\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Une croissance exponentielle \linebreak de vos connaissances }  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 8}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
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\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\setcounter{NumLecon}{8}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

 
\Chacha{charles_schulz_1.eps}{Peanuts}{Charles Schulz}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston
 Moore (Sonic Youth)}{Peanuts
est le nom d'un comic strip écrit et dessiné quotidiennement, sans interruption et sans assistance par 
l'Américain Charles M. Schulz (1922 - 2000) d'octobre 19501 jusqu'à sa mort, en février 2000. 
Il aura écrit au total 17 897 strips dont 2 506 éditions du dimanche.\\
Peanuts est une série de gags qui tournent autour de deux personnages centraux, 
un garçon maladroit, malchanceux et déprimé, Charlie Brown et son chien, Snoopy. Le strip s'appuie sur le principe 
du running gag où les mêmes situations entre les personnages reviennent tout au long 
de la bande dessinée. De plus, chacun des personnages a ses particularités, ses obsessions et ses accessoires propres, 
qui ressurgissent chaque fois qu'ils apparaissent.\\
Le comic a été, à partir des années 1960 un succès planétaire. 
La popularité du strip et le nombre colossal de licences pour des publicités ou produits dérivés ont fait 
de Charles M. Schulz une des célébrités les plus riches du monde.
À la mort de Schulz, le comic était publié dans plus de 2 600 journaux, dans 75 pays différents 
et dans 21 langues. }{0.34}{0.7}{
 \item Découvrir une nouvelle fonction de référence
 \item Connaître ses propriétés
}


\TITRE{charles_schulz_2.eps}{0.6}

\begin{abstract}
De nombreux phénomènes physiques, biologiques, économiques ou autres sont modélisés 
par une fonction $f$ qui est proportionnelle à sa dérivée $f'$. (Par exemple, le phénomène de désintégration de 
noyaux radioactifs)\\
Nous allons ici nous intéresser à l'une des fonctions de ce type.\\
Plus particulièrement, que peut-on dire d'une fonction qui serait égale à sa dérivée ?\\
Nous connaissons déjà au moins une fonction égale à sa dérivée : la fonction nulle ! Mais cette fonction 
est sans intérêt. Notre objectif est d'en rechercher d'autres.
\end{abstract}




\section{Enquête sur les fonctions}

\subsection{Un problème de radioactivité}

\begin{act}
Le Radon est un gaz radioactif qui se désintègre avec le temps. On a pu observé qu'une quantité quelconque 
de tels noyaux diminue chaque jour d'environ $16.5\%$. \\
On aimerait connaître le temps de demi-vie du Radon, ie le temps nécessaire pour que la moitié
des atomes d'une quantité donnée de radon se soit désintégrée de façon naturelle.\\
\textbf{Partie A : Modélisation par une suite}\\
 Soit $R_n$ la quantité de radon au bout de $n$ jours, avec $n\in\N$.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $R_{n+1}$ en fonction de $R_n$ pour tout $n\in\N$. En déduire la nature de la suite $(R_n)$.
 \item Pour tout $n\in\N$, exprimer $R_n$ en fonction de $n$ et de $R_0$.\\
 En déduire la proportion $p_n$ de noyaux restants au bout de $n$ jours, pour tout $n\geq 0$.
 \item Déterminer à l'aide d'un tableau de valeurs le temps de demi-vie en jours du Radon.
\item Quelle critique pouvez-vous faire quant cette modélisation de la situation par une suite ?
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Modélisation par une fonction}\\
Soit $R(X)$ est la quantité de noyaux de Radon restant au bout de $X$ jours, 
et $p(X)$ la proportion de noyaux restant au bout de $X$ jours, avec $X\in\R^+$ dans les deux cas.\\
Il paraît alors assez naturel de faire l'hypothèse que $R$ et $p$ sont des fonctions continues sur $\R^+$, 
et que pour toute quantité initiale $R(0)$ de Radon, la quantité $R(X)$ de Radon restant au bout de $X$ jours,
est $R(X)=p(X)\times R(0)$, où $p(X)$ est un réel ne dépendant que de $X$. \\
On cherche alors à déterminer la forme d'une telle fonction $p$, si tant est qu'elle existe, 
pour répondre au problème donné.\\
Supposons déjà qu'une telle fonction $p$ existe. 
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Relation fonctionnelle}
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que pour tous réels $x$ et $y$ positifs on a 
 $$R(x+y)=p(x+y) \times R(0) \qquad \text{ et } \qquad R(x+y)=p(x) \times R(y)$$
  \item En déduire que  pour tous réels $x$ et $y$ positifs on a 
$$p(x+y)=p(x) \times p(y) \qquad (\ast)$$
\begin{center}
\textbf{$(\ast)$ s'appelle une relation fonctionnelle.\\
On dit que $p$ transforme les sommes en produits.}
\end{center}
  \item Connaissez-vous de telles fonctions ? Peuvent-elles être celle que l'on cherche ?
    \end{enumerate}
\textit{Vous remarquerez que l'on ne peut pas encore répondre à notre problème, qui semble plus compliqué que prévu. \\
Aussi allons-nous étudier en détails les éventuelles fonctions $f$ vérifiant la relation $(\ast)$
}
  \item \textbf{Vérification de la cohérence avec la partie A.}
  \begin{enumerate}
     \item En remplaçant $y$ par $0$ dans la relation $(\ast)$, vérifier que la valeur de $p(0)$ est 
  cohérente avec le contexte.
 \item Vérifier que l'expression de la proportion trouvée sur les entiers naturels dans la partie A,
 question 2, vérifie bien $(\ast)$ pour tous $n$ et $m$ entiers naturels.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\subsection{Etude de l'équation fonctionnelle : vers les primitives}
\begin{act}
On admet qu'il existe des fonctions $f$ définies sur $\R$, non constantes sur $\R$ 
vérifiant la relation suivante :
$$\text{Pour tous } x,y \in\R \quad \text{ on a } \quad f(x+y)=f(x)f(y) \qquad (\ast)$$
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Conséquences directes}
 \begin{enumerate}
  \item En remarquant que $x=\dfrac{x}2+\dfrac{x}2$, montrer que $f(x)\geq 0$ pour tout $x\in\R$.
  \item Démontrer que s'il existe un réel $a$ tel que $f(a)=0$ alors pour tout réel $x$, on a $f(x)=0$. \\
 En déduire que $f(x)>0$ pour tout $x\in\R$.
 \item Soit $x$ un réel quelconque. En remplaçant $y$ par une valeur bien choisie dans $(\ast)$ démontrer que
 $$f(0)=1 \qquad \text{puis que} \qquad f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$$
 \item En déduire que pour tous réels $x$, $y$ on a  \quad $f(x-y)=\dfrac{f(x)}{f(y)}$
 \item Montrer par récurrence que pour tout $x\in\R$ et pour tout $n\in\N$ on a $f(nx)=\left(f(x)\right)^n$.
 \item Montrer que si $f$ est continue en $0$ alors $f$ est continue sur $\R$.
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Equation différentielle}\\
Supposons de plus que $f$ est dérivable sur $\R$.\\
Soit $x$ un réel quelconque. On pose $g : y \mapsto f(x+y)$ définie sur $\R$. Ainsi, $g(y)=f(x+y)=f(x)f(y)$ pour tout
$y\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item En dérivant la fonction $g$ par rapport à sa variable $y$, montrer que $f'(x+y)=f(x) \times f'(y)$ pour tout $y\in\R$.
 \item En déduire que $f'(x)=k \times f(x)$ où $k$ est un réel non nul.
\begin{center}
\textbf{Ceci est vrai pour un réel $x$ quelconque, donc ceci est vrai pour tout $x\in\R$.
Ainsi la fonction $f$ cherchée, si elle existe, est proportionnelle à sa dérivée :
 $f'=kf$ avec $k\in\R^*$ \qquad $(\ast\ast)$.\\
}
\end{center}
\item Connaissez-vous des fonctions vérifiant $(\ast\ast)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\Rq{
$(\ast\ast)$ s'appelle une équation différentielle :
\begin{itemize}
 \item l'inconnue de ce type d'équation est une fonction, que l'on note habituellement $y$
 \item certaines dérivées de $y$ apparaissent dans l'équation
\end{itemize}
Par exemple $ y''(x)=3y'(x)+2y(x)+x $ est une équation différentielle. On s'autorise à la noter $y''=3y'+2y+x$
pour alléger l'écriture. \\
La résoudre revient à chercher toutes les fonctions $y$ vérifiant cette équation sur un domaine
(précisé dans l'énoncé, $\R$ sinon).
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item L'équation $y'=y$ est une équation différentielle, dont nous ne connnaissons pas encore de solution, mais nous
 allons nous ateler à la découvrir dans ce chapitre.
 \item L'équation $y'=x$ est une équation différentielle, dont nous savons que $y=\dfrac{x^2}{2} $ est une 
 solution, mais $y=\dfrac{x^2}2 + 37$ aussi. \\
 On dit ici que $y$ est une \textbf{primitive} de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x$.
 \item Ainsi, rechercher les primitives d'une fonction continue $f$ sur un intervalle $I$, c'est résoudre sur $I$ 
l'équation différentielle : $$y'=f(x)$$
Ce sont les seules équations différentielles que nous étudierons cette année.
\end{itemize}
}

