\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{D\'epasser ses limites}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\setcounter{NumLecon}{4}

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.5cm}
%\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
\Chacha{mlemaudit.eps}{M le maudit}{Fritz Lang}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston 
Moore (Sonic Youth)}{Il s'agit du premier film parlant de Fritz Lang. Avec le temps, M le maudit est devenu 
un classique reconnu, rivalisant avec les autres œuvres de Lang pour le titre d'opus magnum. Pendant des 
années après la sortie du film, Peter Lorre est resté catalogué comme un méchant pour y avoir été un 
meurtrier d'enfant (et, c'est sous-entendu, un pédophile). M le maudit a été aussi un pionnier dans 
l'utilisation du leitmotiv (Dans l'antre du roi de la montagne, extrait de Peer Gynt d'Edvard Grieg)
pour donner plus d'intensité à l'accompagnement musical.\\
La ville où se déroule l'action n'est pas nommée, et on pourrait croire qu'il s'agit de Düsseldorf, 
d'après les titres en italien et espagnol M, le monstre de Düsseldorf. Pourtant, Fritz Lang décide de 
faire se dérouler le film à Berlin. Plusieurs indices dans le film permettent au spectateur de comprendre 
qu'ils sont à Berlin : une publicité pour un journal berlinois, la carte de Berlin dans le bureau du commissaire, le fait que le commissaire parle d'une ville de 4 millions d'habitants...\\
Claude Beylie décrit « M » comme « […] un magistral exercice de style, un modèle absolu de mise en scène, 
considérée comme une mise en équation de tous les éléments constitutifs du film. Le moindre détail est 
chargé de sens, les plans s'imbriquent selon un ordre infaillible. »
}{1.5}{0.6}{
\item Maîtriser les opérations sur les limites.
\item Déterminer des limites par comparaison.
\item Interpréter graphiquement les limites obtenues.
}

\TITRE{nolimit.eps}{0.75}

\begin{abstract}
\noindent Ce chapitre étend simplement la notion de limite étudiée pour les suites. Il s'agit d'une bonne occasion pour réviser
et revoir les méthodes employées.\\
Cependant, ce chapitre est essentiel pour découvrir la suite du programme, et servira à toute étude de fonction digne de ce nom. 
Il n'est donc pas à négliger.
\end{abstract}
\begin{center}
\textit{Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur $\R$ ou sur une partie de $\R$ et à valeurs 
dans $\R$. Les intervalles considérées sont non vides et non réduit à un réel.}
\end{center}


\section{Limite d'une fonction}
\subsection{Activités d'approche}
\begin{act}
On note $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{-2x^2+1}{4-x^2}$. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
 \item Etude des variations de $f$
 \begin{enumerate}
  \item Dériver $f$ sur son ensemble de définition.\\
  \textit{On rappelle la formule à connaître désormais par coeur } \fbox{$(uv)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$}
\item Dresser alors le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
 \item On aimerait rajouter des informations \og au bout des flèches \fg du tableau.
 \begin{enumerate}
  \item A l'aide de votre calculatrice, conjecturer graphiquement ces valeurs.
  \item A votre avis, comment les appelle-t-on ? les note-t-on ? les définit-on ?
 \end{enumerate}
 \item Justification en l'infini :
 \begin{enumerate}
  \item Dresser le tableau de signe de $f(x)-2$
  \item Ecrire alors $|f(x)-2|$ sans valeur absolue.
  \item On considère un réel $\varepsilon$ strictement positif.
\begin{enumerate}
       \item Montrer qu'il existe un réel $x_0$ tel que pour tout $x\geq x_0$ on ait $|f(x)-2|<\varepsilon$.\\
\item De même, montrer qu'il existe un réel $x_0$ tel que pour tout $x\leq x_0$ on ait $|f(x)-2|<\varepsilon$.\\
      \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\newpage
\begin{act}
On note $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{2+x}$. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
 \item Etude des variations de $f$
 \begin{enumerate}
  \item Dériver $f$ sur son ensemble de définition.
\item Dresser alors le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
 \item On aimerait rajouter des informations \og au bout des flèches \fg du tableau.
 \begin{enumerate}
  \item A l'aide de votre calculatrice, conjecturer graphiquement ces valeurs.
  \item A votre avis, comment les appelle-t-on ? les note-t-on ? les définit-on ?
 \end{enumerate}
 \item Justification en l'infini :
 \begin{enumerate}
  \item On considère un réel $A$ strictement positif.
\begin{enumerate}
       \item Montrer qu'il existe un réel $x_0$ tel que pour tout $x\geq x_0$ on ait $f(x)>A$.
\item De même, montrer qu'il existe un réel $x_0$ tel que pour tout $x\leq x_0$ on ait $f(x)<A$.\\
      \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}



