du plan, on considère le vecteur 
 $\vec u =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $\vec u$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{MI}$
% \item Montrer que le point $K$ défini par $\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{KD} = 2 \overrightarrow{AB}$
 %est le milieu du segment $[AD]$.
 \item Déterminer l’ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tel que : $||\vec u||=2||\overrightarrow{AB}|| $.\\
Construire $\Gamma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ \textbf{77}-80-81-\textbf{85-86}-87\textbf{88-89-93}-94 p 245
\end{ExoL}

\newpage
\subsection{Mémo sur les triangles}

$ABC$ est un isocèle de sommet principal $A$ si et seulement si $AB=AC$ donc :
\begin{prop}[Triangle Isocèle]$ABC$ est isocèle de sommet principal $A$ 
$ \Longleftrightarrow \mid z_B-z_A\mid=\mid z_C-z_A\mid \Longleftrightarrow 
\left| \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right|=1  $ 
\end{prop}

Pour les triangles équilatéraux, on peut évidemment procéder comme ci-dessus pour l'égalité de 3 côtés. 
Mais voyons plutôt une autre caractérisation
que l'on retrouve parfois dans les exercices de bac et qu'il faut savoir reconnaître.\\

$ABC$ est un équilatéral si et seulement si il est isocèle avec un angle de $\dfrac{\pi}3$ donc :
\begin{prop}[Triangle équilatéral]$ABC$ est équilatéral de sommet principal $A$ 
$ \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
			  \left| \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right|=1 \\
			  \arg\left( \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right)=\dfrac{\pi}3 \quad [2\pi] 
                             \end{array}\right.
 $ 
\end{prop}


Pour les triangles rectangle, on peut encore parler distance grâce au théorème de Pythagore 
$$|z_C-z_B|^2=|z_B-z_A|^2+|z_C-z_A|^2$$
ou travailler sur l'angle droit : mais c'est l'angle géométrique qui nous intéresse, donc
nous travaillerons modulo $\pi$ 
$$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{e_1}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right)=-\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right)=-arg(z_{\overrightarrow{AB}})+arg(z_{\overrightarrow{AC}})=arg\left(\frac{z_{\overrightarrow{AC}}}{z_{\overrightarrow{AB}}}\right)=arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) $$ 

\begin{prop}  
$ABC$ est rectangle en $A$ $ \iff \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\pi}{2}\quad [\pi]\Longleftrightarrow
  \arg\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\frac{\pi}{2}\quad [\pi] \iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$
\end{prop}

\newpage
\subsection{Mémo : Lieux de points typiques}

%Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan.\\
On cherche le lieu géométrique des points $M(z)$ tels que :

\begin{enumerate}
 \item $|z-z_1|=k$, avec $k\in\R$ : 
 \begin{itemize}
  \item On pose $A(z_1)$ et dans ce cas : \quad $|z-z_1|=k \iff AM=k$. 
 \item Donc, les points $M$ cherchés sont tous ceux situés à une distance $k$ du pont $A$.\\ 
 \item \begin{minipage}{8cm}
Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est :
 \end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
 \begin{itemize}
  \item[\textbullet] Si $k>0$ : \textbf{le cercle de centre $A$ et de rayon $k$ }
\item[\textbullet] Si $k=0$ : le point $A$
 \item[\textbullet] Si $k<0$ : l'ensemble vide
\end{itemize}
\end{minipage}
 \end{itemize}
 
\item $|z-z_1|=|z-z_2|$ :
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas \quad  $|z-z_1|=|z-z_2| \iff MA=MB$.
 \item Donc les points $M$ cherchés sont tous ceux situés à égale distance de $A$ et $B$. 
 \item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{la médiatrice du segment $[AB]$}
\end{itemize}

\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=\pi \quad [2\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=0 \quad [2\pi] 
% &\iff& \arg(z-z_1)-\arg(z-z_2) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = \pi \quad [2\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \pi \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre.
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{le segment $[AB]$ privé de $A$ et $B$. }\\
\textit{on enlève les points  $A$ et $B$, car sinon l'argument n'est pas défini}
\end{itemize}


\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=0 \quad [2\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=0 \quad [2\pi] 
% &\iff& \arg(z-z_1)-\arg(z-z_2) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = 0 \quad [2\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc les points $M$, $A$, $B$ sont alignés dans cet ordre. 
ou dans l'ordre $A$, $B$, $M$.
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{la droite $(AB)$ privée du segment $[AB]$. }
\end{itemize}


\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=0 \quad [\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=0 \quad [\pi] 
% &\iff& \arg(z-z_1)-\arg(z-z_2) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [2\pi] \quad \text{ ou }
\quad \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \pi \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc les points $M$, $A$, $B$ sont alignés (peu importe l'ordre).
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{la droite $(AB)$ privée de $A$ et $B$. }\\
\textit{On enlève les points $A$ et $B$, car sinon l'argument n'est pas défini}
\end{itemize}