\begin{ExoF}Trouver les fonctions solutions sur $\R$ des équations différentielles suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ y'=\sin x$
\item $y'=0$
\item $y''=0$
\item $y''=x$
\item $y'=5x(x^2+3)^4$
\item $y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\subsection{Etude de l'équation différentielle $f'=f$ : nécessité d'une condition initiale}


\begin{act}
Pour simplifier le problème, intéressons nous aux éventuelles fonctions non nulles dérivables sur $\R$ et
égales à leur dérivée, ie vérifiant l'équation différentielle $(E) : y'=y$.
\begin{enumerate}
\item Supposons qu'il existe une fonction $f$ solution de $(E)$. 
\begin{enumerate}
       \item Soit $\lambda\in\R$ et $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g=\lambda f$. \\
       Démontrer que $g$ est aussi solution de $(E)$
%\item Soit $g$ une fonction vérifiant aussi $g'=g$ sur $\R$. \\
%Montrer que $f+g$ vérifie la même condition. 
\item Conclure sur le nombre de solutions de $(E)$.
      \end{enumerate}
\item Supposons maintenant qu'il existe une fonction $f$ solution de $(E)$, et telle que $f(0)=1$. \\
Autrement dit, $f$ est dérivable sur $\R$ et 
vérifie les conditions :
$$ \left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right. \qquad (\ast)$$
%Montrons que si $f$ existe, alors elle est unique.
\begin{enumerate}
\item Soit $c$ la fonction définie sur $\R$ par  \quad $ c(x)=f(x)f(-x)$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $c(0)=1$
 \item Montrer que $c$ est dérivable sur $\R$ et que pour tout $x\in\R$ on a $c'(x)=0$.
 \item En déduire l'expression de $c$.
\end{enumerate}
 \item Montrer alors que $f$ ne s'annule pas sur $\R$.\\
\textit{A ce stade, vous avez peut-être l'impression de tourner en rond. 
En réalité, vous avez démontré des réciproques de l'activité 2.} 
\item Soit $g$ une fonction qui vérifie $(\ast)$ et $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h=\dfrac{g}{f}$ . \\
Reprendre le raisonnement de la question 2a) pour montrer que nécessairement $g=f$.
 \item Conclure sur le nombre de solutions de $(\ast)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\textit{Dans cette partie on vient de démontrer que s'il existe une solution à l'équation $y'=y$ 
alors il en existe une infinité.\\
Puis en imposant une condition initiale (ici $f(0)=1$, ce qui est logique si l'on veut avoir la relation 
fonctionnelle de notre problème initial) 
on a démontré que s'il existe une solution à $y'=y$ telle que $y(0)=1$ alors elle est unique.}




\subsection{Approche graphique par la méthode d'Euler}

\begin{act}
On cherche à construire de façon approchée la courbe représentative $\mathscr C_f$ d'une éventuelle 
fonction $f$, dérivable sur $\R$ et qui vérifie les conditions 
$$\left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right. \qquad (\ast)$$
\textit{Notons que l'on ne sait toujours pas si une telle fonction existe, mais si l'on arrive à tracer 
une courbe représentative, il sera alors assez légitime de considérer qu'une telle fonction existe bien.}\\\\
Comme on ne connait pas $f$, on ne peut pas déterminer l'ordonnée d'un point $M$ de la courbe ayant pour 
abscisse $x$.\\
On utilisera donc la méthode d'Euler pour approximer sa position. Elle consiste à dire qu'en un point d'abscisse
$x$, une courbe est assimiliable à sa tangente aux environs de ce même point.
\begin{enumerate}
\item Construire un repère orthonormé d'unité graphique $10$ cm pour $x\in[-0.1;2]$.\\
\textit{On rappelle que la fonction $f$ est positive, il est donc inutile de prévoir de la place sous l'axe des 
abscisses ...}
\item Quel est le seul point que l'on connait situé sur $\mathscr C_f$ ?\\
\textit{On prendra donc ce point comme référence dans toutes les questions suivantes.}
\item \textbf{Avec un pas de $1$}
\begin{enumerate}
 \item Quel est le coefficient directeur de la tangente $T_0$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$ ?
 \item Tracer le segment porté par cette tangente pour $x\in[0;1]$.
  \item Si on assimile $\mathscr C_f$ à $T_0$, quelle approximation de $f(1)$ obtient-on ?
  \item En déduire une approximation du coefficient directeur de la tangente $T_1$ à $\mathscr C_f$ 
  au point d'abscisse $1$.
 \item Tracer le segment porté par $T_1$ pour $x\in[1;2]$. En déduire une approximation de $f(2)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $0.5$}
\begin{enumerate}
 \item Avec le tracé précédent, quelle approximation de $f(0.5)$ obtient-on ?
 \item Quelle approximation du coefficient directeur de la tangente $T_{0.5}$ à $\mathscr C_f$ 
 au point d'abscisse $0.5$ peut-on en déduire ?
 \item Tracer dans une autre couleur le segment porté par $T_{0.5}$ pour $x\in[0.5;1]$.\\
 Quelle nouvelle approximation de $f(1)$ obtient-on ?
 \item Continuer cette méthode avec un pas de $0.5$ pour obtenir une meilleure approximation de $f(2)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $0.25$}
\begin{enumerate}
 \item Avec le tracé précédent, quelle approximation de $f(0.25)$ obtient-on ?
 \item Quel approximation du coefficient directeur de la tangente $T_{0.25}$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0.25$ 
 peut-on en déduire ?
 \item En adaptant la méthode précédente, continuer vos calculs (sans arrondir !) et votre construction (dans une 
 troisième couleur) pour en déduire 
 une nouvelle approximation de $f(1)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $h>0$}
\begin{enumerate}
 \item En utilisant la méthode d'Euler, démontrer que 
  $$f(h)\simeq 1+h \qquad \qquad\qquad f(2h) \simeq (1+h)^2  \qquad \qquad\qquad f(3h) \simeq (1+h)^3$$
 \item Démontrer finalement par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a :
$$ f(nh)\simeq (1+h)^n $$
\item On pose $x=nh$. Démontrer que pour $n$ assez grand :
$$ f(x)\simeq \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$$
\textit{C'est la suite $(u_n(x))$ définie par \quad $ u_n(x)=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$ \quad qui
sert à démontrer rigoureusement l'existence de la fonction $f$, mais nous ne le ferons pas, rassurez-vous !}
\item A l'aide de la calculatrice, tracer les courbes des approximations de la fonction $f$ pour des valeurs 
de $n$ égales à $10$, $100$ et $1000$.
\item En prenant $n=1000$, donner une valeur approchée du nombre $f(1)\simeq \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$
\textit{Le nombre $f(1)$ est encore noté $e$. En fait on a : 
$$ e=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Conclusion} : \\
Cette fonction $f$ vérifiant les conditions \quad 
$\left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right.$ \quad est unique et est appelée \textbf{fontion exponentielle}.\\
On la note $\exp$. \\\\
On vient de voir à quoi ressemble sa représentation graphique. Nous verrons dans le cours
que cette fonction possède des propriétés remarquables, notamment évidemment, celle de transformer des \og sommes \fg{} 
en \og produits \fg{}, i.e :
$$ \forall x\in\R,\qquad \forall y\in\R \quad : \quad f(x+y)=f(x)f(y)$$
\end{act}


