\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{La suite des suites !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
\Chacha{kid_a.eps}{Kid A}{Radiohead}{I wish I was special}{Radiohead (Extrait de Creep)}{Kid A est le quatrième album du groupe de rock britannique Radiohead, il est sorti en 2000.
Alors que les albums précédents (tel OK Computer) restent dans un style rock alternatif, les albums suivants sont beaucoup plus psychédéliques : Kid A marque l'apogée de ce style expérimental de Radiohead. Pour cette raison, il est considéré par beaucoup comme un chef-d'œuvre. Dans cet album, les guitares ont quasiment disparu au profit de synthétiseurs et de sampleurs.
Le nom donné à l'album, Kid A (littéralement « Enfant A »), évoque pour certains un premier enfant cloné. Pour d'autres, il laisse penser que le groupe le considère comme son premier enfant. Avec Kid A, l'album suivant de Radiohead, Amnesiac, forme un diptyque de musique expérimentale, un prolongement : Kid A et Amnesiac forment en réalité le diptyque Kid Amnesiac.
Ce disque comporte une majorité de chansons composée principalement de synthétiseurs et de boîtes à rythmes (Kid A, Idioteque, Everything in Its Right Place...), tout en gardant des sonorités pop/rock (In Limbo) et en explorant d'autres univers comme le free-jazz (The National Anthem).
Selon Thom Yorke et Jonny Greenwood cet album est inspiré en partie par le livre No Logo de la journaliste canadienne 
Naomi Klein. Les membres du groupe pensaient d'ailleurs au départ à appeler l'album No Logo, en hommage à ce livre qui décrit 
la société de consommation.}{0.5}{0.8}{
\item Découvrir les définitions de convergence et divergence
\item Connaître les limites usuelles et les opérations sur les limites 
\item Savoir trouver la limite d'une forme indéterminée
\item Utiliser les théorèmes de comparaison
\item Démontrer qu'une fonction est continue ou non.
\item Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
}

\TITRE{thom.eps}{0.35}

\begin{abstract}
\noindent Même si elles ne constituent qu’un cas particulier des \textit{fonctions numériques} 
(celles définies sur une partie de $\N$), les suites méritent une étude à part entière.
En effet, elles jouent un rôle extrêmement important dans bien des sciences, 
permettant de fournir une approximation du  \og réel \fg. \\
Par exemple, on les utilise en biologie
des populations pour décrire le cycle de reproduction des lapins, 
en astronomie dans les lois de répartition des planètes, 
en physique dans la théorie des particules élémentaires, 
en informatique dans les algorithmes et simulations (et via les ordinateurs, dans toutes nos activités numériques). 
Mais cette omniprésence n'est pas un hasard, car tous ces domaines se servent d'équations 
mathématiques. Or les suites occupent une place de choix en mathématiques depuis plus de 2000 ans.\\
Pourquoi un tel intêret, alors qu'il s'agit simplement de ranger une succession infifnie 
de nombres, liés par une loi, comme quand on énumère les jours ? 
Parce que cette simplicité n'est qu'apparente : l'étrange n'est jamais loin.\\

Prenons par exemple la suite des \og puissances de un demi \fg 
$\left(u_n\right)_{n\geq 0} : \left(1 ~;~ \dfrac12 ~;~ \dfrac14 ~;~ \dfrac18 ~;~ \dfrac1{16} ~;~ 
\dots ~;~ \left(\dfrac1{2}\right)^n ~;~ \dots \right)$ \\%et la série associée 
%$S=1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac1{16} + \dots + \left(\dfrac1{2}\right)^n + \dots$ \\
Si ces nombres
représentaient des tiges en bois mesurant chacune la moitié de la précédente (en commençant par 1 mètre), n'est-ce
pas étonnant que la longueur maximale qu'on puisse atteindre en les mettant bout à bout ne dépasse pas 2 mètres,
même avec une infinité de tiges ? Cela a stupéfait les savants qui l'ont découvert au $XVIII^e$ siècle.
Comment admettre que l'infini (le nombre de tiges) puisse être contenu dans le fini (2 mètres) ?
Il s'en est suivi de violentes disputes entre les pro-infini et les contre, qui n'ont fait que s'amplifier
jusqu'au $XX^e$ siècle. Bref, ce sont les suites qui ont introduit l'infini dans l'arithmétique et l'analyse ...\\

