\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Repartons \'a la d\'erive !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 5}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\setcounter{NumLecon}{5}

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.5cm}
%\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
\Chacha{mlemaudit.eps}{M le maudit}{Fritz Lang}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston 
Moore (Sonic Youth)}{Il s'agit du premier film parlant de Fritz Lang. Avec le temps, M le maudit est devenu 
un classique reconnu, rivalisant avec les autres œuvres de Lang pour le titre d'opus magnum. Pendant des 
années après la sortie du film, Peter Lorre est resté catalogué comme un méchant pour y avoir été un 
meurtrier d'enfant (et, c'est sous-entendu, un pédophile). M le maudit a été aussi un pionnier dans 
l'utilisation du leitmotiv (Dans l'antre du roi de la montagne, extrait de Peer Gynt d'Edvard Grieg)
pour donner plus d'intensité à l'accompagnement musical.\\
La ville où se déroule l'action n'est pas nommée, et on pourrait croire qu'il s'agit de Düsseldorf, 
d'après les titres en italien et espagnol M, le monstre de Düsseldorf. Pourtant, Fritz Lang décide de 
faire se dérouler le film à Berlin. Plusieurs indices dans le film permettent au spectateur de comprendre 
qu'ils sont à Berlin : une publicité pour un journal berlinois, la carte de Berlin dans le bureau du commissaire, le fait que le commissaire parle d'une ville de 4 millions d'habitants...\\
Claude Beylie décrit « M » comme « […] un magistral exercice de style, un modèle absolu de mise en scène, 
considérée comme une mise en équation de tous les éléments constitutifs du film. Le moindre détail est 
chargé de sens, les plans s'imbriquent selon un ordre infaillible. »
}{1.5}{0.6}{
\item Revoir les fonctions dérivées et leurs applications
\item Découvrir de nouvelles formules
\item Etudier les variations d'une fonction
\item Découvrir deux nouvelles fonctions de référence
}

\TITRE{nolimit.eps}{0.75}

\begin{abstract}
\noindent Ce chapitre reprend les notions et les formules établies en première sur les fonctions dérivées
et leurs applications. De plus, on en verra de nouvelles.
\end{abstract}
\begin{center}
\textit{Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur $\R$ ou sur une partie de $\R$ et à valeurs 
dans $\R$. Les intervalles considérées sont non vides et non réduit à un réel.}
\end{center}


\section{Dérivabilité}
\subsection{Nombre dérivé et équation de tangente : rappels}
\begin{act}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.
\begin{enumerate}
        \item 
        \begin{enumerate}
        \item Faire afficher sur la calculatrice le nombre dérivée de $f$ en $0$.
        \item Vérifier que le calcul de $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$ conduit à une forme indéterminée.
        \item Utiliser la quantité conjuguée de $\sqrt{h^2+1}-1$ pour montrer que 
        $\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h}{\sqrt{h^2+1}+1}$ et conclure.
	\item Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représantative de $f$ au point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	       \item En vous inspirant de la méthode précédente, déterminer $f'(1)$.
	       \item Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représantative de $f$ au point d'abscisse $1$.
	       \item Vérifier le résultat à la calculatrice.
	      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}
\begin{defi}
%Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en $a\in\R$, noté $f'(a)$, est la limite du taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
%lorsque $h$ tend vers $0$, si elle existe (ie s'il s'agit d'un nombre réel).
Rappelons simplement qu'une fonction $f$ est \textbf{dérivable en un réel }$a$ si 
%On dit que $f$ est\textbf{ dérivable en $a\in\R$} si
le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un réel lorsque $h$ tend vers $0$.\\
Dans ce cas, cette limite est appelée \textbf{nombre dérivé de $f$ en $a$}, et est notée $f'(a)$ :
$$f'(a)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} $$
Une fonction $f$ est \textbf{dérivable sur un intervalle $I$} lorsqu'elle est dérivable en tout $a\in I$.\\
Dans ce cas, on appelle \textbf{fonction dérivée} de $f$, notée $f'$, la fonction qui à tout $x \in I$ associe 
le nombre $f'(x)$.
 \end{defi}