\newpage
\section{La fonction exponentielle}
\subsection{Définition et premières propriétés}

\begin{theo}[Définition]
Le problème différentiel :
 \quad $\left\{ \begin{array}{l} y'=y\\ y(0)=1  \end{array} \right.$ \quad 
admet une unique solution sur $\R$ appelée \textbf{fonction exponentielle} et noté $\exp$.\\
Ainsi 
$$ \exp(0)=1\qquad \text{et}\qquad \forall x \in \R \text{on a }  \exp'(x)=\exp(x)$$
\end{theo}


\Rq{Autrement dit il n'existe qu'une et une seule fonction $f$ dérivable sur $\R$ égale à sa dérivée qui vaut $1$ en $0$ }

\Dem{L'existance est délicate et admise.\\
L'unicité a été démontrée en activité.
}

\begin{prop}
\begin{enumerate}
%\item $\exp(0)=1$
%\item $\exp$ est dérivable sur $\R$ et $\forall x\in\R$ $\exp'(x)=\exp(x)$
 \item Pour tout réel $x$ on a $\exp(-x) \times \exp(x) = 1 \Longleftrightarrow \exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)} $
 \item Pour tout réel $x$ on a $\exp(x)\neq 0$
\item Pour tout réel $x$ on a :
$ \exp(x)>0$
\item La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$
\end{enumerate} 
\end{prop}

\Dem{\begin{enumerate}
%\item[\textbf{1. et 2.}] En effet puisque $\exp$ est solution du problème différentiel.
\item[\textbf{1. et 2.}] On a démontré dans l'activité 2 que si $f$ était solution du problème différentiel 
alors pour tout $x\in\R$ on a :
$$ f(x)f(-x)=1 $$
et par conséquent, comme $\exp$ est l'unique solution de ce problème, on a pour tout réel $x$ :
$$ \exp(x)\times \exp(-x)=1 \qquad \textrm{ et } \exp(x) \neq 0$$
\item[\textbf{3. et 4.}] On sait déjà que $\exp(0)=1 >0$. \\
Supposons qu'il existe un réel $x_1$ tel que $\exp(x_1)<0$.\\ 
Comme la fonction $\exp$ est dérivable sur $\R$, elle y est aussi continue et d'après le théorème des valeurs 
intermédiaires il existe une solution à l'équation $\exp(x)=0$, ce qui est absurde. \\
Par conséquent $\exp(x)>0$ pour tout $x\in\R$.\\
 On a donc pour tout réel $x$ :
$$ \exp'(x)=\exp(x)>0$$
La fonction $\exp$ est donc strictement croissante sur $\R$.
\end{enumerate}
}

\begin{theo}
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors $$ (\exp(u))'=u' \times \exp(u)$$ 
\end{theo}



\Dem{On sait que $$ (f\circ u)'=u' \times f'(u)$$
On applique ce résultat pour $f=\exp$.}

\Expls{Etudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $$ f(x)=\exp(3x^2+1)\qquad \text{et} \qquad g(x)= \exp(-2x+1)$$
Pour tout réel $x$ : $f'(x)=6x\exp(3x^2+1)$. \\
Or $\exp(X) >0$ pour tout $X$. Donc $f'(x)$ est positif si et seulement $6x>0$ si et seulement si $x>0$.\\
Finalement, $f$ est strictement décroissante sur $\R^-$ et strictement croissante sur $\R^+$.\\
Pour tout $x$, $g'(x)=-2\exp(-2x+1)$. \\Donc $g'(x) <0$ pour tout $x$ et $g$ est strictement décroissante sur $\R$.
}


\subsection{Relation fonctionnelle et conséquences}

\begin{theo}
Pour tous réels $x$ et $y$ : 
$$ \exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)$$
\textbf{La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.} 
\end{theo}


\Dem{Soit $a\in\R$. Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=\exp(x+a)\exp(-x)$$
On a alors pour tout $x\in\R$ :
\begin{eqnarray*}
g'(x)&=&\exp'(x+a)\exp(-x)-\exp(x+a)\exp'(-x)\\
&=&\exp(x+a)\exp(-x) - \exp(x+a)\exp(-x)\\
&=&0 
\end{eqnarray*}
Par conséquent la fonction $g$ est constante sur $\R$.\\
De plus $g(0)=\exp(a)\exp(0)=\exp(a)$.
}
\DemS{
Ainsi, pour tout $x\in\R$ :
$$ \exp(x+a)\exp(-x)=\exp(a) \Longleftrightarrow 
\exp(x+a)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(-x)}$$
Or, on sait que pour tout $x\in\R$ on a :
$$\exp(x)\times \exp(-x)=1 \iff  \exp(x)=\dfrac{1}{\exp(-x)}$$
Par conséquent on peut conclure que pour tout $x\in\R$ on a :
$$ \exp(x+a)=\exp(a)\times \exp(x)$$
Ce résultat étant vrai pour tout $a\in\R$, en choisissant $y=a$ on obtient le résultat voulu. }

\Rq{Réciproquement, toute fonction transformant les sommes en produits est une fonction du type :
$$ f(x)=\exp(ax)\qquad \text{où}\qquad a\in\R$$
Mais nous admettrons ce résultat.}

\begin{prop}
Pour tous réels $x$ et $y$, on a  \quad $\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$\\
On en déduit \quad $\exp(nx)=\left(\exp(x)\right)^n$, $\forall n\in\Z$ \quad et 
 \quad $\exp\left(\dfrac{x}{n}\right)=\sqrt[n]{\exp(x)}$ pour $n\in\N^*$
\end{prop}

\Dem{Pour tous réels $x$ et $y$ on a, d'après le théorème précédent :
\begin{enumerate}
\item $\exp(x-y)=\exp(x)\exp(-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$
\\
Remarquons qu'en prenant $y=0$ dans la relation précédente, on obtient retrouve le résultat :
$$\exp(-x)=\dfrac{\exp(0)}{\exp(x)}=\dfrac{1}{\exp(x)} $$
\item 1$^{\text{ère}}$ méthode : Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$, $\forall n\in\Z^*$ par 
$f(x)=\dfrac{e^{nx}}{\left(e^x\right)^n}$ est constante égale à $1$.\\
2$^{\text{ème}}$ méthode : Raisonner par récurrence sur $n\in\N$ afin de démontrer $\mathscr P(n) $ : $\exp(nx)=[\exp(x)]^n$
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : Pour $n=0$ on a :
$\exp(0\times x)=\exp(0)=1$ et $(\exp(x))^0=1$ donc la propriété est vraie au rang $0$.
\item \textit{Hérédité} : Supposons que la propriété $\mathscr P(n)$ soit vraie pour un certain entier $n$, 
montrons que $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$. On a :
\begin{eqnarray*}
\exp((n+1)x)&=&\exp(nx+x) \\
&=& \exp(nx)\exp(x)\qquad \text{d'après la relation fonctionnelle}\\
&=& \left(\exp(x)\right)^n \exp(x)\qquad \text{d'après l'hypothèse de récurrence}\\
&=& \left(\exp(x)\right)^{n+1}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
\DemS{
%\begin{enumerate}
 %\item[] 
 Ainsi la propriété $\mathscr P$ est vraie au rang $n+1$.\\
On vient de démonter que pour tout $n\in\N$ :$\exp(nx)=\left(\exp(x)\right)^n$\\
 %\item[] 
 Qu'en est-il si $n<0 \Longleftrightarrow -n>0$ ?\\
On sait que $$ \exp(-nx)\exp(nx)=1$$
Donc :
$$ \exp(nx)=\dfrac{1}{\exp(-nx)}=\dfrac{1}{\left(\exp(x)\right)^{-n}}=\left(\exp(x)\right)^n$$
Ainsi pour tout $n\in\Z$ on a :
$$\exp(nx)=\left(\exp(x)\right)^n$$
\begin{enumerate}
 \item[\textbf{3.}] Un petit rappel d'abord, la racine $n^{ième}$ d'un nombre réel positif est l'unique solution positive 
de l'équation $x^n=a$.\\
On a pour tout $n\geq 1$ \quad $\exp\left(\dfrac{a}{n}\right)^n=\exp\left(n\times \dfrac{a}{n}\right)=\exp(a)$, par conséquent :
$$\exp\left(\dfrac{a}{n}\right)=\sqrt[n]{\exp(a)} $$
\end{enumerate}
}