\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=\dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=\dfrac{\pi}{2} \quad [\pi] 
% &\iff& \arg(z-z_1)-\arg(z-z_2) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \pm\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc le triangle $MAB$ est rectangle en $M$ (de sens direct ou indirect).
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{le cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$. }\\
\textit{On enlève les points $A$ et $B$, car sinon l'argument n'est pas défini}
\end{itemize}

\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi] 
% &\iff& \arg(z-z_1)-\arg(z-z_2) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc le triangle $MAB$ est rectangle en $M$ de sens direct.
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{le demi-cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$ et 
tel que $MAB$ soit direct.}\\
\textit{On enlève les points $A$ et $B$, car sinon l'argument n'est pas défini}
\end{itemize}

\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=-\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=-\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi] 
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc le triangle $MAB$ est rectangle en $M$ de sens indirect.
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{le demi-cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$ et 
tel que $MAB$ soit indirect.}\\
\textit{On enlève les points $A$ et $B$, car sinon l'argument n'est pas défini}
\end{itemize}


\item $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$, avec $A$ et $B$ deux points du plan complexe.
\begin{itemize}
 \item Les points $M$ cherchés sont ceux tels que le triangle $MAB$ soit rectangle en $M$ (direct ou indiret)
 \item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est \textbf{le cercle de diamètre $[AB]$ }.
\end{itemize}

\end{enumerate}

%\Rq{Un angle orienté n'est défini que si les deux vecteurs ne sont pas nuls. C'est pourquoi les points $A$ et $B$ doivent être retirés
% le cas échéant, des ensembles ci-dessus.
%}




\begin{epigraphe}
{" J'étais en train de marcher le long de la route avec deux amis - le soleil se couchait - 
soudain le ciel devint rouge sang – j'ai fait une pause, me sentant épuisé, et me suis appuyé contre la grille 
- il y avait du sang et des langues de feu au-dessus du fjord bleu-noir et de la ville - mes amis ont continué à marcher, 
et je suis resté là tremblant d'anxiété - et j'ai entendu un cri infini déchirer la Nature"}
{Munch}{Edvard} 
\end{epigraphe}

%\begin{center}
 \noindent \includegraphics[scale=0.45]{cri.eps}
\includegraphics[scale=0.5]{edvard-munch-01.eps}
\includegraphics[scale=0.3]{Film.eps}\\\\
\includegraphics[scale=0.251]{munch_enfant_malade.eps}
\includegraphics[scale=2.27]{vampire-1895.eps}
%\end{center}

Dans l'ordre : \vspace{-5mm}
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
 \item \textit{Le cri} (1893)
 \item \textit{L'enfant malade} (1885-86) \\
 \item \textit{?}\\\\
 \item \textit{Film de Peter Watkins} (1973)
 \item \textit{Le vampire} (1893-95)
\end{itemize}

\end{multicols}

\newpage
\section*{Annexe : Construction du corps des nombres complexes (Hors programme)}
\noindent Faute d'outils plus rigoureux 
\footnote{Vous les verrez peut-être un jour$\dots$En général on définit un nombre réel comme étant la 
limite d'une suite d'approximations par des rationnels.} 
on vous a présenté l'ensemble des nombres réels comme étant les abscisses des points d'une droite graduée. 
Additionner et multiplier des réels, c'est donc comme \og compter en dimension 1 \fg.\\
Vous utilisez depuis l'école primaire ces nombres et leurs opérations usuelles associées, 
addition et multiplication sans trop vous poser de questions. Mais elles vérifient les propriétés particulières 
suivantes :  \footnote{Lorsque un ensemble possède ces propriétés et quelques autres, on dit que c'est un corps. Certains de vos parents ont 
étudié la notion de corps en classe de $4^{ème}$, cette étude se fait désormais après le lycée$\dots$ $\Q$ est aussi un 
corps mais ce n'est pas le cas de $\Z$ ni de $\N$ (pas d'inverse pour la multiplication)} :\\
Pour tous réels $x$, $y$ et $z$ :
\begin{itemize}
\item L'addition est associative : $x+y+z=(x+y)+z=x+(y+z)$ et commutative $x+y=y+x$
\item L'addition possède un élément neutre noté $0$ : $x+0=0+x=x$
\item La somme de deux réels est encore un réel.
\item Chaque élément $x$ admet un opposé noté $-x$ vérifiant $x+(-x)=(-x)+x=0$
\item La multiplication est associative 
\item La multiplication possède un élément neutre noté $1$ : $x\times 1=1\times x=x$
\item Le produit de deux réels est encore un réel.
\item Chaque réel $x\neq 0$ admet un inverse noté $x^{-1}$ vérifiant $x\times x^{-1}=x^{-1}\times x =1$
\item La multiplication est distributive sur l'addition $x(y+z)=x\times y+x\times z$
\end{itemize}
Tout ceci est bien naturel et bien pratique pour compter. Maintenant, on voudrait faire le même travail en dimension $2$
 i.e pouvoir calculer avec des couples de nombres du style $(x;y)$. \\