\subsection{Limite finie en l'infini}

\begin{defi}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $]a ; +\infty[$ et un réel $\ell$.\\
On dit que $f$ \textbf{admet pour limite $\ell$ (ou tend vers $\ell$) quand $x$ tend vers $+\infty$}, 
lorsque tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$ (aussi petit soit-il) contient aussi toutes 
les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell$$
On dit que la droite d'équation $y=\ell$ est \textbf{asymptote hoizontale} à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$. 
\end{defi}

 \begin{center}
 \scalebox{0.9} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-5.5)(11.700937,2.5)
\definecolor{color2274b}{rgb}{0.6274509803921569,0.7529411764705882,0.7372549019607844}
\definecolor{color1054}{rgb}{0.9176470588235294,0.14901960784313725,0.14901960784313725}
\psframe[linewidth=0.002,linecolor=white,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm,dimen=outer,fillstyle=solid,fillcolor=color2274b](11.680938,0.0)(7.9809375,-1.0)
\rput(1.6809375,-4.5){\psaxes[linewidth=0.04,labels=none,ticks=none,ticksize=0.10583333cm]{->}(0,0)(-1,-1)(10,7)}
\psline[linewidth=0.04cm](0.6809375,-0.5)(11.680938,-0.5)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](0.6809375,0.0)(11.680938,0.0)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](11.680938,-1.0)(0.6809375,-1.0)
\pscustom[linewidth=0.04,linecolor=color1054]
{
\newpath
\moveto(0.6809375,2.2)
\lineto(0.9309375,2.1)
\curveto(1.0559375,2.05)(1.2809376,1.825)(1.3809375,1.65)
\curveto(1.4809375,1.475)(1.6559376,1.175)(1.7309375,1.05)
\curveto(1.8059375,0.925)(1.9059376,0.65)(1.9309375,0.5)
\curveto(1.9559375,0.35)(2.0059376,0.075)(2.0309374,-0.05)
\curveto(2.0559375,-0.175)(2.1309376,-0.4)(2.1809375,-0.5)
\curveto(2.2309375,-0.6)(2.3309374,-0.8)(2.3809376,-0.9)
\curveto(2.4309375,-1.0)(2.5309374,-1.175)(2.5809374,-1.25)
\curveto(2.6309376,-1.325)(2.7309375,-1.475)(2.7809374,-1.55)
\curveto(2.8309374,-1.625)(3.0059376,-1.7)(3.1309376,-1.7)
\curveto(3.2559376,-1.7)(3.4809375,-1.675)(3.5809374,-1.65)
\curveto(3.6809375,-1.625)(3.8559375,-1.525)(3.9309375,-1.45)
\curveto(4.0059376,-1.375)(4.1059375,-1.2)(4.1309376,-1.1)
\curveto(4.1559377,-1.0)(4.2309375,-0.825)(4.2809377,-0.75)
\curveto(4.3309374,-0.675)(4.4559374,-0.55)(4.5309377,-0.5)
\curveto(4.6059375,-0.45)(4.7809377,-0.375)(4.8809376,-0.35)
\curveto(4.9809375,-0.325)(5.1559377,-0.35)(5.2309375,-0.4)
\curveto(5.3059373,-0.45)(5.4309373,-0.575)(5.4809375,-0.65)
\curveto(5.5309377,-0.725)(5.6309376,-0.875)(5.6809373,-0.95)
\curveto(5.7309375,-1.025)(5.8309374,-1.175)(5.8809376,-1.25)
\curveto(5.9309373,-1.325)(6.0559373,-1.45)(6.1309376,-1.5)
\curveto(6.2059374,-1.55)(6.3309374,-1.675)(6.3809376,-1.75)
\curveto(6.4309373,-1.825)(6.6309376,-1.875)(6.7809377,-1.85)
\curveto(6.9309373,-1.825)(7.1809373,-1.75)(7.2809377,-1.7)
\curveto(7.3809376,-1.65)(7.5559373,-1.525)(7.6309376,-1.45)
\curveto(7.7059374,-1.375)(7.8559375,-1.2)(7.9309373,-1.1)
\curveto(8.005938,-1.0)(8.130938,-0.775)(8.180938,-0.65)
\curveto(8.230938,-0.525)(8.405937,-0.375)(8.530937,-0.35)
\curveto(8.655937,-0.325)(8.880938,-0.35)(8.980938,-0.4)
\curveto(9.080937,-0.45)(9.255938,-0.55)(9.330937,-0.6)
\curveto(9.405937,-0.65)(9.605938,-0.725)(9.730938,-0.75)
\curveto(9.855938,-0.775)(10.055938,-0.75)(10.130938,-0.7)
\curveto(10.205937,-0.65)(10.405937,-0.55)(10.530937,-0.5)
\curveto(10.655937,-0.45)(10.855938,-0.35)(10.930938,-0.3)
\curveto(11.005938,-0.25)(11.180938,-0.175)(11.280937,-0.15)
\curveto(11.380938,-0.125)(11.530937,-0.15)(11.680938,-0.3)
}
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](7.9809375,-4.5)(7.9809375,0.1)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1,2.5){$\mathscr C_f$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(8.002344,-4.895){$x_0$}
\rput(1.5,2.5){$y$}
\rput(11.5,-4.895){$x$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(0.5,-0.5){$\ell$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(0,0){$\ell + \varepsilon$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(0,-1){$\ell - \varepsilon$}
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](9.680938,-4.5)(9.680938,-0.5)
\psdots[dotsize=0.162,dotstyle=x](9.681,-0.73)
\psdots[dotsize=0.16,dotstyle=x](9.681,-0.5)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(9.4,-0.295){$N$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(9.4,-0.85){$M$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.3723438,-4.795){$O$}
\end{pspicture} 
}
\end{center}

