\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{M\'elangeons la trigo et les fonctions !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 7}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\setcounter{NumLecon}{7}

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%\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
 
\Chacha{mlemaudit.eps}{M le maudit}{Fritz Lang}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston 
Moore (Sonic Youth)}{Il s'agit du premier film parlant de Fritz Lang. Avec le temps, M le maudit est devenu 
un classique reconnu, rivalisant avec les autres œuvres de Lang pour le titre d'opus magnum. Pendant des 
années après la sortie du film, Peter Lorre est resté catalogué comme un méchant pour y avoir été un 
meurtrier d'enfant (et, c'est sous-entendu, un pédophile). M le maudit a été aussi un pionnier dans 
l'utilisation du leitmotiv (Dans l'antre du roi de la montagne, extrait de Peer Gynt d'Edvard Grieg)
pour donner plus d'intensité à l'accompagnement musical.\\
La ville où se déroule l'action n'est pas nommée, et on pourrait croire qu'il s'agit de Düsseldorf, 
d'après les titres en italien et espagnol M, le monstre de Düsseldorf. Pourtant, Fritz Lang décide de 
faire se dérouler le film à Berlin. Plusieurs indices dans le film permettent au spectateur de comprendre 
qu'ils sont à Berlin : une publicité pour un journal berlinois, la carte de Berlin dans le bureau du commissaire, le fait que le commissaire parle d'une ville de 4 millions d'habitants...\\
Claude Beylie décrit « M » comme « […] un magistral exercice de style, un modèle absolu de mise en scène, 
considérée comme une mise en équation de tous les éléments constitutifs du film. Le moindre détail est 
chargé de sens, les plans s'imbriquent selon un ordre infaillible. »
}{1.5}{0.6}{
\item Revoir les fonctions dérivées et leurs applications
\item Découvrir de nouvelles formules
\item Etudier les variations d'une fonction
\item Découvrir deux nouvelles fonctions de référence
}

\TITRE{images.eps}{0.75}


\begin{Intro}{Résumé}
Vous avez manipulé les fonctions trigonométriques sans vous en rendre compte, il est temps de formaliser tout cela !\\
Ainsi ce chapitre reprend ce que vous connaissez déjà, mais avec le vocabulaire adpaté aux fonctions. De plus, vous
allez apprendre à dériver les fonctions trigo.
\end{Intro}

\section{Rappels et vocabulaire}
 \subsection{Définition et formules}
 
 \begin{act}
\textit{On utilise le logiciel Géogébra. La figure peut être vidéo-projetée}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Figure de base}
\begin{enumerate}
       \item Ouvrir Géogébra et faire afficher le repère orthonormé $(O;I;J)$. 
 \item Choisir le radian comme unité d'angle dans \og Options \fg.
 \item Tracer le cercle trigonométrique de centre $O$.
  \item Créer un curseur $t$, variant entre $-5\pi$ et $5\pi$.
 \item On veut placer un point $M$ associé au réel $t$ sur le cercle. \\
 Pour cela, dans la ligne de commande, saisir l'instruction suivante : $M=(1;t)$\\\\
 \Rq{Attention, le point-virgule est essentiel ! En effet, le couple $(1;t)$ ne désigne pas pour Géogébra 
 les coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère $(O;I;J)$, mais lui indique que $M$ sera à une distance $1$
 de l'origine $O$ du repère (donc il sera bien sur le cercle), et tel que $\left(\overrightarrow{OI} ; 
 \overrightarrow{OM} \right)= t$ radians. On parle de coordonnées \textbf{ polaires}.}
 \item Créer en ligne de commande le point $C$ de coordonnées $(x_M,0)$ et le point $S$ de coordonnées $(0,y_M)$
      \end{enumerate}
 \item \textbf{Variations} \begin{enumerate}
        \item Quelle est l'abscisse du point $M$ dans le repère $(O;I;J)$ ? Son ordonnée ?
 \item Avec le curseur, déplacer le point $M$. \\
 Décrire son trajet, ainsi que ceux de $C$ et de $S$ correspondants.
  \item En déduire les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur $[-5\pi ; 5\pi]$.\\
  \textit{On précisera les valeurs où ces fonctions s'annulent.}
        \end{enumerate}
 \item \textbf{Courbes représentatives}
 \begin{enumerate}
  \item Compléter la figure précédente en crééant les points $R$ et $Q$ de coordonnées respectives 
  $(t,x_M)$ et $(t,y_M)$.
  \item Faire afficher leurs traces. Quelles courbes représentatives voient-on se dessiner ?
  \item Vérifier la cohérence entre les courbes obtenus et vos tableaux.
 \end{enumerate}
\item \textbf{Propriétés}
\begin{enumerate}
 \item Quelles propriétés constatez-vous pour les deux courbes ? Pouvez-vous la justifier ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction cosinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
 Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction sinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?
\end{enumerate}
 \end{enumerate}  
 \end{act}