\noindent On note l'ensemble de ces couples $\R^2$, et on souhaite définir des opérations de manière à faire de $\R^2$ un corps. 
On définit alors l'addition comme suit :
$$ (x;y)+(x';y')=(x+x';y+y')$$
On vérifie aisément que cette opération est associative, commutative, admet un élément neutre $(0;0)$, 
la somme de deux éléments de $\R^2$ est encore un élément de $\R^2$ et tout élément $(x;y)$ admet un opposé $(-x;-y)$. \\

\noindent Définissons maintenant la multiplication ! On a envie de la définir de la manière suivante :
$$ (x,y)\times (x';y')=(xx';yy')\qquad \text{avec $(1;1)$ comme élément neutre}$$
\underline{Problème : } L'inverse de $(x;y)$ est $\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y}\right)$ ce qui veut dire tous 
les couples du type $(x;0)$ avec $x\neq 0$ n'admettent pas d'inverse. Or on voudrait que seul le couple
$(0;0)$ n'admettent pas d'inverse. Il faut donc changer de définition$\dots$\\

\noindent On décide d'adopter la définition suivante, moins naturelle :
$$ (x;y)\times (x';y')=(xx'-yy';xy'+x'y)$$
On vérifie aisément que cette opération est associative, admet un élément neutre $(1;0)$, 
le produit de deux éléments de $\R^2$ est encore un élément de $\R^2$ et tout élément $(x;y)\neq (0;0)$
admet un inverse. Nous voici donc avec un nouveau corps. \\

\noindent  Il est temps d'établir le lien entre $\sqrt{-1}$ et $\R^2$ tel qu'on l'a construit. On remarque que : 
$$ (0;1)^2=(0;1)\times(0;1)=(0-1;0+0)=(-1;0)$$
$(0,1)$ est alors le nombre que l'on a noté $i$, et $(-1;0)$ c'est $-1$, et on a alors $i^2=-1$. \\

\noindent Pour mieux comprendre, imaginons l'ensemble des réels comme une droite graduée 
(ici représenté par l'axe des abscisses), ajoutons-y un axe des ordonnées pour passer en dimension $2$, 
alors le réel $-1$ est associé au point de coordonnées $(-1;0)$, et le nombre dont la racine carré est $-1$ est 
lui associé au point de coordonnée $(1;0)$. Nous notons $i=\sqrt{-1}$  pour
qu'il fasse moins peur. On remarque qu'en  particulier,  tous   les  nombres  réels  sont  des  nombres
complexes : $\R\subset\C$. \\
Ainsi nous avons les correspondances 

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
Le   point   M   &$\longleftrightarrow$    &   Le   couple   $(x,y)$   &
$\longleftrightarrow$ & Le nombre complexe $x+iy$\\ 
$\updownarrow$ & &  $\updownarrow$ & & $\updownarrow$ \\
Le plan $\mathscr P$  & $\longleftrightarrow$ & $\R^2$ &$\longleftrightarrow$
& L'ensemble des nombres complexes 
\end{tabular}
\end{center}
L'ensemble des nombres complexes se note $\C$. La multiplication n'était pas naturelle dans $\R^2$, mais
observez  comme  les  calculs deviennent  faciles  dans $\C$ (pourtant équivalent) avec la règle $i^2=-1$ et en prolongeant
les règles de de calcul $\R$. 
$$(x+iy) + (x'+iy')= x+iy+x'+iy'=(x+x')+i(y+y')$$
comme nous avions $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$.\\
Et $(x+iy)\cdot(x'+iy')=xx'+ixy'+iyx'+i^2yy'$ mais n'oubliez pas que $i^2=-1$. Alors 
$$(x+iy)\cdot(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+yx')$$
comme nous avions $(x,y)\times (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')$, mais en plus simple. 
 \\
 

Dans ce chapitre, nous avons découvert ces nouveaux nombres et associer à chacun de ces nombres un point du
plan,  donc associer  des transformations du  plan à des  calculs dans
$\C$. Tout ceci nous permet de résoudre des problèmes de géométrie par le calcul, ce que nous approfondiront dans un 
deuxième chapitre...






\end{document}