\subsection{Nouvelle notation}
\Cadre[Notation]{On note $e$ le nombre $\exp(1)$ :
$$ e=\exp(1)\simeq 2,71828$$}

\Rqs{
\item On a vu dans l'activité 4 que :
$$ e=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$
\item Avec les propriétés de la fonction exponentielle, on a alors $\forall n\in\Z$, 
$$ \exp(n)=\exp(n\times 1)=[\exp(1)]^n=e^n$$
Par exemple,\quad  $\exp(3)=\exp(3\times 1)=\left(\exp(1)\right)=e^3 $\\ 
De plus, comme l'exponentielle transforme les sommes en produits, on a, pour tous $n$ et $m$ dans $\Z$ :
$$ e^{n+m}=\exp(n+m)=\exp(n)\exp(m)=e^ne^m$$
%Par exemple, \quad $\exp(n+3)=\exp(n)\times \exp(3) = e^n \times e^3 $.\\
D'où la notation suivante :
}

\Cadre[Notation]{Soit $x\in\R$. On note $$ e^x=\exp(x)$$}

\Rq{Cette notation est légitime, elle ne fait que prolonger à tous les réels, une propriété constatée sur les entiers. }

Résumons désormais, à l'aide de cette nouvelle notation, toutes les propriétés rencontrées sur la fonction exponentielle :

\Cadre[Résumé]{\begin{multicols}{2}Pour tous $(x,y)\in\R^2$, pour tout $n\in\Z$ et pour toute fonction $u$ dérivable sur $I$, on a
\begin{enumerate}
\item $e^0=1$
\item $e^1=e$
\item $(e^x)'=e^x$
\item $e^xe^{-x}=1$
\item $e^x>0$
\item $e^xe^y=e^{x+y}$
\item $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$
\item $e^{nx}=\left(e^x\right)^n$
\item $\left(e^{u}\right)'=u' \times e^u$
\item $ e^{\dfrac{x}{n}}=\sqrt[n]{e^x}$, $n\geq 1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Expls{Simplifier les écritures suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ e^{x+2}e^{-x+2}$
\item $ \dfrac{e^{-2x+1}}{e^{-x+1}}$
\item $ \dfrac{e^x-1}{e^x+1}$
\item $ \sqrt{\left(e^{-2x+6}\right)^3}$
\item $ \sqrt{3e^{-x}+6e^{-x}}$
\item $\sqrt{\dfrac{2e^{3x+1}}{e^{2x-1}} }$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\begin{ExoF}
 Simplifiez au maximum les expressions suivantes~:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\e^{x}\e^{-x}$
\item $\e^{x}\e^{-x+1}$
\item $\e\e^{-x}$
\item $\left(\e^{-x}\right)^2$
\item $\dfrac{\e^{2x}}{\e^{2-x}}$
\item $\dfrac{\left(\e^x\right)^3}{\e^{2x}}$
\item $\e^x \left(\e^x+\e^{-x}\right)$
\item $\left(\e^x\right)^5 \left(\e^{-2x}\right)^2$
\item $\e^{-3x+1}\left(\e^x\right)^3$
\item $\sqrt{\e^{-2x}}$
%\item $\dfrac{\e^{-4x}\e}{\left(\e^{-x}\right)^2}$
%\item $\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2-\left(\e^x-\e^{-x}\right)^2$
\item $\left(\e^x-\e^{-x}\right)^2-\e^{-x}\left(\e^{3x}-\e^{-x}\right)$
%\item $\left(\e^x-\e^{-x}\right)\left(\e^{2x}+\e^x+1\right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoL}
n$^{\circ}$ 28-31-32-33 p 134 + 21-22 p 133 + 26-27 p 133 + 69 p 142 + ROC : 29 p 133
\end{ExoL}


\section{Etude de la fonction exponentielle}

\subsection{Variations}
\begin{theo}[Rappels]
\begin{enumerate}
 \item La fonction exponentielle est une fonction continue et dérivable sur $\R$.
\item La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.\\
Pour tous nombres réels $x$, $y$  on a donc : $$x<y \Longleftrightarrow e^x<e^y \qquad ; \qquad x>y \Longleftrightarrow e^x>e^y \qquad \text{ et } \qquad 
x=y \Longleftrightarrow e^x=e^y$$
\end{enumerate}
\end{theo}

%\Dem{Déjà fait.
%}


\Expls{Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $e^{-x}+1=0$
\item $e^{3x-1}-e^{-x}<0$
\item $-2\leq e^x\leq 1$
\item $e^{2x}+e^x<2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}



%\begin{ExoL}
%n$^{\circ}$ ?? 
%\end{ExoL}


\subsection{Tangente, Limites et Asymptote}

%\Act{
%\begin{enumerate}
%\item En utilisant la définition du nombre dérivé, montrer que $\Lim{0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$
%%\item Déterminer l'approximation affine de la fonction exponentielle en $0$.
%\item Déterminer l'équaton de la tangente $T_0$ à la courbe représentative $\mathscr C_f$ de la fonction exponentielle au point d'abscisse $0$.
%\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $ g(x)=e^x-x$. 
%\item En déduire que $ \forall x\in\R \qquad e^x\geq x+1$, puis :
%\begin{itemize}
% \item  la position relative de la $\mathscr C_f$ et de $T_0$
% \item $ \Lim{+\infty}e^x=+\infty$
%\end{itemize}
%\end{enumerate}
%}

\Act{
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction exponentielle
        au point d'abscisse $0$.
        \item En étudiant la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=e^x-x$, montrer que $\mathscr C$ est 
        toujours au-dessus de $T$.
        \item En déduire que $\lim\limits_{x\to + \infty} e^x = +\infty$
        \item Grâce à un changement de variable, en déduire que $\lim\limits_{x\to - \infty} e^x = 0$
       \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item En utilisant ce qui précède, comparer $e^{\frac{x}2}$ et $\dfrac{x}{2}$ pour tout $x\in\R$. 
        \item En déduire $\lim\limits_{x\to + \infty}\dfrac{e^x}{x} = + \infty$ 
        puis $\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0$
       \end{enumerate}   
\end{enumerate}
}

\begin{theo}
$$ \Lim{+\infty}e^x=+\infty\qquad , \qquad \Lim{-\infty}e^x=0 \qquad ; \qquad
\lim\limits_{x\to + \infty}\dfrac{e^x}{x} = + \infty  \qquad  \text{ et } \qquad 
\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0 $$
\end{theo}