Mais si le $XVIII^e$ siècle est un tournant dans l'histoire des suites et de l'infini, leur origine remonte à Archimède
de Syracuse, le mathématicien grec du $III^e$ siècle avant JC. Archimède voulait résoudre une question qui n'avait rien
à voir avec l'infini, le problème de la quadrature du cercle, grande énigme des maths anciennes  : étant donné un cercle,
comment construire une figure de même surface mais composée de carrés ou de triangles (figures que les Grecs savaient 
bien mesurer). Tel était le but d'Archimède ... Au lieu de répondre à son problème, il a découvert les suites et, sans le savoir,
il a mis les mathématiciens sur la voie de l'infini.\\
Comment cela s'est-il produit ? Archimède pensait que la bonne méthode pour \og quarrer \fg le cercle était 
de l'encadrer entre deux figures faites de triangles, puis de faire converger la taille de ces triangles jusqu'à
les faire coïncider (comme si l'on cherchait à emprisonner un objet entre des murs qui se rapprochent). Archimède
choisit comme figures connues et quarrables pour coïncer le cercle, les polygones réguliers, faits de triangles
disposés en pétales de fleur, en commençant par l'hexagone (six côtés, six triangles équilatéraux) : il encadre le cercle
entre l'hexagone inscrit et l'hexagone circonscrit. Ensuite, il passe au dodécagone (12 côtés), puis  il enchaîne
sur le polygone à 24 côtés, puis 48 et enfin 96. A chaque pas, les mesures se rapprochent, mais jamais elles
ne s'égalent ... Il obtient ainsi une suite illimitée de nombres 
connus dont la limite est $2\pi$ et qui fournissent très rapidement une bonne approximation de $\pi$.\\
Las, Archimède ne résoudra jamais le problème de la quadrature du cercle, et pour cause. Les mathématiciens
du $XIX^e$ siècle démontreront qu'il n'a pas de solution, d'où l'expression \og C'est la quadrature du cercle ! \fg.
Mais Archimède a bel et bien inauguré l'histoire des suites, car dans sa méthode, il montre comment calculer
la surface du polygone $n$ en fonction de celui qui précède (le $n-1^{eme}$). 
Le terme $u_n$ défini par le terme $u_{n-1}$, c'est bien là une suite, la première du genre, et qui peut être
prolongée autant que l'on veut ... jusque dans l'infini.\\

Plus tard, les suites furent formalisées par Cauchy, la maîtrise de cet outil a été grandement facilitée 
par l'adoption de la notation indicielle au $XIX^e$ siècle qui consiste à noter chaque nombre d'une suite 
par une même lettre affectée d'un indice. 
On doit à Péano la définition d'une suite numérique telle qu'elle est enseigné en première S.%\\
%
%Après avoir fait quelques rappels de première justement, et mis en place un raisonnement important, 
%nous approfondirons ici la notion de limite de suite.
\end{abstract}


%Dans tout le chapitre, $n$ et $n_0$ désignent des entiers naturels.

\newpage


\section{Les suites arithmétiques et géométriques : ce qu'il faut savoir}


\noindent\begin{tabular}{c|c}
\textbf{Arithmétique} & \textbf{Géométrique}\\
\begin{minipage}[t]{9cm}
\begin{defi}
Une suite $u$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est \textbf{arithm\'etique} lorsque 
$\forall n\in\N$, on a 
\begin{center}
\fcolorbox{black}{white}{$u_{n+1}=u_{n}+r$}  
\end{center}
\end{defi}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{9cm}
\begin{defi}
Une suite $u$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est \textbf{g\'eom\'etrique} 
lorsque $\forall n\in\N$, 
on a
 \begin{center}
 \fcolorbox{black}{white}{$u_{n+1}=u_{n}\times q$}  
 \end{center} 
\end{defi}
 
\end{minipage}
\\
\end{tabular}
\ \\

\noindent\begin{tabular}{c|c}

\begin{minipage}[t]{9cm}
On considère désormais une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$.
\begin{prop}
Pour tout $n,p \in\N$, on a
\begin{itemize}
\item Relation entre $u_{n}$ et $u_{p}$ :
 \begin{center}\fcolorbox{black}{white}{$u_{n}=u_{p}+(n-p)r$}\end{center}
 \item En particulier :
 \begin{center}\fcolorbox{black}{white}{$u_{n}=u_{0}+nr$}\\~\\
 \fcolorbox{black}{white}{$u_{n}=u_{1}+(n-1)r$}\end{center}
\end{itemize}
\end{prop}


\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{9cm}
On considère désormais une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q$.
\begin{prop}
Pour tout $n,p \in\N$, on a
\begin{itemize}
\item Relation entre $u_{n}$ et $u_{p}$ :
 \begin{center}\fcolorbox{black}{white}{$u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}$}\end{center}
 \item En particulier :
 \begin{center}\fcolorbox{black}{white}{$u_{n}=u_{0}\times q^{n}$}\\~\\
 \fcolorbox{black}{white}{$u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$}\end{center}
\end{itemize}
\end{prop}