\Rqs{
\item Cela signifie que la distance entre $f(x)$ et $\ell$, ie $|f(x)-\ell|=MN$, peut être rendue aussi petite que l'on veut 
dès que $x$ est assez grand, ie :
$$\forall \varepsilon>0 , \quad \exists x_0 \in\R, \quad \forall x>x_0 , \quad |f(x)-\ell |<\varepsilon
\iff  \lim\limits_{x \to +\infty}|f(x)-\ell|=0 $$
\item Graphiquement, la courbe représentative se rapproche autant que l'on veut de la droite 
d'équation $y=\ell$.
\item On définit de même $ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\ell$ , 
et l'asymptote horizontale en $-\infty$, avec $-x$ assez grand, ou encore $x$ \og assez grand dans les négatifs \fg :
$$\forall \varepsilon>0 , \quad \exists x_0 \in\R, \quad \forall x<x_0 , \quad |f(x)-\ell |<\varepsilon 
\iff  \lim\limits_{x \to -\infty}|f(x)-\ell|=0 $$
Pour les suites, cette limite n'aurait pas de sens, puisque $n$ possède un rang de départ, c'est pour cela
que l'on ne regardait les limites que quand $n$ tendait vers $+\infty$...
}


\Expl{Montrons que $ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x} =0$, ie montrons que 
si $\varepsilon>0$ alors il existe une valeur  $x_0$ telle que pour tout $x >x_0$ on a $|f(x) - 0|<\varepsilon$. \\

Pour cela, considérons $\varepsilon>0$ et trouvons tel un réel $x_0$ (cela montrera donc qu'il en existe un).\\
Remarquons déjà que $ \forall x\in\R^{+*}$,  on a $f(x) -0= \dfrac1x >0$. Donc $|f(x) - 0|=\dfrac1x$.\\
\textit{Ne considérer que le car $x>0$ suffit car $x$ tend vers $+\infty$}\\
Ainsi :
$$ \quad |f(x) -0|<\varepsilon \stackrel{x>0}{\iff} \dfrac1x < \varepsilon \Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{\varepsilon}$$
Donc, il suffit de choisir  $x_0=\dfrac{1}{\varepsilon}>0$, et on a bien que $\forall x>x_0, \quad|f(x) -0|<\varepsilon $.
\qquad D'où $ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x} =0$.\\

On a de même $ \lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x} =0$.
En effet, $ \forall x\in\R^{-*}$,  on a $f(x) -0= \dfrac1x <0$. Donc $|f(x) - 0|=-\dfrac1x$ et : 
$$  \quad |f(x) -0|<\varepsilon  \stackrel{x<0}{\iff} -\dfrac{1}{x}<\varepsilon \iff x<-\dfrac{1}{\varepsilon}$$
Ainsi, il suffit de choisir  $x_0=-\dfrac{1}{\varepsilon}<0$, et on a bien que $\forall x<x_0, \quad |f(x) -0|<\varepsilon $.
\qquad D'où $ \lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x} =0$.\\

La droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction inverse en $+\infty$ et 
en $-\infty$.}

\begin{ExoC}
 Proposer plusieurs fonctions qui admettent des limites finies en $+\infty$ ou en $-\infty$. \\
Interpréter graphiquement ce résultat.
\end{ExoC}


\subsection{Limite infini en l'infini}

\begin{defi}
Une fonction $f$ \textbf{tend vers} :
\begin{itemize}
\item  \textbf{$+\infty$  quand $x$ tend vers $+\infty$}, lorsque tout intervalle du type $]A;+\infty[$, 
avec $A\in\R$, contient toutes les images $f(x)$ pour $x$ assez grand et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$$
\item \textbf{$-\infty$  quand $x$ tend vers $+\infty$}, lorsque tout intervalle du type $]-\infty;A[$, 
avec $A\in\R$, contient toutes les images $f(x)$ pour $x$ assez grand et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$$
\end{itemize} 
\end{defi}

\newpage
\textbf{Illustrations} :\\
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{nivaud.2}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 
\includegraphics[scale=1]{nivaud.3}
\end{center}