\Dem{Cf Activité ou :\\
Montrons pour cela que $\forall x\in\R$ on a :
$$ e^x\geq x$$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=e^x-x$$
$g$ est une fonction dérivable sur $\R$ et $g'(x)=e^x-1$\\
$g'(x)=0\Longleftrightarrow e^x=1\Longleftrightarrow e^x=e^0\Longleftrightarrow x=0$
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$g’(x)$/1,$g$/2}{$ -\infty$,$0$,$+\infty $}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + , }% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/$1$ , +/$ $ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
Par conséquent $g(x)\geq 1$ pour tout $x\in\R$ i.e :
$$ e^x-x\geq 1>0\Longrightarrow e^x>x$$
Grâce au théorème de comparaison on a :
$$ \Lim{+\infty}x=+\infty \Longrightarrow \Lim{+\infty} e^x=+\infty$$
}
\DemS{
De plus, en posant $X=-x$, on a que si $x\longrightarrow +\infty$, $X\longrightarrow -\infty$ et dans ce cas :
$$ \displaystyle\lim_{X\to -\infty} e^{X}=\Lim{+\infty}e^{-x}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}  \dfrac{1}{e^x}=0$$
De plus, on sait que pour tout $x\in\R$ , $e^x\geq x$, par conséquent $e^{\frac{x}2} \geq \dfrac{x}2$.\\
La fonction carré étant croissante sur les positifs, on a donc aussi 
$e^x \geq \dfrac{x^2}{4} \iff \dfrac{e^x}{x} \geq \dfrac{x}4$.\\
D'après le théorème de comparaison, on a donc $\lim\limits_{x\to + \infty}\dfrac{e^x}{x} = + \infty $\\
On effectue ensuite un changement de variable dans l'expression $xe^x$ pour $x$ qui tend vers $-\infty$. \\
On pose $X=-x$ alors on a 
$xe^x = -Xe^{-X} = \dfrac{-X}{e^X}$ avec $X$ qui tend vers $+\infty$.\\
Ainsi, $\lim\limits_{x\to - \infty} xe^x= \lim\limits_{X\to + \infty} \dfrac{-X}{e^X} = 
-\lim\limits_{X\to + \infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^X}{X}} = 0$ d'après ce qui précède. 
}

\Rq{La représentation graphique de la fonction exponentielle admet 
\begin{itemize}
 \item en $-\infty$ une asymptote horizontale d'équation $y=0$.
  \item pour tangente en $0$ la droite d'équation $y=x+1$, et est toujours au-dessus d'elle.
\end{itemize}
}

\Expls{
Déterminer les limites en $\pm\infty$ des fonctions $f$ suivantes :
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
\item $f(x)=e^{3-x}$
\item $f(x)=\dfrac{e^{x}-1}{e^x+1}$
\item $f(x)=e^x-x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}
\begin{ExoL}
n$^{\circ}$ 41-46 p 137
\end{ExoL}

\subsection{Représentation graphique}
On peut désormais établir le tableau de variation suivant :
\begin{center}

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/0.5, Signe\\de $e^x$/1, Variation\\ de $e^x$/2} {$-\infty$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $0$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$0$} {$1$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$1$} {$e$}
\end{tikzpicture}

\end{center}

On dispose également de suffisament d'informations pour représenter graphiquement la fonction exponentielle.\\
On commence par tracer l'asymptote $y=0$ en $-\infty$ et la tangente $y=x+1$ au point d'abscisse $0$.



\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=2cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-1.1)(4.1,15.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{4} \def\ymin{-1} \def\ymax{15}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-1.1)(4.1,15.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2.718281828 x exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{5}{\F}
\def\G{x 1 add}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{4}{\G}
\uput[ur](2,35){$\textcolor{blue}{\mathscr C_{exp}: y=e^x}$}
\uput[ur](2,2){$  \textcolor{red}{y=x+1}$}
\psdot(1,2.71)
\uput[l](0,2.71){$e\, $}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,2.71)(0,2.71)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}






\subsection{Fonction réciproque}

\begin{coro}[Définition]
Si $a \in\R^{+*}$ l'équation $e^x=a$ admet une unique solution dans $\R$ que
 l'on appelle \textbf{logarithme népérien de $a$} et que l'on note \quad $\ln \left(a\right)$ .
\end{coro}

\Dem{
On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires à la fonction exponentielle, continue et strictement 
croissante sur $\R$. \\
Comme  \quad $\Lim{-\infty}e^x=0\qquad \text{et}\qquad \Lim{+\infty}e^x=+\infty$, \quad 
l'équation $e^x=a$ admet une unique solution dans $\R$ dès que $a >0$.\\
}

\Rq{On a donc, pour tout $a>0$, pour tout $b\in\R$ :
$$ e^{\ln(a)}=a\qquad \text{et}\qquad \ln(e^b)=b$$
En effet pour la première égalité, comme $\ln(a)$ est solution de $e^x=a$ 
on obtient littéralement $e^{\ln(a)}=\lambda$\\
De plus le nombre $ \ln(e^b)$ est solution de l'équation $e^x=e^b \Longleftrightarrow x=b$, 
par conséquent $\ln\left(e^b\right)=b  $ }

\Expls{Résoudre $e^x=5$, \quad $e^{-x}=-5$ , \quad $e^{-2x+3}=4$et $e^{3x}>\pi$
}

\Expl{Répondre (enfin !) au problème posé dans l'activité 1.}



\subsection{Autres limites à connaître}

\Act{
n$^{\circ}$ 47 p 137
}

\begin{theo} 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in\N^*$ :
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{-\infty} x^ne^x=0$$
En particulier on retrouve : 
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{-\infty} xe^x=0$$
\item Taux d'accroissement à l'origine :
$$ \Lim{0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$$
\end{enumerate}
\end{theo}


\Dem{Cf Activité 6 ou on généralise les méthodes de l'activité 5.
\begin{enumerate}
\item Soit $n\in\N^*$ (donc $n$ fixé). Montrons tout d'abord que : $ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$
\\On sait que pour tout $X\in\R$ on a : $ e^X\geq X$\\
En particulier pour $X=\dfrac{x}{n+1}$, avec $x\in\R^{+*}$ et $n\in\N^*$ on a : $ e^{\frac{x}{n+1}}\geq \dfrac{x}{n+1}$\\
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^{n+1}$ est une fonction croissante sur $\R^+$ donc :
$$ e^{\frac{x}{n+1}}\geq \dfrac{x}{n+1}\Longrightarrow f\left(e^{\frac{x}{n+1}}\right)\geq f\left(\dfrac{x}{n+1}\right)\Longrightarrow e^x\geq \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$$
Ainsi on obtient :
$$ \dfrac{e^x}{x^n}\geq \dfrac{x}{(n+1)^{n+1}}$$
Comme $\Lim{+\infty}\dfrac{x}{(n+1)^{n+1}}=+\infty$, on en déduit par comparaison que 
$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$\\
En posant $X=-x$ on obtient : $ \Lim{-\infty}\mid x^n e^x\mid=\displaystyle\lim_{X\to+\infty} \dfrac{X^n}{e^X}=
\displaystyle\lim_{X\to+\infty} \dfrac{1}{\frac{e^X}{X^n} }=0$
d'où : $ \Lim{-\infty} x^n e^x=0$.\\
 En particulier pour $n=1$ on a : $ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{-\infty} xe^x=0$
\item Pour la troisième limite, nous reconnaissons le taux d'accroissement de la fonction exponentielle en $0$, 
sa limite est donc égale au nombre dérivé en $0$ de l'exponentielle à savoir : $$  \Lim{0}\dfrac{e^x-1}{x}=\Lim{0} \dfrac{e^x-e^0}{x-0}=\exp'(0)=e^0=1$$
\end{enumerate}}

\Expls{$\Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{ \sqrt{x} }=\Lim{+\infty }\dfrac{e^x}{x}\times \sqrt{x}=+\infty$ \qquad 
car $ \Lim{+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$ et $\Lim{+\infty} \sqrt{x}=+\infty$ }