\end{minipage}
\\
\end{tabular}
\ \\


\noindent \begin{tabular}{c|c}

\begin{minipage}[t]{9cm}
\textbf{Représentation graphique dans le plan} :\\
Ce sont les points d'abscisse entière positive de la droite de coefficient directeur 
$r$ et passant 
par le point de coordonnées $\left(0; u_{0}\right)$
\Expl{$u_0=-1$ et $r=0.5$, \qquad\quad $v_0=1$ et $r=-0.5$}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm,dotstyle=x,dotsize=5pt}
\begin{pspicture*}(-0.9,-1.6)(4.6,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4.5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{1.8}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
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\psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
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\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
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\psdot(0,-1)
\psdot(1,-0.5)
\psdot(2,0)
\psdot(3,0.5)
\psdot(4,1)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\qquad 
 \psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm,dotstyle=x,dotsize=5pt}
\begin{pspicture*}(-0.9,-1.6)(4.6,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{4.5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{1.8}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
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\psset{xunit=0.5cm , yunit=1cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
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\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
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\psdot(0,1.5)
\psdot(1,1)
\psdot(2,0.5)
\psdot(3,0)
\psdot(4,-0.5)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{9cm}
\textbf{Représentation graphique dans le plan} :\\
Si $q>0$, ce sont les points d'abscisse entière positive d'une courbe exponentielle (que nous découvrirons plus tard).
\Expl{$u_0=1$ et $r=1.5$, \qquad\qquad\qquad\qquad $v_0=5$ et $r=0.5$}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.4cm , yunit=0.22cm,dotstyle=x,dotsize=5pt}
\begin{pspicture*}(-0.9,-0.9)(7.6,17.5)
\def\xmin{-1} \def\xmax{7.5} \def\ymin{-1} \def\ymax{17.5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
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\psset{xunit=0.4cm , yunit=0.22cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
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\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
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\psdot(0,1)
\psdot(1,1.5)
\psdot(2,2.25)
\psdot(3,3.375)
\psdot(4,5.0625)
\psdot(5,7.59375)
\psdot(6,11.390625)
\psdot(7,17.0859375)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\qquad 
 \psset{xunit=0.4cm , yunit=0.35cm,dotstyle=x,dotsize=5pt}
\begin{pspicture*}(-0.9,-0.5)(7.6,11)
\def\xmin{-1} \def\xmax{7.5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{11}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
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\psset{xunit=0.4cm , yunit=0.35cm}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) %\uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psdot(1,5)
\psdot(2,2.5)
\psdot(3,1.25)
\psdot(4,0.625)
\psdot(5,0.3125)
\psdot(6,0.15625)
\psdot(7,0.078125)
\psdot(0,10)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}\\
\noindent\begin{tabular}{c|c}
\begin{minipage}[t]{9cm}
\begin{theo}
\begin{itemize}
\item Si $r>0$ alors $u$ est strictement croissante et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=+\infty$\\
\item Si $r=0$ alors $u$ est constante ;\\
\item Si $r<0$ alors $u$ est strictement décroissante et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=-\infty$
\end{itemize} 
\end{theo}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{9cm}
\begin{theo}
Soit $u$ une suite définie par : $u_n=q^n$ alors :
\begin{itemize}
\item Si $q=0$ ou $q=1$ alors  $u$ est constante égale à   $0$ (définie sur $\N^*$) ou à  $1$
\item Si $q>1$ alors $u$ est croissante et $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=+\infty$$
\item Si $0< q <1$ alors $u$ est décroissante et $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=0$$
\item Si $-1< q < 0$ alors $u$ n'est pas monotone et $$\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}=0$$
\item Si $q<1$ alors $u$ n'est pas monotone et diverge.
\end{itemize} 
\end{theo}


\end{minipage}
\\
\end{tabular}

\ \\

\noindent\begin{tabular}{c|c}

\begin{minipage}[t]{9cm}
\begin{theo}
La somme S de $n$ termes cons\'ecutifs d'une suite arithm\'etique de premier terme $p$ et de 
dernier terme $d$ est :
\begin{center}
\fcolorbox{black}{white}{$
 S=n\times \dfrac{p+d}{2}$
}
\end{center}
\end{theo}
\Expl{\[
       u_{10}+u_{11}+...+u_{20}=11 \times \dfrac{u_{10}+u_{20}}{2}=2200
      \]
}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[t]{9cm}
\begin{theo}
La somme S de $n$ termes cons\'ecutifs d'une suite g\'eom\'etrique de raison $q\neq 1$ et 
de premier terme $p$ est :
\begin{center}
\fcolorbox{black}{white}{$
 S=p\times \dfrac{1-q^n}{1-q}$
}
\end{center}
\end{theo}
\Expl{\[
       v_{1}+v_2+...+v_{20}=v_{1} \times \dfrac{1-1,03^{20}}{1-1,03}=2767,65
      \]
}
\end{minipage}
\end{tabular}

\newpage

\section{Le raisonnement par récurrence}
\subsection{Exemple introductif}

Considérons la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par \quad 
$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=2u_n +1  \end{array} \right.$\\
Cette suite est définie par \textbf{récurrence} (chaque terme se calcule à partir du précédent). \\
\textbf{\underline{But} :} On souhaiterait obtenir une formule \textbf{explicite} du terme général $u_n$ en fonction 
de $n$ (pour pouvoir calculer 
n'importe quel terme en fonction de son rang sans avoir à calculer chacun des termes précédents) . \\
La suite n'est ni géométrique, ni arithmétique, et la formule ne semble pas évidente. 
Par conséquent on va calculer les premiers termes pour se faire une idée. \\

\begin{act} \textbf{Une conjecture valable pour chaque rang $n$}
\begin{enumerate}
 \item Calculer à la main les premiers termes de la suite jusqu'à $u_5$.
 \item Etablir à la calculatrice le tableau de valeurs de $(u_n)$ et vérifier vos résultats.
 \item La plupart des calculatrices n'affichent pas dans leur tableau une valeur exacte à partir de $u_{20}$.\\
Grâce aux premières lignes de ce tableau, conjecturer la valeur exacte de $u_{33}$ et $u_{34}$.
\item Ces résultats sont-ils certains ? Que faudrait-il faire pour les vérifier ?
\item Quelqu'un a eu le courage de se lancer dans cette vérification et a trouvé 
$u_{33}=\nombre{8589934591}$, mais pour $u_{34}$, sa calculatrice ne donne qu'une 
valeur approchée. \\
Vérifier à la calculatrice votre conjecture pour $u_{33}$, puis, sans calculatrice, vérifier
votre conjecture sur $u_{34}$.
\item Conjecturer une formule explicite pour calculer $u_n$. Ce résultat est-il certain pour tout $n\in\N$ ?
\end{enumerate}
\end{act}

\Att{Une conjecture n'est pas une preuve (ni une affirmation forcément vraie, certaines 
conjectures se révèlent parfois fausses...). Ce n'est que l'énoncé d'une proposition \textbf{supposée}
résultant d'un certain nombre d'observations. 
}
\Question{
Alors comment confirmer, par une démonstration, la proposition conjecturée ci-dessus pour chaque rang $n$ ? 
}\\