%\Act{En complément pour la parité (en AP ??) : Activité 3 p 93 (Déclic)} 
 
Le plan étant muni d'un repère orthonormé direct $\left(O ; \vec i ; \vec j \right)$, on peut associer à 
tout réel $x$ un unique point $M$ sur le cercle trigonométrique (orienté, de rayon 1 avec une origine).\\

\begin{defi}
 La fonction qui à tout réel $x$ associe l'abscisse de son point associé $M$ sur le cercle trigonométrique
 est la fonction \textbf{cosinus}, notée cos. 
 Ainsi $x \longmapsto \cos(x)$ est définie sur $\R$.\\
La fonction qui à tout réel $x$ associe l'ordonnée de son point associé $M$ sur le cercle trigonométrique
est la fonction \textbf{sinus}, notée sin. 
Ainsi $x \longmapsto \sin(x)$  est définie sur $\R$.
 La fonction qui à tout réel $x$, tel que $\cos x \neq 0$, 
 associe le nombre $\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ est la fonction \textbf{tangente}, notée tan.
 Ainsi $x \longmapsto \tan(x)$ est définie sur $\R\textbackslash\left\{\dfrac{\pi}2 +k\pi, ~ k\in\Z\right\}$.
 \end{defi}
 
\begin{center}
 \psset{xunit=1.5cm , yunit=1.5cm,algebraic=true,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2.5,2.5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{0.4*cos(t)+0|0.4*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
\psline(2.0000,0.0000)(-2.0000,0.0000)
\psline(0.0000,2.0000)(0.0000,-2.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){3.0000}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){$I$}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){$J$}
\uput{0.3000}[220.0000](0.0000,0.0000){$O$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](0.94,1.76)
\rput[bl](1.1,1.9){$M$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.4000,1.4000)
\psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.400,1.2000)
\psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.600,1.400)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0.94,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0,1.76)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0)(0.94,1.76)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(2,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,2)
%\rput[bl](1,-0.5){$\vec i$}
%\rput[bl](-0.4,0.9){$\vec j$}
\rput[bl](0.8,-0.25){\darkgray{$\cos(x)$}}
\rput[bl](-0.7,1.5){\darkgray{$\sin(x)$}}
\rput[bl](0.15,0.08){\blue{$x$}}
\rput[bl](1.9,1){\blue{$x$}}
%\uput{0.3000}[0.0000](1.4500,1.4500){$\mathbb{+}$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