\Rq{En Première, on vous a introduit le nombre dérivé d'une fonction $f$ en $a$ comme le coefficient directeur de
la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $A$. Rappelons alors la propriété suivante.} 
 
\begin{prop}
Soit $f$ une fonction, de courbe  représentative $\mathscr C_f$, dérivable en $a\in\R$ et $A$ le point d'abscisse $a$ de $\mathscr C_f$. \\
L'équation réduite de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $a$ est : 
$$y=f'(a)(x-a)+f(a) $$
\end{prop}

\Dem{
L'équation réduite de la tangente $T_a$ à $\mathscr C_f$ passant par $A$ est de la forme : 
$$ y=mx+p\qquad \text{ avec }m=f'(a)$$
De plus, comme $A(a;f(a))$ est un point de $T_a$, les coordonnées de $A$ vérifient l'équation de $T_a$ :
$$ f(a)=f'(a)a+p\Longleftrightarrow p=f(a)-f'(a)a$$
Au final l'équation de $T_a$ est $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a\Longleftrightarrow y=f'(a)(x-a)+f(a)$
}

\begin{ExoC}
On donne $f$ la fonction définie sur $\R$ par $ f(x)=-x^2+3\qquad \text{et} \qquad a=2$.\\
Donner l'équation de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $2$. Contrôler graphiquement 
votre résultat.
\end{ExoC}

\subsection{Lien entre continuité et dérivabilité}
\begin{prop}
Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$. \textbf{La réciproque est fausse}.
\end{prop}

\Dem{Si $f$ est dérivable en $a$ alors 
 $$ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =f'(a)$$
 Autrement dit pour $h$ proche de $0$, il existe une fonction $\epsilon$ tel que :
 $$ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)+\epsilon(h) \qquad \text{avec } \lim\limits_{h\to 0} \epsilon(h)=0$$
 c'est-à-dire :
 $$ f(a+h)-f(a)=hf'(a)+h\epsilon(h) \qquad \text{avec } \lim\limits_{h\to 0} \epsilon(h)=0$$
 c'est-à-dire :
 $$ f(a+h) = f(a)+hf'(a)+h\epsilon(h) \qquad \text{avec } \lim\limits_{h\to 0} \epsilon(h)=0$$
 On obtient alors :
 $$ \lim\limits_{h\to 0} f(a+h)=f(a) \iff \Lim{a}f(x)=f(a)$$
 ce qui signifie que $f$ est continue en $a$.
}
 
\newpage
\Rqs{
  \item La fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est continue en $0$ (à droite) mais n'est pas dérivable en $0$.
\item La fonction valeur absolue est continue en $0$, mais elle n'est pas dérivable en $0$.
\item La continuité d'une fonction en $a$ traduit l'absence de \og saut \fg en son point d'abscisse $a$\\
La dérivabilité d'une fonction en $a$ indique que sa courbe représentative admet une tangente 
non verticale en son point d'abscisse $a$ (graphiquement, la courbe est \og lisse \fg).
 \item Par convention, les flèches d'un tableau de variations d'une fonction $f$ traduisent la continuité et 
la stricte monotonie de $f$ sur les intervalles considérés. }