\Rqs{
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ signifie que $f(x)$, peut être rendu aussi grand que l'on veut 
dès que $x$ est assez grand, ie :
$$\forall A , \quad \exists x_0 \in\R, \quad \forall x>x_0 , \quad f(x)>A$$
\item $ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$ signifie que $f(x)$, peut être rendu aussi grand que l'on veut \og dans les négatifs \fg
dès que $x$ est assez grand, ie :
$$\forall A , \quad \exists x_0 \in\R, \quad \forall x>x_0 , \quad f(x)<A$$
\item Les définitions de limite quand $x$ tend vers $-\infty$ sont analogues aux précédentes, avec $x$ \og assez grand 
dans les négatifs \fg
%$$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty \iff \forall A , \quad \exists x_0 \in\R, \quad \forall x<x_0 , \quad f(x)>A$$
%$$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty \iff \forall A , \quad \exists x_0 \in\R, \quad \forall x<x_0 , \quad f(x)<A$$
}

\begin{ExoC}
\begin{itemize}
 \item Proposer un exemple de fonction polynôme de degré $2$ dont la limite en $+\infty$ est $-\infty$.
\item Proposer un exemple de fonction polynôme de degré $2$ dont la limite en $-\infty$ est $-\infty$.
\item Proposer un exemple de fonction polynôme de degré $2$ dont la limite en $-\infty$ est $+\infty$.
 \item Proposer un exemple de fonction rationnelle dont la limite en $+\infty$ est $-\infty$.
\item Proposer un exemple de fonction rationnelle dont la limite en $-\infty$ est $+\infty$.
\item Proposer un exemple de fonction rationnelle dont la limite en $-\infty$ est $-\infty$.
\end{itemize}
\end{ExoC}
 

\Expl{Montrons que $ \lim\limits_{x \to +\infty}x^2 =+\infty$, ie montrons que si $A\in\R$ 
alors il existe une valeur  $x_0$ telle que pour tout $x >x_0$ on a $f(x) >A$. \\
Pour cela, considérons $A\in\R$ et trouvons un tel $x_0$ (cela montrera donc qu'il en existe un).\\

Remarquons déjà que si $A<0$, on peut choisir n'importe quelle valeur pour $x_0$ car $f(x)>A$ pour tout $x\in\R$.\\
\textit{Ce cas est souvent omis, car toujours trivial.}\\
Si $A\geq 0$, on a $ \quad f(x) >A \Longleftrightarrow x^2>A \stackrel{x>0}{\Longleftrightarrow} x>\sqrt{A}$\\
\textit{Ne considérer que le cas $x>0$ suffit, car $x$ tend vers $+\infty$}\\
Ainsi, il suffit de choisir  $x_0=\sqrt{A}>0$, et on a bien que $\forall x>x_0, \quad f(x)>A$. Donc $ \lim\limits_{x \to +\infty}x^2 =+\infty$ \\

On a de même $ \lim\limits_{x \to -\infty}x^2 =+\infty$ car $ \forall x\in\R^{-}$,  on a $ \quad f(x) >A 
\iff x^2>A \stackrel{x<0}{\Longleftrightarrow} x<-\sqrt{A}$ . \\
Ainsi, il suffit de choisir  $x_0=-\sqrt{A}<0$, et on a bien que $\forall x<x_0, \quad f(x)>A$ \\
}

%\begin{ExoC}
%Déterminer les limites éventuelles de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-x^3$ en $+\infty$ et en $-\infty$. 
%\end{ExoC}


\newpage
\subsection{Limite en un réel $a$}

On a pu constater dans les activités précédentes qu'il semblait logique de parler de limite en un réel également,
notamment pour les valeur interdite. On obtient une définition analogue aux précédentes.


\begin{defi}
Une fonction $f$ \textbf{tend vers} :
\begin{itemize}
       \item \textbf{un réel $\ell$ quand $x$ tend vers un réel $a$}, lorsque pour tout intervalle ouvert contenant $\ell$,
contient aussi toutes les valeurs de $f(x)$ pour tout réel $x$ assez proche de $a$. On note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=\ell$$
 \item \textbf{$+\infty$  quand $x$ tend vers un réel $a$}, lorsque pour tout intervalle du type $]\lambda;+\infty[$, avec $\lambda\in\R$, 
contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour tout réel $x$ assez proche de $a$. On note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty$$
 \item \textbf{$-\infty$  quand $x$ tend vers un réel $a$}, lorsque pour tout intervalle du type $]-\infty;\lambda[$, avec $\lambda\in\R$, 
contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour tout réel $x$ assez proche de $a$. On note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty$$
      \end{itemize}
Dans tous les cas, on définit la limite de $f$ en $a$ \textbf{à droite} (respectivement \textbf{à gauche}) de manière analogue, 
en considérant $x$ assez proche de $a$ mais restant strictement supérieur à $a$ (respectivement inférieur). \\
On note :
$$\lim\limits_{\begin{array}{c}
x \to a \\x>a\end{array}}f(x) =\lim\limits_{x \to a^+}f(x)\qquad \qquad \text{ et }
\qquad \qquad \lim\limits_{\begin{array}{c}
x \to a \\x<a\end{array}}f(x) =\lim\limits_{x \to a^-}f(x)$$
\end{defi}

\textbf{Illustrations} :\\
\begin{minipage}{6cm}
$$\lim\limits_{x \to a^+}f(x)=+\infty$$
$$\includegraphics[scale=0.8]{nivaud.4}$$ 
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
$$\lim\limits_{x \to a^-}f(x)=+\infty$$
$$\includegraphics[scale=0.8]{nivaud.5}$$ 
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
$$\lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty$$
$$\includegraphics[scale=0.8]{nivaud.1}$$ 
\end{minipage}

\begin{defi}
 Lorsque $f$ admet pour limite $+\infty$ ou $-\infty$ en un réel $a$ (ou en $a$ à droite, ou en $a$ à gauche), on dit que la 
 droite d'équation $x=a$ est \textbf{asymptote verticale} à la courbe représentative de $f$.
\end{defi}