 
\begin{prop}[Rappels]
 Pour tout $x\in\R$ on a :
\begin{eqnarray*}
 -1 \leq \cos(x) \leq 1 &\text{ et } &  -1 \leq \sin(x) \leq 1\\
 \cos(x+2\pi \times k)=\cos(x) & \text{ et } &  \sin(x+2\pi\times k)=\sin(x) \quad  \text{ o\`u } k\in\Z\\
& \cos^2(x)+\sin^2(x)=1 & 
\end{eqnarray*}
 \textbf{Valeurs remarquables :}
 \begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{1.5cm}} |}
\hline 
$x$  & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ &  $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$  \tabularnewline\hline
$\cos x$ & 1 & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $0$  & $-1$ \tabularnewline\hline
$\sin x$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ & $0$  \tabularnewline\hline
$\tan x $ & 0 & $ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & \cellcolor{gray} n'existe pas & 0 \tabularnewline \hline
\end{tabular}
\end{center}
 \begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10,-5.2)(10,7)
\pscircle(0,0){5}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(2.02,4.57)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-2.02,4.57)
%\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red]{-4.5}{4.5}{(-0--0.71*x)/0.71}
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)
\rput[lt](3.5,-2.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{2.9 cm}{$\cos(-x)=\cos(x)\\ \sin(-x)=-\sin(x)$}}}
\rput[lt](-9.7,-1.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos(\pi+x)=-\cos(x)\\ \sin(\pi+x)=-\sin(x)$}}}
\rput[lt](-9.7,2.7){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos(\pi-x)=-\cos(x)\\ \sin(\pi-x)=\sin(x)$}}}
\rput[lt](3.3,6.3){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\sin(x)\\ \sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\cos(x)$}}}
\rput[lt](-6.5,6.3){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=-\sin(x)\\ \sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=\cos(x)$}}}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,2.02)(4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,2.02)(4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,-2.02)(-4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,-2.02)(-4.57,2.02)
\rput[bl](-0.3,-0.68){$O$}
\rput[bl](5.2,-0.56){$I$}
\rput[bl](4.84,2.14){$x$}
\rput[bl](0.16,5.1){$J$}
\rput[bl](4.84,-2.2){$-x$}
\rput[bl](-5.6,2.16){$\pi-x$}
\rput[bl](-5.6,-2.2){$\pi+x$}
\rput[bl](2.1,4.7){$\dfrac{\pi}{2}-x$}
\rput[bl](-2.38,4.7){$\dfrac{\pi}{2}+x$}
\rput[bl](-2,6){\textbf{Configuration du rectangle}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
 Pour tous réels $a$ et $b$ on a :
 $$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b) -\sin(a)\sin(b)$$
 $$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$$
\end{prop}

\Rq{
La configuration du rectangle appliquée aux deux dernières propriétés nous permet de retrouver les formules 
suivantes :
 $$\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b) +\sin(a)\sin(b)$$
 $$\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)$$
}

\vspace{-1cm}

\subsection{Vocabulaire et interprétation graphique}
\begin{defi}[Propriété]
 Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D_f$ et $T$ un nombre réel. \\
 Lorsque pour tout $x\in D_f$ on a $f(x+T)=f(x)$, on dit que $f$ est \textbf{périodique de période} $T$ ou encore 
 $T-$périodiques.\\
 Ainsi, les fonctions cosinus, sinus et tangente sont $2\pi-$\textbf{périodiques}.
\end{defi}

\Rqs{
\item Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction périodique, 
de période $T$ sur l'intervalle $[0;T]$ est la même que sur tout intervalle du type $[kT;(k+1)T]$, 
où $k\in\Z$.
\item Grâce à cette propriété, il suffira d'étudier les fonctions cos et sin sur un intervalle de taille $2\pi$ 
de notre choix, par exemple $[0;2\pi[$ ou encore $]-\pi ; \pi]$, et déduire le reste par translation.} 

\begin{defi}[Propriété]
 Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ symétrique par rapport à $0$ (ie si $x\in D_f$ alors $-x\in D_f$ aussi). \\
 Lorsque pour tout $x\in D_f$ on a :
 \begin{itemize}
  \item $f(-x)=f(x)$ on dit que $f$ est une fonction \textbf{paire}.
  \item $f(-x)=-f(x)$ on dit que $f$ est une fonction \textbf{impaire}.
 \end{itemize}
 Ainsi la fonction \textbf{cos est paire}, tandis que les fonctions \textbf{sin et tan sont impaires}.
\end{defi}

\Rqs{
\item Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe 
des ordonnées.\\
Celle d'une fonction impaire est symétrique par rapport à 
l'origine du repère.
\item Grâce à cette propriété, on peut limiter l'étude des fonctions cos et sin à un intervalle de longueur 
$\pi$, par exemple
$[0;\pi]$, et déduire le reste par symétrie.
\item On rappelle que les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\R$.
}