\begin{ExoF}
  \begin{enumerate}
 \item Montrer que pour $h\neq 0$ on a :
 $$ \dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$$
 \item Déterminer la limite lorsque $h\to 0^+$ de :
 $$ \dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h-0}$$
 \item En déduire que la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en $0$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  \begin{enumerate}
 \item Montrer que pour $h>0$ on a :
 $$ \dfrac{|h|-|0|}{h-0}=1$$
 \item En déduire la limite, à droite de $0$, du taux d'accroissement de la fonction valeur absolue.
 \item Montrer que pour $h<0$ on a :
  $$ \dfrac{|h|-|0|}{h-0}=-1$$
\item En déduire la limite, à gauche de $0$, du taux d'accroissement de la fonction valeur absolue.
\item En déduire que la fonction $x\mapsto |x|$ n'est pas dérivable en $0$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\subsection{Dérivées des fonctions de référence}
\begin{act}
\begin{enumerate}
      \item Soit $u$ une fonction positive et dérivable sur un intervalle $I$ 
 et $g$ la fonction définie sur $I$ par $g(x)=\sqrt{u(x)}$. \\
On cherche à savoir si la fonction $g$ est dérivable sur $I$ et à connaître son éventuelle fonction dérivée.\\
Soit $a \in I$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}$ conduit à une forme indéterminée.
 \item S'inspirer de la méthode de l'exemple précédent pour montrer que $\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\times \dfrac{1}{\sqrt{u(a+h)}+\sqrt{u(a)}}$.
  \item Conclure.
\end{enumerate}
\item Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. 
\begin{enumerate}
 \item Soit $n\in\N^*$. On cherche à savoir si la fonction $u^n$ est dérivable sur $I$, et à connaître son éventuelle fonction dérivée en fonction de $n$.
\\
 Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel non nul $n$, on a 
 $$(u^n)'=nu'u^{n-1}$$
 \item On suppose de plus que $u$ ne s'annule pas sur $I$ et on pose $n\in\Z^*$. On cherche à savoir si la fonction
$u^n$ est dérivable sur $I$, et à connaître son éventuelle fonction dérivée en fonction de $n$.\\
Soit $m>0$. 
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant la question 2a) montrer que $\left(\dfrac{1}{u^m}\right)'=\dfrac{-mu'}{u^{m+1}}$
  \item En déduire que pour tout $n<0$, on a $(u^n)'=nu'u^{n-1}$
 \end{enumerate}
\item Conclure. 
\end{enumerate}
     \end{enumerate}
\end{act}

Les dérivées des fonctions de référence sont, je l'espère, déjà acquises. Aussi, nous ne rappelons et complétons ici que les règles
pour les composées de fonctions.\\

Dans le tableau suivant, $u$ et $v$ désignent deux \textbf{fonctions} d\'erivables 
sur un intervalle $I$ et $k$ d\'esigne un nombre r\'eel.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{3cm}|}
\hline
\multicolumn{4}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{6ex}\textbf{\begin{LARGE}
Opération sur les dérivées
\end{LARGE}} } \tabularnewline
\multicolumn{4}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{5ex}\textbf{lorsque $u$, $v$ et $f$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$} } \tabularnewline
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-2ex]{0pt}{6ex} \textbf{Fonction}} 
& \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{D\'eriv\'ee} }
& \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Condition  $\forall x \in I$} }
& \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Domaine de dérivabilité} }
%& \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {Ensemble de dérivabilité}
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ku$ & $ku'$ & & $I$
%& Si $f(x)=5x^3$ \quad alors \quad $f'(x)=5\times 3x^2 = 15x^2$ 
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u+v$ & $u'+v'$ & & $I$
%& Si $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=1+\left(-\dfrac1{x^2} \right) = 1-\dfrac{1}{x^2}$ 
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u\times v$ &  $u'v+uv'$ & & $I$
%& Si $f(x)=x\sqrt{x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=1 \times \sqrt{x}+x \times\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x+x}{2\sqrt{x}} = \dfrac32\sqrt{x}$  
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u^n$, $n \in \Z^*$ &  $nu'u^{n-1}$ & Si $n<0$ :  $u(x) \neq 0$ & $I$
%& Si $f(x)=(5x+3)^7$ \quad alors \quad  $f'(x)=7\times 5 \times (5x+3)^6 = 35(5x+3)^6$  
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$ & $v(x) \neq 0$ & $I$
%& Si $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ \quad alors \quad  $f'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}$ 
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{u}{v}$ &$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ & $v(x) \neq 0$& $I$
%& Si $f(x)=\dfrac{3x+2}{4-2x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=\dfrac{3(4-2x)-(3x+2)\times(-2)}{(4-2x)^2}=\dfrac{16}{(4-2x)^2}$ 
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\sqrt{u}$ &$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ & $u(x) \geq  0 $& $I$ privé des $x$ tels que $u(x)=0$.
%& à changer \quad alors \quad  $f'(x)=\dfrac{3(4-2x)-(3x+2)\times(-2)}{(4-2x)^2}=\dfrac{16}{(4-2x)^2}$ 
\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}