Supposons un instant que pour un certain entier $k$, on ait effectivement \quad $u_k=2^k-1$\\
Dans ce cas on aurait : 
$$u_{k+1}=2\times u_k+1=2\times(2^k-1)+1=2^{k+1}-2+1=2^{k+1}-1$$

Autrement dit si la proposition est vraie au rang $k$ alors elle est aussi vraie au rang $k+1$.\\
On dit que la proposition est \textbf{héréditaire}. \\

Au final on a vu que la proposition était vraie au rang $n=0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$ (on dit que la proposition est\textbf{ initialisée}). \\
Mais comme la proposition est héréditaire elle sera aussi vraie au rang $7$, puis au rang $8$, 
puis au rang $9$, $\dots$.\\
Si bien que notre proposition est finalement vraie à tout rang $n\in \N$. \\
Nous venons de faire un \textbf{raisonnement par récurrence}.




\subsection{Principe du raisonnement par récurrence et exemples}


\Cadre[Principe du raisonnement par récurrence]{Soit $\mathscr P$ une proposition définie 
sur $\N$. Si :
\begin{itemize}
\item La proposition est \underline{initialisée} à au rang $0$ (i.e si $\mathscr P(0)$ est vraie)
\item La proposition est \underline{héréditaire} à partir du rang $0$ (i.e si $\forall n\geq 0$ on a $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$)
\end{itemize}
Alors : \\
La proposition est vraie  $\forall n\in\N$.}

\Dem[Hors Programme]{
Supposons qu'il existe au moins un entier $n$ pour lequel $\mathscr P(n)$ n'est pas vraie, 
et appelons $m$ le plus petit d'entre eux.\\
Comme $m$ est le plus petit d'entre eux, et que $m\neq 0$ (car on a déjà vérifié 
l'initialisation) on sait que pour tout $0\leq n < m$, $\mathscr P(n)$ est vraie. 
En particulier $\mathscr P(m-1)$ est vraie.\\
Mais d'après le caractère héréditaire de la proposition, on sait que cela entraine $\mathscr P(m)$ vraie aussi. 
Ce qui est absurde ...
}

\Rq{Le principe du raisonnement par récurrence sur un intervalle du type \textlbrackdbl $ N,+\infty  [$ est identique,
ainsi que sa démonstration. Il suffit de remplacer $0$ par $N$.}



\begin{ExoC}
Compléter la démonstration par récurrence suivante, afin de 
montrer que la somme des $n$ premiers entiers non nuls vaut $\dfrac{n(n+1)}{2}$.\\
\textcolor{blue}{On veut montrer que la proposition \og $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ \fg \, 
est vraie pour tout $n \geq $}\\
\begin{itemize}
 \item \textcolor{blue}{\textbf{Initialisation :} pour $n=$}
 \begin{itemize}
  \item \textcolor{red}{La somme des $n$ premiers entiers non nuls vaut \\
\item Et $\dfrac{n(n+1)}{2} = $}\\\\
 \end{itemize}
\textcolor{blue}{Donc la proposition est vraie au rang $\qquad$.\\
\item \textbf{Hérédité :} On suppose qu'il existe un entier $k \geq \qquad\qquad $ tel que $\qquad$ \\\\
On cherche à montrer que} $\qquad$ \\\\
$\begin{array}{llcr}
\text{\textcolor{blue}{Or }}& \textcolor{red}{1+2+3+ \dots + \dots + (k+1)} & = & \\\\
&& = & \\\\
&& = &
\end{array}$\\
\textcolor{blue}{La proposition est vraie au rang $\qquad$. \\
Donc la proposition est $\qquad$ \\
 \item \textbf{Conclusion} :
La proposition est $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ et $\qquad$.\\
Elle est donc vraie pour tout $n \geq \qquad$}
\end{itemize}
\end{ExoC}


\begin{ExoC}
On note $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$.\\
Démontrer par récurrence que $\forall n \in \N$ on a $0 \leq u_n \leq 3$.
\end{ExoC}

\Sol{Pour tout $n \geq 0$, on note $\mathscr P(n)$ la proposition \og $0 \leq u_n \leq 3$ \fg 
\begin{itemize}
 \item \textbf{Initialisation :} pour $n=0$\\
$u_0=0$ et on a bien $0\leq 0 \leq 3$\\
Donc $0\leq u_0 \leq 3$ et $\mathscr P(0)$ est vraie.\\
\item \textbf{Hérédité :} On suppose qu'il existe un entier $k \geq 0$ tel que $\mathscr P(k)$ est 
vraie, ie tel que l'on a $0 \leq u_k \leq 3$\\
On cherche à montrer $\mathscr P(k+1)$ :  \og $0 \leq u_{k+1} \leq 3$ \fg ou encore $0 \leq \sqrt{u_k+6} \leq 3$
\begin{eqnarray*}
\text{Or }  0  \leq  u_{k}  \leq  3  & \iff &  6  \leq  u_k+6  \leq  9 \\
& \iff &  \sqrt{6}  \leq  \sqrt{u_k + 6}  \leq  \sqrt{9} \quad \text{ car la fonction racine carré conserve l'ordre sur les positifs} \\
& \iff & 0  \leq  u_{k+1}  \leq  3
\end{eqnarray*}
Donc $\mathscr P(k+1)$ est vraie. La proposition est héréditaire.\\
 \item \textbf{Conclusion}
La proposition est vraie au rang $0$ et héréditaire à partir de $0$.\\
Elle est donc vraie pour tout $n \geq $
\end{itemize}
}