\begin{minipage}{8.5cm} 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3]{$x$/1,  $\cos x$/1.5}{$0$, $\pi$}%
\tkzTabVar{+ / $1$,  -/$-1$ }%
\tkzTabVal[]{1}{2}{0.5}{$\dfrac{\pi}{2}$}{$0$}%
\end{tikzpicture}\\
\psset{xunit=1.5707963267948966cm,yunit=1.0cm}
\psscalebox{0.7}{\begin{pspicture*}(-2.23,-1.5)(5.41,1.5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.23,-1.5)(5.41,1.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.57,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3.5,-1.5)(8.5,1.5)
\psplot[plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{COS(x)}
\rput[br](-0.3,1){$1$}
\rput[dr](3.14,-0.50){$\pi$}
%\psplot[plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{SIN(x)}
\end{pspicture*}}
\end{center}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{8cm} 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1,  $\sin x$/1.5}{$0$,$\dfrac{\pi}2$, $\pi$}%
\tkzTabVar{-/$0$, + / $1$,  -/$-1$ }%
\end{tikzpicture}
\psset{xunit=1.5707963267948966cm,yunit=1.0cm}
\psscalebox{0.7}{\begin{pspicture*}(-2.23,-1.5)(5.41,1.5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.23,-1.5)(5.41,1.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.57,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3.5,-1.5)(8.5,1.5)
%\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{COS(x)}
\psplot[plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{SIN(x)}
\rput[br](-0.3,1){$1$}
\rput[dr](3.14,-0.50){$\pi$}
\end{pspicture*}}
\end{center}
\end{minipage}

%\begin{tikzpicture}
%\tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1,  $\tan x$/2}{$-\dfrac{\pi}2$, $\dfrac{\pi}2$}%
%\tkzTabVar{D- / $-\infty$,  +/$+\infty$ }%
%\tkzTabVal[]{1}{2}{0.5}{$0$}{$0$}%
%\end{tikzpicture}


\section{Dérivées}

\subsection{Nombre dérivé en $0$}

\begin{act}
L'objectif de cette activité est de montrer que les fonctions sin et cos sont dérivables en $0$ et que l'on a :
$$\sin'(0)=1 \qquad \qquad \text{et} \qquad \qquad \cos'(0)=0$$
\begin{enumerate}
 \item Traduire l'objectif de l'activité en termes de limite de taux de variation.
 \item Montrons que la fonction sin est dérivable en $0$ et que  $\sin'(0)=1$.\\
 On munit le cercle trigonométrique d'un repère $(O,I,J)$. \\
 On considère un réel $h\in\left]0;\dfrac{\pi}2\right]$, on appelle $M$ son point associé sur le cercle trigonométrique
 et $N$ le point d'intersection de la droite $(OM)$ et de la tangente au cercle en $I$.
 \begin{enumerate}
  \item Faire un schéma de la situation.
  \item Montrer que $IN=\tan h$
  \item En rangeant dans l'ordre croissant les aires des triangles $OIM$, $OIN$ et celle du secteur de disque
  $OIM$, montrer que pour tout $h\in \left]0;\dfrac{\pi}2\right]$ on a :
  $$\sin h \leq h \leq \dfrac{\sin h}{\cos h}$$
  \item En déduire que pour tout $h \in \left]0;\dfrac{\pi}2\right]$ on a :
  $$\cos h \leq \dfrac{\sin h}h \leq 1 \qquad (\star)$$
  \item On montre de même que $(\star)$ est vrai pour tout $h\in \left[-\dfrac{\pi}2;0\right[$.\\
   Conclure.
 \end{enumerate}
\item Montrons que la fonction cos est dérivable en $0$ et que $\cos'(0)=0$
\begin{enumerate}
       \item Montrer que pour tout $h\in \left]-\dfrac{\pi}2 ;0\right[\cup\left]0; \dfrac{\pi}2\right[$ on a :
       $$\dfrac{\cos h - 1}{h}=\dfrac{\sin h}h \times \dfrac{-\sin h }{\cos h +1 }$$
       \item Conclure.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\begin{prop}
 On retiendra les deux limites suivantes :
 $$\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin(x) }{x} = 1 \qquad \qquad \text{et} \qquad \qquad  \lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\cos(x)-1}{x} =0$$ 
\end{prop}