\Expls{
Si $f(x)=(5x+3)^7$ sur $\R$  alors $f$ est dérivable sur $\R$ et  
$f'(x)=7\times 5 \times (5x+3)^6 = 35(5x+3)^6$.\\
Si $g(x)=\sqrt{5x+3}$ sur $\left[\dfrac35 ; +\infty\right[$  alors $g$ est dérivable sur 
$\left]\dfrac35 ; +\infty\right[$ et  $g'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x+3}}$.
}
 
\Dem{
Démontrons uniquement les résultats nouveaux (Cf travail de l'élève précédent) 
\begin{itemize}
 \item $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ pour $n\in \Z^*$\\
Raisonnons par récurrence sur $\N^*$. \\
Pour $n=1$, on a $(u^n)'=(u^1)'=u'$  et $nu' u^{n-1} = 1 \times u' \times u^{1-1} = u'$.\\
Donc la proposition est vraie au rang $1$.\\
Supposons qu'il existe un $k\in\N^*$ tel que $(u^k)'=nu'u^{k-1}$.\\
Alors on a $u^{k+1} = u^k \times u $. \\
On applique la formule pour dériver un produit et on obtient 
$$(u^{k+1})' = ku'u^{k-1} \times u + u^k \times u' = ku'u^k+u'u^k = (k+1)u'u^k$$
Donc la proposition est héréditaire. Elle est vraie pour tout $n\in\N^*$.\\
Supposons désormais que $n<0$, alors $m=-n$ est strictement positif. Ainsi 
$$u^n = \dfrac1{u^{-n}}=\dfrac{1}{u^m}=\left(\dfrac{1}{u}\right)^m$$
avec $m>0$.
\end{itemize}
D'après ce qui précède, et la formule de dérivée de l'inverse, on a alors :
\begin{eqnarray*}
(u^n)' &=& \left(\dfrac{1}{u^m}\right)'\\
&=&\dfrac{0 \times u^m -mu'u^{m-1}\times 1}{u^{2m}}\\
&=& \dfrac{-mu'}{u^{2m-(m-1)}}\\
&=& \dfrac{-mu'}{u^{m+1}}\\
&=& \dfrac{nu'}{u^{-n+1}}\\
&=& nu' \times u^{n-1} 
\end{eqnarray*}
Donc la proposition est vrai aussi pour tout $n<0$. Au final, elle est vraie sur $\Z^*$.
\begin{itemize}
 \item $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$\\
 Soit $a\in I$. Le taux d'accroissement de $\sqrt{u}$ en $a$ est :
 \begin{eqnarray*}
  \tau(a)&=&\dfrac{\sqrt{u(a+h)}-\sqrt{u(a)}}{h}\\
  &=& \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h\left(\sqrt{u(a+h)}+\sqrt{u(a)}\right)} \quad \text{multiplication par l'expression conjuguée)}\\
\end{eqnarray*}
On obtient alors 
$$\lim\limits_{h \to 0} \tau(h) 
= \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\times \dfrac{1}{\sqrt{u(a+h)}+\sqrt{u(a)}} 
= u'(a) \times \dfrac1{2\sqrt{u(a)}}$$
Ceci est bien un réel car $u(a) \neq 0$, et ceci est vrai pour tout $a\in I$ telle que $u(a)\neq 0$.
Donc on obtient le résultat du tableau.
\end{itemize}
}