\newpage
\begin{multicols}{2}
 \Expl{Soit $g$ définie sur $\R\backslash\left\{ \dfrac{3}{2}\right\}$ par $g(x)=\dfrac{1+x}{3-2x}$. \\
 On ne sait pas encore le montrer rigoureusement, mais on peut tout de même conjecturer que 
 $$\lim\limits_{x \to \frac{3}{2}^+}g(x)=-\infty \qquad \text{et} \qquad \lim\limits_{x \to \frac{3}{2}^-}g(x)=+\infty$$
La droite d'équation $x=\dfrac{3}{2}$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $g$.}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-5.1)(8.1,5.1)
\def\xmin{-5} \def\xmax{8} \def\ymin{-5} \def\ymax{5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-5.1,-5.1)(8.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x add 3 2 x mul sub div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-10}{1.4}{\F}
\def\G{1 x add 3 2 x mul sub div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1.6}{8}{\G}
\psline[linestyle=solid,linecolor=red](1.5,\ymin)(1.5,\ymax)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{ExoC}
 Donner, sans justification, plusieurs exemples de fonction admettant en un réel $a$ une asymptote verticale.
\end{ExoC}


\Rqs{
\item La limite d'une fonction, si elle existe, est unique. 
\item Ecrire $\lim\limits_{x \to a}f(x)=\ell$ avec $a\in D_f$ et $\ell\in\R$
sous-entend $\lim\limits_{x \to a^+}f(x)=\lim\limits_{x \to a^-}f(x)=\ell$
\item Vous commencez à vous habituer à ces définitions, mais leur usage reste compliqué. Rassurez-vous, vous ne serez pas toujours obligés
d'y revenir pour calculer des limites. Il existe des théorèmes analogues à ceux sur les suites, bien plus manipulables.
}

\begin{ExoF}
 Dans chacun des cas suivants, donner une allure possible de la représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ définie sur $\R \textbackslash \left\{1\right\}$.
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-2$ , $\lim\limits_{x\to 1}= +\infty$  et
$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$. 
\item $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to 1^+}   f(x)=-\infty$, 
$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$ et enfin la droite d'équation $y=2$ est asymptote 
à $\mathscr C_f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On a tracé la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\R\textbackslash\{-2;2\}$ ci-dessous.
 \begin{center}
  \newrgbcolor{fftttt}{1 0.2 0.2}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-7,-3)(8,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-7,-3)(8,5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-3)(8,5)
\psplot[plotpoints=200]{-7.0}{8.0}{(x^2-1)/(x^2-4)}
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt,linecolor=fftttt](2,-3)(2,5)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt,linecolor=fftttt](-2,-3)(-2,5)
\psplot[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt,linecolor=fftttt]{-7}{8}{(--1-0*x)/1}
\end{pspicture*}
 \end{center}

 Les droites d'équation $x=2$, $x=-2$ et $y=1$ sont asymptotes à la courbe.\\
 Lire les limites de $f$ en $-\infty$, en $+\infty$, en $-2$ (à droite et à gauche) et en $2$ (à droite et à gauche)
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On donne le tableau de variations d'une fonction $f$, de courbe représentative $\mathscr C$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$0$};
\node at (4*\Lrg,0) {$2$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$-1$};
\node[left] (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node[right] (f3) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f4) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$1$};
\node (f5) at (6*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$3$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f3) -- (f4);
\draw[fleche] (f4) -- (f5);
% Doubles Barres
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef+0.9*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\bb{2*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Préciser les équations des asymptotes à $\mathscr C$
 \item Tracer une allure possible de $\mathscr C$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la fonction inverse définie sur $\R^*$ n'admet pas de limite en $0$.
  \item Admet-elle une limite en $0^+$ ? en $0^-$ ?
 \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item La fonction $f:x\longmapsto \sin \dfrac1x$ définie sur $\R^*$ admet-elle une limite en $0$ ?
         \item Admet-elle une limite en $0^+$ ? en $0^-$ ?
         \item Observer sa courbe représentative sur votre calculatrice.
        \end{enumerate}

 \end{enumerate}

\end{ExoF}



\begin{ExoL}
 Déclic :  n$^{\circ}$ 48 p 72 (limite en un réel avec la définition)
\end{ExoL}