\Dem{cf Activité}
\begin{ExoF}
 Calculer les limites suivantes \qquad 
 $\Lim{0^-} \dfrac{x-1}{\sin x} \qquad\qquad \Lim{\frac{\pi}{2}^-} \dfrac{x}{\cos x} \qquad\qquad \Lim{0^-} \dfrac{x^2+\sin x}{x\sin x}$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Calculer la limite en $0$ de chacune des fonctions suivantes :
 $$f:x \longmapsto \dfrac{\sin(x)+x}{x} \qquad \qquad g:x\longmapsto \dfrac{x^2+2\sin(x)}{3x} \qquad 
 \qquad h:x\longmapsto \dfrac{\tan(x)}{x}$$
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant la définition du nombre dérivé , rappeler les limites suivantes \qquad
   $ \Lim{0}\dfrac{\sin(x)}{x} \qquad \text{et} \qquad   \Lim{0}\dfrac{\cos(x)-1}{x} $
  \item En utilisant le changement de variable $h=x-\dfrac{\pi}2$, déterminer les limites suivantes :
$$\Lim{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin(x)-1}{x-\dfrac{\pi}2} \qquad\qquad  \text{et} \qquad \qquad \Lim{\frac{\pi}{2}}\,\dfrac{\cos(x)}{x-\dfrac{\pi}{2}}$$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 En utilisant des changements de variables, calculer les limites suivantes :
 $$\Lim{0} \dfrac{\sin(3x)}{3x} \qquad \qquad\qquad \Lim{0} \dfrac{\sin(2x)}{3x}\qquad
 \qquad \qquad \Lim{0} \dfrac{\sin(x)}{5x} \qquad \qquad\qquad \Lim{0} \dfrac{\sin(3x)}{\sin(2x)}$$
\end{ExoF}

\subsection{Dérivées des fonctions trigo}
\begin{act}
 L'objectif de cette activité est de démontrer que les fonctions cos et sin sont dérivables sur $\R$
 et de déterminer leur fonction dérivée.\\
 Soit $a\in\R$
 \begin{enumerate}
  \item Exprimer le taux de variation $\tau(a,h)$ de la fonction sin en $a$.
  \item En utilisant le fait que pour tous réels  $a$, $b$ on a $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$, 
  démontrer que 
  $$\tau(a,h)=\sin a \times \dfrac{\cos(h)-1}{h} + \cos a \times \dfrac{\sin h}h$$
  \item En déduire que la fonction sinus est dérivable sur $\R$ et déterminer sa fonction dérivée.
  \item En utilisant le fait que pour tout $x\in\R$ on a $\cos x =\sin\left(x+\dfrac{\pi}2\right)$ et 
  $\cos\left(x+\dfrac{\pi}2\right)=-\sin x$, démontrer que la fonction cosinus est dérivable sur $\R$
  et déterminer sa fonction dérivée.
 \end{enumerate}
\end{act}


\begin{theo}
 Les fonctions cos et sin sont dérivables sur $\R$ (donc continues sur $\R$ aussi) et pour tout réel $x$ on a :
$$\cos'(x)=-\sin(x) \qquad \text{ et } \qquad \sin'(x)=\cos(x)$$ 
\end{theo}

\Dem{cf Activité}

\Rq{
On retrouve donc le fait que ces fonctions sont continues sur $\R$, ainsi que leur tableau de variations grâce
au signe de leur dérivée, et enfin on retrouve les deux limites de la partie précédente.
}