 
\subsection{Composée de fonctions $f \circ u$}
 
\begin{theo}
 Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $a$, $b$ deux réels.\\
 Soit $u$ une fonction affine définie par $u(x)=ax+b$ sur un intervalle $J$
 tel que $u(J) \subset I$.\\
 On appelle $g$ la fonction $f\circ u$ définie sur $J$. Ainsi :
 $$\begin{array}{ccccc} 
                      g & : & J &\longrightarrow & \R              \\
                        &   & x &\longmapsto & f(ax+b)
                                                \end{array}$$
La fonction $g$ est dérivable sur $J$ et pour tout $x\in J$ on a $g'(x) = a \times f'(ax+b)$
\end{theo}
 
\Expl{
On constate que les exemples précédents peuvent être retrouvés grâce à ce théorème (à faire). \\
Il nous sera par contre indispensable
pour les fonctions affine suivie d'une fonction cosinus ou sinus.
} 
 
\Dem{
Soit $t\in J$. Le taux d'accroissement de $g$ en $t$ est :
\begin{eqnarray*}
 \tau(h)&=&\dfrac{g(t+h)-g(t)}{h}\\
 &=&\dfrac{f\left(a(t+h)+b\right)-f(at+b)}{h} \\
 &=& \dfrac{f(at+b+ah)-f(at+b)}{h}
\end{eqnarray*}
On pose $T=at+b$ et $H=ah \iff h=\dfrac{H}{a}$. Alors on a :
\begin{eqnarray*}
 \tau(h)&=&\dfrac{f(T+H)-f(T)}{\dfrac{H}{a}}\\
 &=&a\times \dfrac{f(T+H)-f(T)}{H} 
\end{eqnarray*}
Comme $t\in J$, on a $T\in I$ par définition de $J$. Donc $f$ est dérivable en $T$. \\
De plus, quand $h$ tend vers $0$, $H=ah$ aussi. D'où :
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{h\to 0} \tau(h)&=& \lim\limits_{H \to 0} a\times \dfrac{f(T+H)-f(T)}{H} \\
&=&a \times \lim\limits_{H \to 0} \dfrac{f(T+H)-f(T)}{H} \\
&=& a f'(T) \\
&=& a f'(at+b)
\end{eqnarray*}
D'où $g'(t)=af'(at+b)$. Ceci étant vrai pour tout $t\in J$, on a bien le théorème.
}
 

\Rq{
Les trois cas démontrés cette année sont en fait des cas particuliers 
de la dérivée d'une fonction composée $g=f \circ u$, où $u$ n'est pas forcément affine. \\
On admettra le résultat général (non au programme) suivant : }
\begin{theo}
 Soit $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle $I$ et $u$ une fonction dérivable 
 sur un intervalle $J$ à valeurs dans $I$ alors $f\circ u$ est dérivable sur l'intervalle $J$ 
 et pour $x\in J$ on a :
 $$(f\circ u)'(x)=u'(x) \times f'\circ u(x)$$
\end{theo}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
 \item On considère la fonction $f$ définie sur $\left]-\infty; \dfrac{2}{3}\right]$ par $f(x)=\sqrt{-3x+2}$.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $f$ est dérivable sur $ \left]-\infty; \dfrac{2}{3}\right[$ et calculer $f'(x)$ pour $x\in  \left]-\infty; \dfrac{2}{3}\right[$
 \item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
 \end{enumerate}
 \item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
 $$ g(x)=\left(-3x+2\right)^5$$
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $g$ est dérivable sur $\R$ et calculer $g'(x)$ pour $x\in \R$.
 \item En déduire son tableau de variation.
 \end{enumerate}
 \item On considère la fonction $h$ définie sur $\R\textbackslash \left\{\dfrac{5}{3}\right\}$ par $h(x)=\dfrac{1}{3x-5}$
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $h$ est dérivable sur $\R\textbackslash \left\{\dfrac{5}{3}\right\}$ et calculer $h'(x)$ pour $x\neq \dfrac{5}{3}$.
 \item En déduire le tableau de variation de $h$.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  \begin{enumerate}
 \item   Déterminer l'ensemble de dérivabilité et l'expression de la fonction dérivée de la fonction $f$ définie par :
 $$ f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$$
 \item En déduire le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x}}$.
  \begin{enumerate}
 \item Donner les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$ ; préciser les éventuelles asymptotes.
 \item Déterminer l'ensemble de dérivabilité de $f$ et l'expression de la fonciton dérivée de $f$.
 \item En déduire le tableau de variations de $f$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}