\Rq{Quand on a une \textbf{forme indéterminée en l'infini} impliquant une exponentielle et un polynôme, 
on retiendra que c’est toujours l’exponentielle qui \og l’emporte \fg.
}


\begin{ExoF}En utilisant le résultat suivant :
 $$ \Lim{0} \dfrac{e^x-1}{x}=1$$
 Déterminer les limites suivantes :
 $$ \Lim{0} \dfrac{e^x-1}{ \sqrt{x} } \qquad ; \qquad \Lim{+\infty} x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) \qquad 
 \text{et}\qquad \Lim{-\infty}x\left(e^{\frac{1}{x^2}}-1\right)$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Calculer les dérivées et les limites aux bornes des ensembles de définitions des fonctions définies
par les expressions suivantes~:
\begin{enumerate}
 \begin{multicols}{3}
  \item $f_1(x)=\e^x+x^2+1$
%\item $f_2(x)=5\e^x+5x\e^x$
\item $f_2(x)=\e^x\sin(x)$
%\item $f_4(x)=\dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}$
\item $f_3(x)=\dfrac{3x+1-\e^x}{\e^{x}}$
%\item $f_6(x)=x^3\e^{-x}$
%\item $f_7(x)=\dfrac{x^2\e^{x}}{x+1}$
\item $f_4(x)=\dfrac{\e^{x}}{x}$
%\item $f_5(x)=\dfrac{1}{\e^x}$
%\item $f_{10}(x)=\left(\e^x\right)^2+\dfrac{1}{\e^x}$
%\item $f_{11}(x)=\e^{-x}$
%\item $f_{12}(x)=\e^{4x+1}$
\item $f_{5}(x)=\e^{\cos(x)}$
\item $f_{6}(x)=\e^{5x^3+7x+4}$
%\item $f_{15}(x)=(x+1)\e^{-x+1}$
%\item $f_{16}(x)=\dfrac{\e^{2x}-1}{x}$
  \end{multicols}
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{minipage}{6cm}
\begin{ExoF}
Reconnaître parmi les figures ci-contre les courbes représentatives des fonctions suivantes~:
\begin{itemize}
\item $x\mapsto \e^{-x}$
\item $x\mapsto \e^{x}$
\item $x\mapsto \e^{x+1}$
\item $x\mapsto \e^{x}+1$
\item $x\mapsto -\e^{x}$
\item $x\mapsto -\e^{x-1}$
\end{itemize}
\end{ExoF}
\end{minipage} \qquad 
\begin{minipage}{10cm}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=1.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-1)(3,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3,-1)(3,4)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(-x)}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(x)}
\psplot[linestyle=dotted,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(x+1)}
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(x)+1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt 3pt 1pt ,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{-EXP(x)}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{-EXP(x-1)}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\begin{ExoF}
 Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.

\noindent Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par :

\[f(x) = \cfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 2,1\text{e}^{x} + 1,1x + 1,6\]

\begin{enumerate} \item Faites apparaître sur l'\'ecran de votre calculatrice graphique la courbe
 repr\'esentative de cette fonction dans la fenêtre $- 5 \leqslant x \leqslant
 4,~ -4 \leqslant y \leqslant 4$.

\noindent Reproduire l'allure de la courbe obtenue sur votre copie.

\item D'apr\`es cette repr\'esentation graphique, que
pourrait-on conjecturer :

\begin{enumerate} \item Sur les variations de la fonction $f$ ?

\item Sur le nombre de solutions de l'\'equation $f (x) = 0$ ?

\end{enumerate}

\item On se propose maintenant d'\'etudier la fonction $f$.

\begin{enumerate} \item R\'esoudre dans $\R$ l'in\'equation $\text{e}^{2x}-
2,1\text{e}^{x} + 1,1 \geqslant 0$ (on pourra poser $X = \text{e}^{x}$).

\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\item D\'eduire de cette \'etude le nombre de  solutions de
l'\'equation $f(x) = 0$.

\end{enumerate}

\item On veut repr\'esenter, sur l'\'ecran d'une calculatrice, la courbe
repr\'esentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0,05~;~ 0,15]$, de façon à visualiser les r\'esultats de la question \textbf{3.}

\noindent Quelles valeurs extrêmes de l'ordonn\'ee $y$ peut-on choisir pour la fenêtre de
 la calculatrice ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoL}
n$^{\circ}$ 48-51-61 p 137 (limites) \\
n$^{\circ}$ 43 à 45 p 136 + 59-66-71-74 p 139 et après (limites et suites) + 40 p 136 (TVI + algo) + 56 p 138 (avec de la trigo)\\
n$^{\circ}$ 60-64 p 141 (étude de fonctions) 
\end{ExoL}

\newpage

\section{Type bac et plus}

\begin{ExoF}
 Six affirmations, r\'eparties en deux th\`emes et num\'erot\'ees de 1. a \`a 2. c sont propos\'ees 
 ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du num\'ero de l'affirmation, et avec le plus 
 grand soin, la mention VRAI ou FAUX.\\
Chaque r\'eponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque r\'eponse erron\'ee enl\`eve 0,1 point. 
Il n'est pas tenu compte de l'absence de r\'eponse. Un \'eventuel total n\'egatif est ramen\'e \`a $0$.
\begin{enumerate} 
\item  Pour tout r\'eel $x,~\text{e}^x$  d\'esigne l'image de $x$ par la fonction exponentielle.

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 1. a	& Pour tous les r\'eels $a$ et $b  :  
\left(\text{e}^a\right)^b = \text{e}^{\left(a^b\right)}$.\\ \hline
Affirmation 1. b	 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Pour tous les r\'eels $a$ et $b  : 
\text{e}^{a - b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}$.\\ \hline
Affirmation 1. c &La droite d'\'equation $y = x + 1$ est la tangente \`a la courbe 
repr\'esentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $f$ une fonction num\'erique d\'efinie sur un intervalle ouvert I et 
soit $a$ un \'el\'ement de I.

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 2. a &	Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. b &	Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est d\'erivable en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. c	& Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors la fonction \\
&$h \mapsto \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie en $0$.\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}%Antilles Guyane Juin 2012 Parties A et B
 
On note $\R$ l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{x - 1} + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude de la fonction}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
 
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$, et on note$f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
 
Montrer que, pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = (x + 1)\text{e}^{x - 1}$. 
\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : recherche d'une tangente particulière}

\medskip
 
Soit $a$ un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$, qui passe par l'origine du repère.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On appelle T$_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$. Donner une équation de T$_{a}$. 
\item Démontrer qu'une tangente à $\mathcal{C}$ en un point d'abscisse $a$ strictement positive passe par l'origine du repère si et seulement si $a$ vérifie l'égalité 

\[1 - a^2\text{e}^{a-1} = 0.\]
 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Démontrer que $1$ est l'unique solution sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation 

\[1 - x^2\text{e}^{x-1} = 0.\]
 
\item Donner alors une équation de la tangente recherchée.
\end{enumerate}
 
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par :
\[ f(x) = \left(2x^3  - 4x^2\right) \text{e}^{-x}.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 2x\left(- x^2 + 5x - 4\right)\text{e}^{-x}$.
\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
\item  Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) repr\'esentative de $f$ dans un rep\`ere orthonormal \Oij (unit\'e graphique : 1 cm).
\end{enumerate}
% \item  Pour $n \in \N^{*}$, on pose
% \[ I_{n} =  \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]
% \begin{enumerate}
% \item  \`A l'aide d'une int\'egration par parties, calculer $I_{1}$.
% \item  On admet que, pour tout $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 2,~ $I_{n} = n I_{n-1} - \dfrac{1}{\text{e}}$.\\
% D\'eterminer $I_{2}$ et $I_{3}$.
% \item  Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprim\'ee en cm$^2$, du domaine d\'elimit\'e par l'axe des abscisses, la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'\'equation $x =  0$ et $x = 1$. Calculer $\mathcal{A}$.
% \end{enumerate}
\item  Soit $u$ une fonction d\'efinie et d\'erivable sur $\R$.\\
On d\'efinit la fonction $v$ sur $]0~;~ +\infty[$ par $v(x) = u\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose que $u$ est croissante sur l'intervalle $[a~;~ b]$ (o\`u $0 < a < b$).\\
D\'eterminer le sens de variation de $v$ sur $\left[\dfrac{1}{b}~;~\dfrac{1}{a}\right]$.
\item  On d\'efinit maintenant la fonction $g$ par $g(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ sur $]0~ ;~ +\infty[$, o\`u $f$ est la fonction d\'efinie dans la question 1.\\
D\'eterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$,
\item  D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le tableau de variations de la fonction $g$ sur
l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}



%\begin{ExoF}
% On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par 

%\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]

%\noindent On note ($\mathcal{C}$) sa courbe repr\'esentative dans le plan rapport\'e au rep\`ere 
%orthogonal \Oij, l'unit\'e graphique est 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonn\'ees.