\begin{ExoF}
 On donne ci-dessous trois propositions vraies. 
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
 \item Pour tout entier $n\geq 5$, $2^n > n^2$
 \item Pour tout réel $x>0$, $(x+1)^3 \geq 1+3x$
 \item Pour tout entier $n \geq 1$, $\sum_{k=1}^n (2k-1)^3=2n^4-n^2$
 \end{multicols}
\end{enumerate}
Pour lesquelles peut-on envisager une démonstration par récurrence (que l'on ne fera pas) ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par : 
$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=2 u_n -3  \end{array} \right.$\\
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3-2^n$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la suite $(u_n)_{\N}$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout $n$ par la 
 relation \\
$u_{n+1}=3u_n+1$. Démontrer chacune des propositions suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
 \item La proposition \og $u_n \leq u_{n+1}$ \fg est héréditaire.
 \item La proposition \og $u_n \geq u_{n+1}$ \fg est héréditaire.
 \item Si $u_0=1$ la suite $u$ est croissante.
 \item Si $u_0=-2$, la suite $u$ est décroissante.
 \item Su $u_0=-0.5$, la suite $u$ est stationnaire.\\
 Illustrer graphiquement les trois derniers résultats.
\end{multicols}
 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que les deux propositions suivantes sont héréditaires\\
  $(A)$ : \og $10^n-1$ est un multiple de $9$ \fg \qquad\qquad \qquad\qquad 
  $(B)$ : \og $10^n+1$ est un multiple de $9$ \fg
\item Sont-elles vraies pour tout entier naturel $n$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par \quad $ u_0=3\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=2+\dfrac{1}{u_n}$\\
Montrer que, pour tout $n\in\N$ on a \quad $ 2\leq u_n\leq 3$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item  Démontrer que $$\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
\item On  note $S_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels non nuls.
\begin{enumerate}
\item Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $S_n=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2$\footnote{On
utilisera la formule démontrée dans le cours sur la somme des $n$ premiers entiers.}
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $S_n=\nombre{3025}$ ?
\end{enumerate} 
\item On note $P_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels \textbf{pairs} non nuls.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $P_n=2n^2(n+1)^2$
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $P_n=\nombre{1800}$ ?
\end{enumerate}
\item On note $I_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels \textbf{impairs} non nuls.
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_1$, $I_2$ et $I_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $I_n=n^2(2n^2-1)$
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $I_n=\nombre{41328}$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Montrer que $4^n-1$ est un multiple de $3$ pour tout entier naturel $n$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $2^{3n}-1$ est un multiple de $7$.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Pour tout entier $n\geq 1$, on note la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$. \\
On rappelle la proposition suivante, énoncée en 1S, mais non démontrée :
$$\forall n \in \N^*,\quad \text{on a} \quad f_n \text{ est dérivable sur } \R \quad \text{et} \quad
f_n'(x)=nx^{n-1}$$
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que pour $n=1$ la proposition est vraie.
 \item Vérifier que les formules de 1S pour $n=2$ et $n=3$ correspondent à la formule 
 générale énoncée ci-dessus.
 \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geq 1$, on a $f_n'(x)=nx^{n-1}$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Démontrer que pour tout entier $n\geq 0$, l'\textbf{inégalité de Bernoulli} est vraie :
$$\forall x >0 \text{ , on a } (1+x)^n \geq 1+nx$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Rappeler ce que signifie l'écriture $\left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right)$ pour $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$.
\item Compléter la propriété suivante, vu en première :\\
\indent Pour tous $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$, on a  $\left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k+1
                                                  \end{array}\right) = $
\item Ecrire les 5 premières lignes du triangle de Pascal.
 \item Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$ on a 
$$(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3$$
%ainsi que 
%$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6 a^2 b^2 + 6 a^2b^2 +4ab^3 + b^4$$
\item Quel lien observe-t-on entre les coefficients de développement et le triangle de Pascal ?
\item Démontrer par récurrence que pour tout $n \geq 1$ on a :
$$(a+b)^n=\sum_{k=1}^n \left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right)a^{n-k}b^k$$
formule appelée \textbf{formule du binôme de Newton}.
\item \textit{Application} : développer $(a+b)^5$ sans calcul.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\subsection{Quelques exercices corrigés }
\begin{ExoC}
Démontrer que pour tout $n\in\N$ on a \quad $\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
\end{ExoC}

\Sol{ On considère la propriété $\mathscr P$, définie pour tout $n\in\N$, par : 
$$ \mathscr P(n):\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : Pour $n=0$, on a $0=0$, donc $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ soit vraie i.e que $\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ pour un certain rang $n$ et montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie.\\
$$ \sum\limits_{k=0}^{n+1} k^2=\sum\limits_{k=0}^{n} k^2+(n+1)^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{6(n+1)^2}{6}$$
$$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\dfrac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6}{6}$$
Or, $(n+2)(2n+3)=2n^2+3n+4n+6=2n^2+7n+6$, par conséquent :
$$ \sum\limits_{k=0}^{n+1} k^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$$
la propriété est donc héréditaire, et donc on a montré par récurrence que $$\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\qquad \forall n\in\N$$
\end{itemize}
}


\begin{ExoC}
Considérons la suite $(u_n)$, définie pour tout $n\in\N$, par : \quad
$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\u_1=2\\ u_{n+2}=5u_{n+1} -6u_n  \end{array} \right.$\\
Démontrer que pour tout $n\in\N$ \quad $ u_n=2^n$
\end{ExoC}