 
 \begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 101-112 p 80 (fonctions rationnelles + Xcas)\\
n$^{\circ}$ 107 p 83 (asymptote oblique)\\
n$^{\circ}$ 108 p 83 (fonction auxiliaire classique)\\
n$^{\circ}$ 127 p 87 (suite des polynômes de Tchebychev)
 \end{ExoL}

\newpage
\section{Etude des fonctions trigonométriques de référence} 
 \subsection{Variations et propriétés}
\Act{\textit{On utilise le logiciel Géogébra.}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Figure de base}
\begin{enumerate}
       \item Ouvrir Géogébra et faire afficher le repère orthonormé $(O;I;J)$. 
 \item Choisir le radian comme unité d'angle dans \og Options \fg.
 \item Tracer le cercle trigométrique de centre $O$.
  \item Créer un curseur $t$, variant entre $-5\pi$ et $5\pi$.
 \item On veut placer un point $M$ associé au réel $t$ sur le cercle. \\
 Pour cela, dans la ligne de commande, saisir l'instruction suivante : $M=(1;t)$\\\\
 \Rq{Attention, le point-virgule est essentiel ! En effet, le couple $(1;t)$ ne désigne pas pour Géogébra 
 les coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère $(O;I;J)$, mais lui indique que $M$ sera à une distance $1$
 de l'origine $O$ du repère (donc il sera bien sur le cercle), et tel que $\left(\overrightarrow{OI} ; 
 \overrightarrow{OM} \right)= t$ radians. On parle de coordonnées \textbf{ polaires}.}
 \item Créer en ligne de commande le point $C$ de coordonnées $(x_M,0)$ et le point $S$ de coordonnées $(0,y_M)$
      \end{enumerate}
 \item \textbf{Variations} \begin{enumerate}
        \item Quelle est l'abscisse du point $M$ dans le repère $(O;I;J)$ ? Son ordonnée ?
 \item Avec le curseur, déplacer le point $M$. \\
 Décrire son trajet, ainsi que ceux de $C$ et de $S$ correspondants.
  \item En déduire les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur $[-5\pi ; 5\pi]$.\\
  \textit{On précisera les valeurs où ces fonctions s'annulent.}
        \end{enumerate}
 \item \textbf{Courbes représentatives}
 \begin{enumerate}
  \item Compléter la figure précédente en crééant les points $R$ et $Q$ de coordonnées respectives 
  $(t,x_M)$ et $(t,y_M)$.
  \item Faire afficher leurs traces. Quelles courbes représentatives voient-on se dessiner ?
  \item Vérifier la cohérence entre les courbes obtenus et vos tableaux.
 \end{enumerate}
\item \textbf{Propriétés}
\begin{enumerate}
 \item Quelles propriétés constatez-vous pour les deux courbes ? Pouvez-vous la justifier ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction cosinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
 Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction sinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
} 