%\vspace{0,25cm}

%\noindent \textbf{Partie A}\\
%Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$.

%\begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur 
%$\R$. En d\'eduire le signe de $g$.

%\item Justifier que pour tout $x,~ \left(\text{e}^x -x\right)$ est strictement positif.

%\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}

%\noindent \textbf{Partie B}

%\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les limites de 
%la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.

%\item Interpr\'eter graphiquement les r\'esultats pr\'ec\'edents.

%\end{enumerate}

%\item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x),~ f'$ d\'esignant la fonction d\'eriv\'ee de $f$.

%\item \'Etudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.

%\end{enumerate}

%\item \begin{enumerate} \item D\'eterminer une \'equation de la tangente (T)  \`a la courbe ($\mathcal{C}$)  au point d'abscisse $0$.

%\item \`A l'aide de la \textbf{partie A}, \'etudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) 
%par rapport \`a la droite (T).

%\end{enumerate}

%\item Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe ($\mathcal{C}$).

%\end{enumerate}

%\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soient $f$  et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par
\[ f(x) = x\text{e}^{-x}\quad  \text{et}\quad  g(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] 
On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère  \Oij. 

\medskip
 
La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} est donnée en annexe (à rendre avec la copie). 

\begin{enumerate}
\item  D'après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction $f$ et sa limite en $+\infty$ ? 
\item  Valider ces conjectures à l'aide d'une démonstration. 
\item  Tracer sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction $g$. 
\item  Quelle semble être la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ ?
 
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
\end{enumerate}

\begin{center}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(6,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-0.25)(6,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](3,0.2){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  \textbf{A - Restitution organisée de connaissances}
 
 \medskip
 
On suppose connu le résultat suivant : 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$.
Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$

\medskip

 \textbf{B - Étude d'une fonction}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$ f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}$.
On note $(\mathcal{C})$  sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} du plan. On prendra $4$~cm pour unité graphique.

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.}

\medskip

Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.
\item  Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
 \textbf{C - Étude d'une famille de fonctions}
 
Pour tout entier relatif $k$, on note $f_{k}$ la fonction définie sur $\R$ par : 
$f_{k}(x)  = (x +1)\text{e}^{kx}$.
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan.

On remarque que le cas $k = -1$ a été traité dans la partie B, car on a $f_{-1} =f$ et $\mathcal{C}_{-1} = \mathcal{C}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ?
		\item   Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
		
Vérifier que, pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_{k}$.
	\end{enumerate}
\item	Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression : $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$.

En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{k+1}$.
\item	Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul.\\
	En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$. (On distinguera les cas : $k>0$ et $ k< 0$.)


\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}\vspace{-6.5cm}
\hspace{6cm} \begin{flushright}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
\psplot[linecolor=green]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul}
\psplot[linecolor=red]{-1.6}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div }
\psplot[]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div}
\uput[l](-1.4,-1.6){$\mathcal{E}$}\uput[u](3,0.2){$\mathcal{E}$}
\uput[r](-1.2,-2){$\mathcal{F}$}\uput[u](2,0.1){$\mathcal{F}$}
\uput[r](0.5,2.5){$\mathcal{H}$}\uput[d](-2,-0.15){$\mathcal{H}$}
\uput[l](0.3,2.9){$\mathcal{K}$}\uput[u](-2,0){$\mathcal{K}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{flushright} 
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item[4]	Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathcal{E},~ \mathcal{F},~ \mathcal{H},~$ et $\mathcal{K}$, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$, parmi les entiers $-1,~ -3,~ 1$ et $2$.\\
Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

%\begin{ExoF}
% On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par
%$ f(x) =  \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}$.

%\begin{enumerate}
%\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances :}

%La fonction exponentielle est l'unique fonction $g$ dérivable sur $\R$ vérifiant 
%$\left\{\begin{array}{l c l }
%g'(x)&=& g(x)\\
%g(0)& =& 1
%\end{array}\right.$.

%Démontrer que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1$.

% Pour tout $h \neq 0$,
% $\dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = \dfrac{\text{e}^{h} - \text{e}^{0}}{h}$ 

% On reconnait le taux de variation de la fonction exponentielle entre 0 et h, comme cette fonction est dérivable en 0, par définition du nombre dérivé, on a :
% \[ \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1 \]

%\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.

% Par inverse, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$

% Pour tout $x \neq 0$, $\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = \dfrac{\text{e}^{x}}{x} - \dfrac{1}{x} $

% Par comparaison $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x} = +\infty$, donc par somme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = +\infty$

% Enfin, par inverse, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

%\end{enumerate}
%\end{ExoF}

%\begin{ExoF}
%  \noindent \textbf{Partie A : question de cours}
%\begin{enumerate}
%\item Soit $f$ une fonction r\'eelle d\'efinie sur $[a~;~+ \infty[$. Compl\'eter la phrase suivante :\\
%\og On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si \ldots \fg
%\item D\'emontrer le th\'eor\`eme \og des gendarmes \fg{}: soient $f,~g$ et $h$ trois fonctions d\'efinies sur $[a~;~+ \infty[$ et $\ell$ un nombre r\'eel. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est \'egale \`a $\ell$.
%\end{enumerate}

%\medskip

%\textbf{Partie B}\\
%Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
%\[f(x) = \text{e}^x - x - 1\]
%et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'\'equation $y = - x - 1$ est asymptote \`a $(\mathcal{C})$. On a repr\'esent\'e sur la feuille annexe la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$.
%\begin{enumerate}
%\item Soit  $a$ un  nombre r\'eel.  \' Ecrire, en  fonction de  $a$, une
%      \'equation de la
% tangente $(T)$ \`a $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $a$.
%\item Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse
%      $b$. 
%V\'erifier que $b - a = - 1$.
%\item  En  d\'eduire une  construction,  \`a  effectuer  sur la  feuille
%      annexe, de la 
%tangente $(T)$ \`a $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $1,5$. On fera appara\^{\i}tre le point $N$ correspondant.
%\end{enumerate}

%\begin{center}
  
%\parpic[r]{
%\psset{unit=1.3cm}
%\begin{pspicture}(-4,-2)(3,3)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-4,-2)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-2)(3,3)
%\psplot{-4}{1.73}{2.71828 x exp x sub 1 sub}
%\psline(-4,3)(1,-2) \uput[dr](0,0){O}
%\uput[dr](1.1,1){$(\mathcal{C})$} \uput[r](0.5,-1.5){$(D)$}
%\end{pspicture}
%%}
%\end{center}

%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%\noindent \textbf{Partie C}

%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer graphiquement le signe de $f$.
%\item En d\'eduire pour tout entier naturel non nul $n$ les in\'egalit\'es suivantes :
%\[(1) \quad \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}\qquad (2) \quad 
%\text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}\]
%\item En utilisant l'in\'egalit\'e (1), d\'emontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
%\[\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}\]
%\item En utilisant l'in\'egalit\'e (2), d\'emontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
%\[\text{e} \leqslant \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n + 1}\]
%\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes un encadrement de 
%$ \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n$ 
%puis sa limite en $+ \infty$.
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soit $n$ un entier naturel.

On note $f_{n}$, la fonction d\'efinie sur l'ensemble $\R$ des nombres r\'eels par :
\[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.\]
On note  $\mathcal{C}_{n}$ la courbe  représentative de $f_{n}$  dans un
repère orthogonal \Oij.