\section{Déterminer une limite}
\subsection{Limites et opérations}
\begin{minipage}{8cm}
 \Act{ Soit $g$ définie sur $\R\backslash\left\{ \dfrac{3}{2}\right\}$ par $g(x)=\dfrac{1+x}{3-2x}$. \\
 \begin{enumerate}
  \item Trouver avec la définition la limite éventuelle de la foncion $g$ quand $x$ tend vers $+\infty$ puis quand $x$ tend vers $-\infty$.
   \item Retrouver ces résultats en supposant que toutes les propriétés des limites sur les suites 
   sont valables pour les fonctions.  
   \item Toujours en utilisant ces règles, déterminer les limites à droite et à gauche de $g$ quand $x$ tend vers $\dfrac32$.
 \end{enumerate}
 }
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
 \begin{center}
 \psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-4.1)(8.1,4.1)
\def\xmin{-5} \def\xmax{8} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-5.1,-5.1)(8.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x add 3 2 x mul sub div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-10}{1.4}{\F}
\def\G{1 x add 3 2 x mul sub div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1.6}{8}{\G}
\def\H{0 1 2 div sub}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-5}{8}{\H}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\Sol{
\begin{enumerate}
 \item A la calculatrice, on conjecture $\lim\limits_{x \to + \infty} g(x)=-\dfrac{1}{2}$.\\
Remarquons déjà que  $\forall x>\dfrac32$ on a 
$g(x)-\left(-\dfrac12\right) = \dfrac{1+x}{3-2x} + \dfrac12 = \dfrac{2(1+x)+(3-2x)}{2(3-2x)}= \dfrac{5}{2(3-2x)}<0$.\\
Donc on a $\left|g(x) - \left(-\dfrac12\right) \right|=-\dfrac{5}{2(3-2x)}$ et :
\begin{eqnarray*}
\left|g(x) - \left(-\dfrac12\right) \right|< \varepsilon &\iff& -\dfrac{5}{2(3-2x)} < \varepsilon\\
 &\iff & -\dfrac{2(3-2x)}{5} > \dfrac{1}{\varepsilon}\\
 &\iff & 3-2x < -\dfrac{5}{2\varepsilon}\\
 &\iff & -2x <- \dfrac{5}{2\varepsilon}-3\\
 &\iff & -2x <-\dfrac{5+6\varepsilon}{2\varepsilon} \\
 &\iff &  x > \dfrac{5+6\varepsilon}{4\varepsilon}\\
\end{eqnarray*}
Ainsi, dès que $x>x_0$ avec $x_0=\dfrac{5+6\varepsilon}{4\varepsilon}$, on a 
$\left|g(x) - \left(-\dfrac12\right) \right|< \varepsilon $.
Donc $\lim\limits_{x \to + \infty} g(x)=-\dfrac{1}{2}$.\\

On procède de même pour montrer que $\lim\limits_{x \to - \infty} g(x)=-\dfrac{1}{2}$ :
\begin{itemize}
 \item On constate que $\forall x<\dfrac32$ on a $\left|g(x) - \left(-\dfrac12\right) \right|=\dfrac{5}{2(3-2x)}$ 
  \item On résout donc l'inéquation $\dfrac{5}{2(3-2x)} < \varepsilon \iff x < \dfrac{5-6\varepsilon}{4\varepsilon}$.
  \item Ainsi, dès que $x<x_0$ avec $x_0=\dfrac{5-6\varepsilon}{4\varepsilon}$, 
  on a $\left|g(x) - \left(-\dfrac12\right) \right|< \varepsilon $.
Donc $\lim\limits_{x \to + \infty} g(x)=-\dfrac{1}{2}$.\\
\end{itemize}
La droite d'équation $y=-\dfrac{1}{2}$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $g$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\item $g(x)=\dfrac{1+x}{3-2x}=\dfrac{x\left(\dfrac1x +1\right)}{x\left(\dfrac3x-2\right)} = \dfrac{\dfrac1x +1}{\dfrac3x-2}$.\\
Or $\lim\limits_{x \to + \infty}\dfrac1x +1 = 1$ et $\lim\limits_{x \to + \infty}\dfrac3x -2=-2$.\qquad
Par quotient on obtient $\lim\limits_{x \to + \infty}g(x)=-\dfrac12$\\
De même $\lim\limits_{x \to - \infty}\dfrac1x +1 = 1$ et $\lim\limits_{x \to - \infty}\dfrac3x -2=-2$.\qquad
Par quotient on obtient $\lim\limits_{x \to - \infty}g(x)=-\dfrac12$\\
\item On a $\lim\limits_{x \to \frac32} 1+x=\dfrac52$ et $\lim\limits_{x \to \frac32^+} 3-2x=0^-$.\qquad
Ainsi, par quotient on obtient $\lim\limits_{x \to \frac32^+} g(x)=-\infty$.\\
Comme $\lim\limits_{x \to \frac32^-} 3-2x=0^+$.\qquad
Ainsi, par quotient on obtient $\lim\limits_{x \to \frac32^-} g(x)=+\infty$.\\
\end{enumerate}
}

\Cadre[Conclusion]{
Les résultats sur les calculs de limites pour les suites restent valables pour les limites de fonctions.
}

\begin{prop}[Quelques limites à connaître]
$$\lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{1}{x}=0 \qquad \qquad \lim\limits_{x \to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty \qquad \qquad
 \lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$$
$$\lim\limits_{x \to \pm\infty}x^2=+\infty \qquad \qquad \lim\limits_{x \to +\infty}x^3=+\infty 
\qquad \qquad \lim\limits_{x \to -\infty}x^3=-\infty$$
 $$\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty \qquad \qquad \lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac1{\sqrt{x}}=+\infty$$
\end{prop}