\Act{En complément pour la parité (en AP ??) : Activité 3 p 93 (Déclic)} 
 
Le plan étant muni d'un repère orthonormé direct $\left(O ; \vec i ; \vec j \right)$, on peut associer à tout réel $x$ un unique
point $M$ sur le cercle trigonométrique (orienté, de rayon 1 avec une origine).\\

\begin{defi}
 La fonction qui à tout réel $x$ associe l'abscisse de $M$ est la fonction cosinus, notée cos. Ainsi $x \longmapsto \cos(x)$
 est définie sur $\R$.\\
La fonction qui à tout réel $x$ associe l'ordonnée de $M$ est la fonction sinus, notée sin. 
Ainsi $x \longmapsto \sin(x)$  est définie sur $\R$.
 \end{defi}

\begin{prop}[Définitions]
 Pour tout réel $x$, les points du cercle trigonométrique associés aux réels $x$ et $(x+2\pi)$ sont confondus. 
 Ainsi, $\forall x \in \R$ on a :
 $$\cos(x+2\pi) = \cos(x) \qquad \text{et} \qquad \sin(x+2\pi)=\sin(x)$$
 On dit que les fonctions cosinus et sinus sont \textbf{périodiques}, de période $2\pi$.
\end{prop}
 
\Rqs{
\item Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction périodique, de période $T$ (ie telle que $f(x+T)=f(x)$
pour tout $x\in D_f$) sur l'intervalle $[0;T]$ est la même que sur tout intervalle du type $[kT;(k+1)T]$, où $k\in\Z$.
\item Grâce à cette propriété, il suffira d'étudier ces fonctions sur un intervalle de taille $2\pi$ 
de notre choix, par exemple $[-\pi ; \pi]$.} 

\begin{prop}[Définitions]
 Pour tout réel $x$, les points $M$ et $M'$ du cercle trigonométrique, associés respectivement à $x$ et $-x$ 
 sont symétriques par rapport  à l'axe des abscisses. 
 Ainsi, $\forall x \in \R$ on a :
 $$\cos(-x) = \cos(x) \qquad \text{et} \qquad \sin(-x)=-\sin(x)$$
 On dit que la fonction cosinus est \textbf{paire} et la fonction sinus est \textbf{impaire}.
\end{prop}

\Rqs{
\item Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction paire (ie tel que $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in D_f$)
est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.\\
Celle d'une fonction impaire (ie telle que $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in D_f$) est symétrique par rapport à 
l'origine du repère.
\item Grâce à cette propriété, on peut limiter l'étude de ces fonctions à un intervalle de longueur $\pi$, par exemple
$[0;\pi]$}

Reproduire les tableaux et les illustrations de la page 94 du Déclic, pour résumer les résultats précédents.

\subsection{Dérivées}

\Act{Déclic : Activité 2 p 92}

\begin{theo}
 Les fonctions cos et sin sont dérivables sur $\R$ (donc continues sur $\R$ aussi) et pour tout réel $x$ on a :
$$\cos'(x)=-\sin(x) \qquad \text{ et } \qquad \sin'(x)=\cos(x)$$ 
\end{theo}

\Dem{Exo 44 p 108}

\begin{prop}
 On en déduit la limite suivante à connaître :
 $$\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin(x) }{x} = 1$$
\end{prop}

\Dem{
On a $\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin(x) }{x}= \lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin(x)-\sin(0) }{x-0}  
= \lim\limits_{h\to 0 } \dfrac{\sin(0+h)-\sin(0) }{h} 
=\sin'(0) =1$
}




 \begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 12 p 99 (fct tangente, en DM ?)\\
n$^{\circ}$ 23 + 28 à 31 + 45 + 47 + 59 + 60 p 105 (dérivées et limites)\\
n$^{\circ}$ 50-51-53-65 p 108 (étude de fonctions, tangente)\\
n$^{\circ}$ 66-72 p 111 (avec une fonction auxiliaire)
n$^{\circ}$ 68 p 113 (suite de fonctions)
n$^{\circ}$ 71 p 111 (TVI avec trigo)
\end{ExoL}




\end{document}