 Les courbes $\mathcal{C}_{0},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : 

\begin{center}

\psset{unit=6.5cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.6,-0.1)(1.5,1.01333)
\multido{\d=-0.5+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](\d,-0.1)(\d,1)}
\multido{\d=-0.1+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.5,\d)(1.5,\d)}
\uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$}  \uput[r](0,1){1}
\uput[d](-0.5,0.4){$\mathcal{C}_{0}$}\uput[d](-0.5,0.65){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](-0.4,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[d](-0.3,1){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=green]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dashed]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées. 
\item Étude de la fonction $f_{0}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $f_{0}$. 
	\item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites.
	\item   Dresser le tableau de variation de fonction $f_{0}$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
	
\item Étude de la fonction $f_{1}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f_{0}(x) =  f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$. 
	\item En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation. 
	\item Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
	\end{enumerate}
	
\item  Étude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, on a : 
		\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\]

	\item  Étudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ 
	\item  Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f_{n}$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organis\'ee de connaissances.}\\
L'objet de cette question est de d\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\
On supposera connus les r\'esultats suivants :
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]  la fonction exponentielle est d\'erivable sur $\mathbb{R}$ et est \'egale \`a sa fonction d\'eriv\'ee ;

\item[$\bullet$] $\mathrm{e}^{0} = 1$ ;

\item[$\bullet$]  pour tout r\'eel $x$, on a $\mathrm{e}^x > x$.

\item[$\bullet$] Soient deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ d\'efinies sur l'intervalle $[A~;~+\infty[$ o\`u $A$ est un r\'eel positif.\\
Si pour tout x de $[A~;~+\infty[$,  $\psi(x)\leqslant \varphi(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\psi(x)=+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x)=+\infty$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$.


\item En d\'eduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$
\end{enumerate}

\item On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) =\dfrac{1}{4}x\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$.\\
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthogonal \Oij.%\\
%La courbe $\mathcal{C}$ est repr\'esent\'ee en annexe.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est positive sur $[0~;~+\infty[$.

\item D\'eterminer la limite de $f$ en $+\infty$. En d\'eduire une cons\'equence graphique pour $\mathcal{C}$.

\item \'Etudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\item On consid\`ere la fonction $F$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x)==1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}-\dfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} $.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une fonction strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.


\item Calculer la limite de $F$ en $+\infty$ et dresser le tableau de variations de $F$ sur $[0~;~+\infty[$.


\item Justifier l'existence d'un unique r\'eel positif $\alpha$ tel que $F(\alpha) = 0,5$.\\
\`A l'aide de la calculatrice, d\'eterminer une valeur approch\'ee de $\alpha$ \`a 10$^{-2}$ pr\`es par exc\`es.
\end{enumerate}


% \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $A_{n}$ l'aire, en unit\'es d'aire, de la partie du plan situ\'ee entre l'axe des abscisses, la courbe de $f$ et les droites d'\'equations $x = 0$ et $x =n$.\\
% D\'eterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $A_{n}\geqslant  0,5$.
\end{enumerate}


\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=(2x+1)e^{-2x}$ et sa courbe représentative $(C)$ dans le
repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$.

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A - \'Etude de la fonction $f$}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item \begin{enumerate} 
  \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  Que peut-on en déduire pour $(C)$~? 
  \item Déterminer la limite de
  $f$ en $-\infty$. 
  \end{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et étudier le signe
de $f'$ sur $\R$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item \begin{enumerate} 
  \item Déterminer les coordonnées du point $A$
  d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses. 
  \item \'Etudier
  le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
  \end{enumerate} 
\end{enumerate}
\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B - \'Etude d'une tangente}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On rappelle que  $f''$ désigne la dérivée seconde de
$f$. 
  \begin{enumerate} 
  \item Montrer que, pour tout réel $x$,
  $f''(x)=4(2x-1)e^{-2x}$. \item Résoudre l'équation $f''(x)=0$.
  \end{enumerate} 
\item Soit $B$ le point d'abscisse 1/2 de la courbe $(C)$.
Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ en $B$. 
\item On veut étudier la position relative de $(C)$ et $(T)$~: pour cela
on considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par
$$g(x)=f(x)-\left(-\dfrac{2}{e}x+\dfrac{3}{e}\right)$$
\begin{enumerate} 
\item Déterminer $g'(x)$ et $g''(x)$. 
\item \'Etudier le signe de $g''(x)$ suivant les valeurs $x$. 
En déduire le sens de variation de $g'$ sur $\R$. 
\item Calculer $g'(1/2)$ et en
déduire le signe de $g'(x)$ puis le sens de variation de $g$ sur
$\R$. 
\item Calculer $g(1/2)$ et déterminer alors le signe de
$g(x)$ suivant les valeurs de $x$. Que peut-on en conclure sur la
position relative de $(C)$ et $(T)$~? 
\end{enumerate}
 \end{enumerate} (Bac
2001)

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\left\{\begin{array}{c}
\exp\left(\dfrac{x-1}{x^2}\right)\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0
\end{array}\right.
$
\begin{enumerate}
 \item Rappelez la définition d'une fonction continue en zéro.
\item Existe-t-il une valeur de $a$ telle que $f$ soit continue en zéro~?
\item Sachant que $\Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$, montrez que $\Lim{-\infty}xe^x=0$.
\item Rappelez la définition d'une fonction dérivable en zéro.
\item La fonction $f$ est-elle dérivable en zéro~?
\item Calculez $f'(x)$ pour tout $x\in\R^*$. La fonction $f'$ est-elle continue en zéro~?
\item Déterminez une fonction définie sur $\R$ de la forme $\begin{cases} f(x)=u(x)\exp\pa{v(x)}\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0\end{cases}$ telle que $f$ soit continue en zéro mais pas dérivable en zéro. Vous expliquerez au maximum les raisons
qui vous ont conduit à chercher $u(x)$ et $v(x)$ sous une forme plutôt qu'une autre. toout raisonnement sera évalué même s'il n'aboutit
pas à une solution explicite.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On appelle cosinus hyperbolique la fonction définie sur $\R$ par
$$\cosh~:\ x\mapsto \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$$
sinus hyperbolique la fonction définie sur $\R$ par
$$\sinh~:\ x\mapsto \sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$$
et tangente hyperbolique la fonction définie par
$$\tanh~:\ x\mapsto\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$$

\begin{enumerate}

\item Déterminez les dérivées de ces fonctions en fonction de cosh
et sinh.
\item \'Etudiez ces fonctions pour montrer que cosh est à valeurs dans $[1,+\infty]$ et que tanh
est définie sur $\R$ et à valeurs dans $[-1,1]$.
\item Calculez $\tanh(x)$ en fonction de $e^x$ et $e^{-x}$, puis en fonction de $e^{2x}$, enfin en 
fonction de $e^{-2x}$.
\item Montrez que $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$.
\item Montrez que $\cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)$ et que
$\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)$.
\item Déduisez-en que
$\tanh(x+y)=\dfrac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}$
\item On pose $t=\tanh(x/2)$. Montrez que $\cosh(x)=\dfrac{1+t^2}{1-t^2}$
puis que $\sinh(x)=\dfrac{2t}{1-t^2}$
\item Résolvez dans $\R$ l'équation $5\cosh(x)-4\sinh(x)=3$. Vous
donnerez une valeur approchée de la solution à $10^{-3}$ près.
\item Pour le plaisir : dérivez la fonction $x\mapsto
\dfrac{2\sin(x)\sinh(x)}{(\sinh(x)+\sin(x))^2}$
\item Soit $y\in\R$. Comparez $\sinh(y)$ et $y$.
\item Montrez que $\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)$ puis étudiez la fonction
$f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{\tanh(x)}{x}$$.

\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 %\parpic[r]{\includegraphics[height=4cm]{cable}}  
 L'équation   de   la
 hauteur $h$ par rapport au  sol d'un fil électrique suspendu entre deux
 poteaux       s'obtient       en       résolvant       l'\emph{équation
 différentielle} \[h''(x)=k \sqrt{1+\left(h'(x)\right)^2}\]
où $k$
 est un paramètre qui dépend de la densité et de la tension du fil et $x$
est mesuré en  mètres horizontalement à partir d'une  origine située sur
le sol en-dessous du point où la hauteur du fil est la plus faible.

\begin{enumerate}
\item  Vérifiez que  $h~:~x\mapsto  \frac{1}{k}\cosh(kx)$ satisfait  cette
      équation différentielle.
\item Quelle  est la hauteur  minimale du fil  si le paramètre  $k$ vaut
      $0,05$~?
\item Quelle  est la  hauteur des poteaux  (de même hauteur)  s'ils sont
      distants de 30~m et que le paramètre $k$ vaut 0,05~?
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\end{document}