\Rq{Les courbes représentatives de chacune sont un bon moyen pour retenir les limites.}

\begin{prop}[Opérations sur les limites]
Les règles d'opérations sur les limites pour les suites restent valables pour les fonctions, 
qu'il s'agisse de limite en l'infini ou en un réel. Rappelons tout de même les quatre formes indéterminées :
 $$  \text{\og }0\times \infty \text{\fg }\qquad \text{\og }\dfrac{0}{0} \text{\fg }\qquad  \text{\og }\dfrac{\infty}{\infty}\text{\fg } \qquad \text{\og } \infty -\infty \text{\fg }$$
\end{prop}

\Rq{Lorsque l'on a une forme indéterminée, l'idée est de changer l'écriture de l'expression 
en factorisant ou en développant, suivant l'écriture initiale. }\\

\Expls{Déterminer les limites des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $g:x\longmapsto \dfrac{3+x}{2-x}$ en $+\infty$, $-\infty$, en $-3$ et en $2$.
\item $h:x\longmapsto \dfrac{3+x}{(2-x)^2}$ en $+\infty$, $-\infty$, en $-3$ et en $2$.
 \item $k:x\longmapsto \dfrac{2x-2}{x^2+x-2}$ en $-3$, en $-2$ et en $1$.
\end{enumerate}
}


\begin{ExoF}
 On considère une fonction $f$ définie sur $\R^*$ dont on donne le tableau de variations :
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{8.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$-1$};
\node at (4*\Lrg,0) {$0$};
\node at (6*\Lrg,0) {$2$};
\node at (8*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$-2$};
\node[left] (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$-\infty$};
\node[right] (f4) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
\node (f5) at (6*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$1$};
\node (f6) at (8*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
\draw[fleche] (f4) -- (f5);
\draw[fleche] (f5) -- (f6);
% Doubles Barres
\def\bb#1{\draw[double distance=2pt] (#1,\lignef+0.9*\HtX) -- (#1,\bas+0.1*\HtX);}
\bb{4*\Lrg}
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Dresser, en justifiant, les tableaux de variations des fonctions $-f$, $|f|$, $f^2$ et $\dfrac{1}{f}$, 
en précisant les limites aux bornes de $\R^*$.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $\qquad  f(x)=\dfrac{1-3x}{x^2+x}$
\begin{enumerate}
\item A l'aide de votre calculatrice, conjecturer la limite de $f$ en $0$, et en $+\infty$, ainsi que ses variations.
\item Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.\\
En donner une interprétation graphique.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Etudier le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$.
\item En déduire le tableau complet des variations de $f$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\subsection{Limites et comparaison}

On dispose de théorèmes analogues à ceux déjà vus sur les suites.

\begin{theo}[de comparaison]
Soient $f$ et $g$ deux fonctions d\'efinies sur un intervalle du type $]a;+\infty[$, telles que pour tout $x>a$ on a 
$f(x)\leq g(x)$.
\begin{itemize}
\item  Si $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =+\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) =+\infty$
\item  Si $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) =-\infty$, alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =+\infty$
\end{itemize}
\end{theo}

\begin{center}
 \includegraphics[]{comparaison.eps}
\end{center}


\Dem{\begin{itemize}
\item Soit $A\in\R$. \\
Comme $ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =+\infty$ il existe un réel $x_0$ tel que $f(x)>A$ à partir de $x_0$.\\
Par conséquent pour $x>max(x_0;a)$ $A<f(x)\leq g(x)$ ce qui prouve que $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) =+\infty$
\item Soit $A\in\R$. \\
Comme $ \lim\limits_{x \to +\infty} vgx) =-\infty$ il existe un réel $x_0$ tel que $g(x)<A$ à partir de $x_0$.\\
Par conséquent pour $x>max(x_0;a)$ $f(x)\leq  g(x)<A$ ce qui prouve que $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) =-\infty$
\end{itemize}}
\Rq{Il existe des th\'eor\`emes analogues pour des limites en $-\infty$ et en $a\in \R$}

\Expl{
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=-x+\sin x$. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ 
\item Soit $g(x)=\dfrac{ \sqrt{1+x^2} }{x^2}$. Calculer $\lim\limits_{x \to 0} g(x)$ 
\end{enumerate}
}

\begin{theo}[Théorème des gendarmes]
Soient $f$, $g$ et $h$ des fonctions d\'efinies sur un intervalle du type $]a;+\infty[$ et $\ell\in\R$ telles que :
\begin{enumerate}
 \item pour tout $x>a$ on a $g(x)\leq f(x)\leq g(x)$.
 \item $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) =\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) =\ell$
\end{enumerate}
Alors $f$ admet pour limite $\ell$ en $+\infty$ :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =\ell$$
\end{theo}

\begin{center}
 \includegraphics[]{gendarmes.eps}
\end{center}

\Dem{Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $\ell$. Il s'agit de démontrer que $I$ contient tous les réels
 $f(x)$ à partir d'un certain $x_0$.\\
Or,  $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) =\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) =\ell$, i.e qu'il existe $x_1$
 tel que $g(x)\in I$ à partir de $x_1$ et il existe un réel $x_2$ tel que $h(x)\in I$ à partir de $x_2$.\\
Soit $x_0=max(a,x_1;x_2)$.  Si $x>x_0$, l'intervalle $I$ contient $g(x)$ et $h(x)$, donc il contient aussi tous les
 réels compris entre $g(x)$ et $h(x)$, en particulier il contient $f(x)$, ainsi :
$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =\ell$$}