\Sol{Notons $ \mathscr P(n):u_n=2^n$
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $u_0=2^0=1$, par conséquent $\mathscr P(0)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(i)$ soit vraie $\forall i\leq n$, montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie i.e montrons que $u_{n+1}=2^{n+1}$\\
On a : $ u_{n+1}=5u_{n} -6u_{n-1}=5\times 2^n-6\times 2^{n-1}=10\times 2^{n-1}-6\times 2^{n-1}=4\times 2^{n-1}=2^{n+1} $
\end{itemize}
On en conclut donc, par récurrence, que $u_n=2^n$, $\forall n\in\N$}

\begin{ExoC}Démontrer que, pour tout entier $n \geq 2$, la fonction $f_n$, définie 
sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$, est dérivable sur $\R$, avec $f'_n(x)=nx^{n-1}$
\end{ExoC}

\Sol{Notons $\mathscr P(n):f_n$ est dérivable
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $f_2(x)=x^2$, on a :
$$ \dfrac{f_2(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=2x+h$$
qui tend vers $2x$ lorsque $h$ tend vers $0$, par conséquent $\mathscr P(2)$ est vraie.
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(i)$ soit vraie $\forall i\geq n$, montrons que $\mathscr P(n+1)$ est vraie i.e montrons que $f_{n+1}$ est une fonction dérivable.
\\
Notons que $f_{n+1}(x)=x^{n+1}=x^n\times x=f_n\times f_1$, or le produit de deux fonctions dérivables est une fonction dérivable, par conséquent $f_{n+1}$ est dérivable et sa dérivée vaut :
$$ f'_{n+1}(x)=f'_n(x)f_1(x)+f_n(x)f'_1(x)=nx^{n-1}x+x^{n-1}x=nx^n+x^n=(n+1)x^n \qquad \text{ Cqfd}$$
\end{itemize}
}

\begin{ExoC}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ :\quad $ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2} }$\\
Montrer, par récurrence, que pour tout $n\geq 1$ on a $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$ 
\end{ExoC}

\Sol{\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $u_1=\sqrt{\dfrac{1}{2} }=\dfrac{1}{ \sqrt{2} }$, donc \quad 
$ \dfrac{1}{ \sqrt{2} }\leq u_1 \leq 1$
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que, pour un entier $n\geq 1$ on ait \quad $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$\\
Montrons que $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_{n+1}\leq 1$.
On a 
$$\dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1 \iff \dots\dots \iff 
\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\leq \sqrt{\dfrac{1+u_n}2} \leq 1$$
Or $\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} > \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.\\
Donc on a bien  $$  \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_{n+1}\leq 1$$
Ainsi, pour tout $n\geq 1$,  $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$ 
\end{itemize}}


\section{Comportement asymptotique d’une suite}
\subsection{Notion de convergence}
\begin{act}\\
\begin{minipage}{7cm}
 On considère les suites $u$ et $v$ définies pour tout entier $n\geq 1$ par :
$$ u_n=\dfrac{1}{n^2}\qquad \text{et}\qquad v_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}$$
Et on donne l'algorithme ci-contre.
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{11cm}
\begin{center}
\Algo{10cm}{
\Variable{ 
 $n$ est un nombre entier et $u$  est un nombre réel.
}
\Deb{
$n:=1$ ; $u:=1$\\
  \While{$u\geq 10^{-3}$}
{$n:=n+1$\\
$u:=\dfrac{1}{n^2}$ 
}
Renvoyer $n$
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Compléter le début de trace de l'algorithme ci-dessus.
\begin{center}
 \begin{tabular}{*{6}{|C{2cm}}|}\hline
  $n$ & & & & & \tabularnewline\hline
  $u$ & & & & & \tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\item A quel résultat aboutit la mise en oeuvre de l'algorithme ci-contre ?
\item Fabrice affirme : \og $\forall n \geq 32$ on a $u_n<10^{-3}$ \fg
\begin{enumerate}
 \item Proposer une traduction française de cette phrase mathématique.
 \item Fabrice a-t-il raison ? Expliquer.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Modifier cet algorithme pour obtenir la première valeur $N$ telle que $u_N<10^{-6}$.
\item Que renvoit alors l'algorithme ?
\item Loïc affirme : \og $\exists N\in\N, \, \forall n \geq N$ on a $u_n<10^{-6}$ \fg
\begin{enumerate}
 \item Proposer une traduction française de cette phrase mathématique.
 \item Loïc a-t-il raison ? Expliquer.
\end{enumerate}
\item Soit $\epsilon$ un réel strictement positif.\\
Démontrer qu'il existe un entier $N$ tel que pour tout entier $n\geq N$ on ait :
$$ 0<u_n<\epsilon$$
\item Norbert affirme : \og $\forall \epsilon >0, \, \exists N\in\N, \, \forall n \geq N$ on a $0<u_n<\epsilon$ \fg
\begin{enumerate}
 \item Proposer une traduction française de cette phrase mathématique.
 \item Norbert a-t-il raison ? Expliquer.
\end{enumerate}
\textbf{On dit que la suite $u$ converge vers $0$ ou que la limite de la suite $u$ est $0$, on note :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$$}
\end{enumerate}
\item Démontrer de façon analogue que la suite $v$ converge vers $0$.
\end{enumerate}
\end{act}



\begin{defi}
On dit qu'une suite $(u_n)$ \textbf{admet une limite} $\ell$ (ou \textbf{converge vers $\ell$}) lorsque 
$$\forall \varepsilon >0 ,\quad \exists N \in\N , \quad \forall n \geq N ,\quad \text{ on a } \quad |u_n-l| \leq \varepsilon$$
Autrement dit, tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$ (aussi \og petit \fg soit-il) contient aussi  tous les termes 
de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang $N$, ie $\forall n \geq N$ on a $u_n \in I$.\\ 
On note $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell$. %\\
%Une suite qui ne converge pas est dite \textbf{divergente}.
\end{defi}