\begin{ExoF}
 Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
 $$f:x \longmapsto x^2\cos(x) \qquad \qquad g: x \longmapsto (x^3+2x^2+1)\sin(x) \qquad \qquad 
 h:x \longmapsto \sqrt{x}\sin(3x+2) \qquad \qquad 
 k:x\longmapsto \sqrt{3x+1}\cos(4x-7)$$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Préciser l'ensemble de dérivabilité de la fonction $f$ et calculer l'expression de sa fonction dérivée.
 $$f:x\longmapsto \left(\sin(x)+\dfrac34x-1\right)^4\qquad\qquad
 f:x\longmapsto \dfrac{1}{(1+2x)^2} \qquad \qquad f:x\longmapsto \sqrt{\dfrac{x}{2}-1}
 \qquad \qquad f:x\longmapsto \cos\left(2\pi x + \dfrac{\pi}{4}\right)$$
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\cos(ax+b)$ avec 
 $a\in\R$ et $b\in\left[0;\dfrac{\pi}2\right]$\\
 La courbe représentative de $f$ coupe l'axe des ordonnées en $A(0;1)$.\\
 La tangente à cette courbe en $A$ a pour équation $y=-x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\
 Calculer $a$ et $b$.
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)$
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $f$ est périodique de période $\pi$.
  \item $f$ est-elle paire ? impaire ?
  \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;\pi]$ 
 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f$ définie sur $[0; + \infty[$ par $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{x}}$ si $x>0$
 et $f(0)=0$
 \begin{enumerate}
  \item La fonction $f$ est-elle continue en $0$ ? Justifier.
  \item la fonction $f$ est-elle dérivable en $0$ ? Justifier.
  \item Déterminer $\Lim{+\infty}f(x)$.\\
  En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe représentative de $f$. Vérifier graphiquement.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\cos(x)$.\\
%\textit{Possibilité aussi de le faire avec $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$, pour la limite demandée, cela peut-être intéréssant ... ??}\\
Pour chacune des questions suivantes, entourer la bonne réponse sur le sujet, et \textbf{justifier} sur votre copie.
\begin{enumerate}
 \item La dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f'(x)=$
 \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $\sin(x)$   \item $\cos(x)$   \item $\cos(x)+x\sin(x)$   \item $\cos(x)-x\sin(x)$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ sur $[-2\pi; 2\pi]$ est :
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $2$   \item $3$   \item $4$   \item $5$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item $f'\left(-\dfrac{5\pi}6\right)=$
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $\dfrac{5\pi}{12}$   \item $\dfrac{5\sqrt{2}\pi}{12}$   \item $\dfrac{5\sqrt{3}}{12}$   \item Autre valeur
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item $\lim\limits_{x\to + \infty} \left(f(x)\right)^2$
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $0$   \item $+\infty$   \item n'existe pas   \item Autre réponse
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item $\lim\limits_{x\to - \infty} f\left(\dfrac1x\right)$
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $=0$   \item $=+\infty$   \item n'existe pas   \item Autre réponse
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $f$ est symétrique par rapport à :
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
 \item l'origine   \item l'axe des ordonnées   \item l'axe des abscisses   \item la droite d'équation $y=x$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item La fonction $f$ est :
 \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
 \item paire   \item impaire   \item $2\pi$- périodique   \item Autre réponse
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f:x\longmapsto \dfrac{\sin x}{2+\cos x}$.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\R$.
  \item Montrer que pour tout réel $x\in\R$ on a $f'(x)=\dfrac{1+2\cos x}{(2+\cos x)^2}$
  \item \begin{enumerate}
         \item Soit $x\in \R$. Calculer $f(x+2\pi)$ et $f(-x)$. Que peut-on en conclure ?
         \item En déduire qu'il suffit d'étudier $f$ sur l'intervalle $[0;\pi]$.
        \end{enumerate}
 \item A l'aide du cercle trigonométrique, étudier le signe de $1+2\cos x$ sur $[0; \pi]$.
 \item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;\pi]$.
 \item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ sur $[0;\pi]$ puis sur $[-\pi ; 0]$ et enfin sur 
 $[-3\pi;3\pi]$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\section{Etude de la fonction tangente}

\begin{act}
 Pour tout réel $x$ tel que $\cos(x)\neq 0$, on rappelle que l'on définit la fonction tangente par :
 $$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$$
 \begin{enumerate}
  \item Donner l'ensemble de définition de la fonction tan
  \item Montrer que la fonction tan est $\pi-$périodique. 
  Que peut-on en déduire graphiquement ?
  \item Montrer que la fonction tan est impaire. Que peut-on en déduire graphiquement ?
  \item Proposer alors un intervalle minimal $I$ pour étudier la fonction tan.
  \item On se place sur cet intervalle $I$. \\
  Justifier que la fonction tan est dérivable sur $I$ et que pour tout $x\in I$ on a :
  $$\tan'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)$$
  \item En déduire les variations de la fonction tan sur $I$.
  \item Calculer les limites de la fonction tan aux bornes de $I$. Interpréter graphiquement.
  \item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction tan en $0$.
  \item Calculer $\tan \dfrac{\pi}4$.
  \item En utilisant les données précédentes, tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction tan sur $]-2\pi;2\pi[$.
 \end{enumerate}
\end{act}




 \begin{ExoL}
n$^{\circ}$ 45 + 47 + 59 + 60 p 105 (dérivées et limites)\\
n$^{\circ}$ 53 p 108 (étude de fonctions, tangente)\\
n$^{\circ}$ 71 p 111 (TVI avec trigo)
\end{ExoL}






\end{document}