\Rq{Il existe des th\'eor\`emes analogues pour des limites en $-\infty$ et en $a\in \R$}

\Expl{
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R^{+}$ par : $f(x)=\dfrac{2+3\sin x}{x}$. 
Calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$.
}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ on a :
$$ \dfrac{1}{3}\leq \dfrac{1}{2-\cos x}\leq 1$$
\item En déduire les limites suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $$ \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{2-\cos x}$$
\item $$ \lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{x+\cos x}{2-\cos x}$$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}





\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 70-71 p 75 (comparaison)
\end{ExoL}


\subsection{Composée de deux fonctions}

Pour décrire une fonction, on peut parfois la décomposer en enchaînements de fonctions plus simples. Par exemple, pouvez-vous 
décomposer la fonction $\Phi : x \mapsto \sqrt{-3x+1}$ en deux fonctions élémentaires ?\\
Supposons que vous vouliez étudier la limite de $\phi$ en $-\infty$. Que pourriez vous faire ?


\begin{defi}
 Soient deux fonctions $f$ et $g$ définies sur deux ensembles $I$ et $J$ tels que l'image de $J$ par $g$ est 
 contenue dans $I$ :  $g(J) \subset I$.\\
 La fonction obtenue en appliquant successivement $g$ puis $f$, s'appelle la composée de $g$ par $f$ et 
 est notée $f\circ g$.\\
 Ainsi, pour tout réel $x\in J$ on a $f \circ g(x) = f \left( g(x) \right)$.
\end{defi}


\begin{theo}[admis]Soient deux fonctions $f$ et $g$, et 
$a$, $b$, $\ell$ des nombres réels, ou éventuellement $+\infty$, ou $-\infty$.\\
Si on a $\lim\limits_{x \to a}g(x)=b$ et $ \lim\limits_{X \to b} f(X)=\ell$, alors : 
$$ \lim\limits_{x \to a}f\circ g (x)=\ell$$
\end{theo}

\Dem[Hors Programme]{Raisonnons dans le cas où $a=+\infty$, $b=-\infty$ et $\ell \in\R$
Soit $I$ un intervalle ouvert qui contient $\ell$.\\
Comme $ \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=\ell$, $I$ contient tous les réels $f(x)$ pour $x$ strictement inférieur à un 
certain $x_0$.\\
De plus, comme $\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=-\infty$, l'intervalle ouvert $]-\infty;x_0[$ contient tous 
les réels $g(x)$ pour $x$ supérieur à un certain réel $x_1$.\\
Si $x>x_1$, on a alors $g(x)<x_0$, et donc $f(g(x))\in I$ i.e $f\circ g(x)\in I$\\
Ainsi tout intervalle ouvert $I$ qui contient $\ell$ contient aussi tous les réels $f \circ g(x)$ pour $x$ assez grand ;
 ce qui signifie que $$ \lim\limits_{x \to +\infty}f\circ g(x)=\ell$$}

\Rq{Ce théorème reste identique si $v_n=f(u_n)$.}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item Calculer la limite en $+\infty$ de la fonction $f:x\mapsto \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)+5$.
 \item Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$ f(x)=\sqrt{\dfrac{4x+1}{x+1} }$$
 et $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=\sqrt{\dfrac{2^{n+2}+1}{2^n+1} }$\\
 Déterminer la limite éventuelle de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et démontrer que la suite $(v_n)$ est convergente, préciser sa limite. 
\end{enumerate}
}
 
 \Sol{
 \begin{enumerate}
  \item On a \qquad $ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac1x=0$ \qquad et \qquad $ \lim\limits_{X \to 0}\sin(X)+5=0+5=5$ \qquad donc 
  $ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=5$
 \item Pour $x>0$, on a  $f(x)=\sqrt{X}$ avec $X=\dfrac{4x+1}{x+1}$.\\
 On a $ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{4x+1}{x+1}=\dfrac{4x}{x}=4$ (\textit{fonction rationnelle en $+\infty$}) \qquad
 et \qquad $ \lim\limits_{X \to 4}\sqrt{X}=2 $ donc :
 $$  \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=2$$ 
 De plus, pour tout $n\in\N$, on a $v_n=f(u_n)$ avec $u_n=2^n$ pour tout $n\in\N$.\\
 Or, \qquad $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty$ \qquad et \qquad$ \lim\limits_{X \to +\infty} f(X)=2$, donc  
\fbox{ $\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=2$}
\end{enumerate}
}


\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sqrt{x^2+4}-x$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item Démontrer que pour tout réel $x$ on a $\qquad  f(x)=\dfrac{4}{\sqrt{x^2+4}+x}$\\
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 65 p 74 (limite de composée)
 
\end{ExoL}


\end{document}