\Rqs{
\item Concrètement, les termes $u_n$ deviennent aussi proches de $\ell$ qu'on le souhaite, 
à partir d'un certain rang.
\item Une suite est donc divergente si elle n'admet pas de limite, ou encore si elle admet $\pm\infty$ comme limite. 
Par exemple c'est le cas de la suite $(u_n)$ définie par $u_n=(-1)^n$ qui n'admet pas de limite, ou encore de la suite $u_n=n$ dont la limite vaut $+\infty$.
\item On utilise en général un intervalle centré en $\ell$.
\item Graphiquement, la notion de limite se traduit ainsi : \newline
Quelle que soit la largeur de la bande horizontale choisie, il existe un rang (ou un indice) à partir duquel 
tous les points de la représentation graphique de la suite sont situés dans cette bande. }


\textbf{\underline{Illustration graphique} : } Avec la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ de terme général $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$\\
Représenter ses 20 premiers termes à la calculatrice avec la fenêtre suivante :
\texttt{Xmin=0} \quad \texttt{Xmax=20} \quad \texttt{Ymin=1} \quad \texttt{Ymax=1.8} 
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=10cm,dotstyle=x,dotsize=5pt}
\begin{pspicture*}(-1.1,0.95)(24.1,1.8)
\def\xmin{-1} \def\xmax{24} \def\ymin{1} \def\ymax{1.8}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1.5}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\F}
\def\G{1.55}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\G}
\def\H{1.45}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{25}{\H}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchsep=10pt,hatchcolor=red,linestyle=solid]
{
\psplot{10}{25}{\G}
\psplot{25}{10}{\H}
}
\psdot(1,1)
\uput{0.2}[90](1,1){$u_1$}
\psdot(2,1.75)
\uput{0.2}[90](2,1.75){$u_2$}
\psdot(3,1.33)
\uput{0.2}[-90](3,1.33){$u_3$}
\psdot(4,1.625)
\uput{0.2}[90](4,1.625){$u_4$}
\psdot(5,1.4)
\uput{0.2}[-90](5,1.4){$u_5$}
\psdot(6,1.58)
\uput{0.2}[90](6,1.58){$u_6$}
\psdot(7,1.42)
\uput{0.2}[-90](7,1.42){$u_7$}
\psdot(8,1.56)
\psdot(9,1.44)
\psdot(10,1.55)
\psdot(11,1.45)
\psdot(12,1.54)
\psdot(13,1.46)
\psdot(14,1.53)
\psdot(15,1.47)
\psdot(16,1.53125)
\psdot(17,1.471)
\psdot(18,1.527)
\psdot(19,1.473)
\psdot(20,1.525)
\psdot(21,1.476)
\psdot(22,1.522)
\psdot(23,1.478)
\psdot(24,1.52)
\psdot(25,1.48)
\uput[ur](-0.7,1.48){$\ell$}
\psline{<->}(0.7,1.5)(0.7,1.55) \uput[r](0.7,1.52){$\epsilon$}
\psline{<->}(0.7,1.5)(0.7,1.45)\uput[r](0.7,1.47){$\epsilon$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=black](10,0)(10,1.53)
\uput[ur](10,1.3){$10$ est le rang à partir duquel tous les termes}
\uput[ur](10,1.25){de la suite sont dans la bande hachurée d'épaisseur choisie}
\uput[ur](10,1.20){(ici, $\varepsilon=0.05$)}
% \uput[ur](9,1.7){La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ de terme général $u_n=\dfrac{3n+(-1)^n}{2n}$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=2,Dy=0.2,Ox=0,Oy=\ymin]{->}(0,\ymin)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{
Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $ \dfrac{3}{2}$
}

\begin{ExoC}
\begin{enumerate}
 \item Conjecturer à la calculatrice les limites éventuelles des suites suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
 \item $\left(u_n\right)_{n\in\N^*}\, :\, u_n= \dfrac{1}{n}-2$
 \item $\left(v_n\right)_{n\in\N} \, :\, v_n=\dfrac{5n+1}{n+3}$
 \item $(w_n)_{n\in\N}$ \, :\,$w_n=(-1)^n$
\end{multicols}
 \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item A partir de quel rang $N$ la distance entre $u_n$ et sa limite est-elle strictement inférieur à $0.001$ ?
 \item Même question pour $(v_n)$.
      \end{enumerate}
      \item Démontrer vos conjectures.
\end{enumerate}
\end{ExoC}

\Sol{\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item A la calculatrice, on conjecture que la suite $u$ converge vers $2$. 
 \item A la calculatrice, on conjecture que la suite $v$ converge vers $5$. 
\item La suite $(w_n)$ ne peut pas converger car elle prend alternativement les valeurs $1$ et $-1$.
\end{enumerate}
 \item Dans les deux cas, on résoud des inéquations. Le plus petit $N$ possible est donc :
 \begin{enumerate}
 \item Pour $\varepsilon = 0.001$ on a $N=E(1000)+1=1001$.
 \item Pour $\varepsilon = 0.001$ on a $N=E(14000-3)+1=13998$.
\end{enumerate}
\item Pour $(u_n)$ : Soit $\varepsilon >0$. On résout l'inéquation :\qquad 
$|u_n-2| < \varepsilon \iff \dfrac1n < \varepsilon \iff n > \dfrac1{\varepsilon} $\\
En posant $N=E\left(\dfrac1{\varepsilon} \right)+1$, pour tout $n\geq N$ on a $|u_n - 2 |< \varepsilon $.\\\\
Pour $(v_n)$ : Soit $\varepsilon >0$. On résout l'inéquation :
$$|u_n-5| < \varepsilon \iff \left|\dfrac{-14}{n+3}\right| < \varepsilon 
\iff \dfrac{14}{n+3} < \varepsilon \iff n > \dfrac{14}{\varepsilon}-3 $$
En posant $N=E\left(\dfrac{14}{\varepsilon}-3 \right)+3$, pour tout $n\geq N$ 
on a $|u_n - 5 |< \varepsilon $.
\end{enumerate}
}

\Cadre[Une méthode pour déterminer la limite $\ell$ d'une suite]{
\begin{itemize}
 \item On peut utiliser la calculatrice pour conjecturer sa limite $\ell$
 \item On pose $\varepsilon >0$ quelconque et on résout $|u_n-\ell | < \varepsilon$.
 \item On choisit alors $N=$partie entière de la solution trouvée $+1$
\end{itemize}
Mais nous aurons bientôt plein de résultats pour déterminer plus facilement des limites, rassurez-vous.
}

\begin{theo}
 Si une suite $(u_n)$ converge alors sa limite $\ell$ est unique.
\end{theo}

\Dem[Sous forme de ROC]{
Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite $(u_n)$ admet deux limites différentes
$\ell_1$ et $\ell_2$ telles que $\ell_1<\ell_2$. \\
Notons $\epsilon$ le réel strictement positif tel que $\epsilon =\dfrac{\ell_2-\ell_1}3$
\begin{enumerate}
 \item Pourquoi à partir d'un certain rang $p$, tous les termes $u_n$ sont-ils dans l'intervalle 
 $I=]\ell_1-\epsilon ; \ell_1+\epsilon[$ ?
 \item En opérant de même avec $\ell_2$, montrer que l'on aboutit à une contradiction. Que peut-on conclure ?
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-10,-3)(21,1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.5,-0.5)(11,0.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=10pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline(-2.5,0.5)(-2,0.5)
\psline(-2,-0.5)(-2.5,-0.5)
\psline(-2,-0.5)(-2,0.5)
\psline(2.5,0.5)(2,0.5)
\psline(2,-0.5)(2.5,-0.5)
\psline(2,-0.5)(2,0.5)
\psline(3.5,0.5)(4,0.5)
\psline(4,-0.5)(3.5,-0.5)
\psline(4,-0.5)(4,0.5)
\psline(8.5,0.5)(8,0.5)
\psline(8,0.5)(8,-0.5)
\psline(8,-0.5)(8.5,-0.5)
\psline{->}(-8,0)(10,0)
\psline{<->}(0,-1)(6,-1)
\psline(2,-0.9)(2,-1.1)
\psline(4,-0.9)(4,-1.1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-1)
\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,-1)
\rput[bl](2.5,-1.5){\blue{$\ell_2-\ell_1$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.13,0.2){\blue{$\ell_2$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](6,0)
\rput[bl](6.06,0.2){\blue{$\ell_1$}}
\end{pspicture*} 
\end{center}
}


%\Dem{
%Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite $(u_n)$ admet deux limites $\ell_1$ et $\ell_2$ telles que $\ell_1<\ell_2$. 
%\\Notons $d=\ell_2-\ell_1$
%Par définition, l'intervalle ouvert $I_1$ de centre $\ell_1$ et de rayon $ \dfrac{d}{3}$ contient 
%tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, de même l'intervalle ouvert $I_2$ de centre $\ell_2$ et
% de rayon $ \dfrac{d}{3}$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. \\
%Par conséquent $I_1\cap I_2$ est un intervalle contenant tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. \\
%Mais on a le schéma suivant :
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
%\begin{pspicture*}(-10,-4)(21,2)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.5,-0.5)(11,0.5)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=10pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psline(-2.5,0.5)(-2,0.5)
%\psline(-2,-0.5)(-2.5,-0.5)
%\psline(-2,-0.5)(-2,0.5)
%\psline(2.5,0.5)(2,0.5)
%\psline(2,-0.5)(2.5,-0.5)
%\psline(2,-0.5)(2,0.5)
%\psline(3.5,0.5)(4,0.5)
%\psline(4,-0.5)(3.5,-0.5)
%\psline(4,-0.5)(4,0.5)
%\psline(8.5,0.5)(8,0.5)
%\psline(8,0.5)(8,-0.5)
%\psline(8,-0.5)(8.5,-0.5)
%\psline{->}(-8,0)(10,0)
%\psline{<->}(0,-1)(6,-1)
%\psline(2,-0.9)(2,-1.1)
%\psline(4,-0.9)(4,-1.1)
%\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-1)
%\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,-1)
%\rput[bl](3,-1.5){\blue{$d$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,0)
%\rput[bl](0.13,0.2){\blue{$\ell_2$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](6,0)
%\rput[bl](6.06,0.2){\blue{$\ell_1$}}
%\end{pspicture*} 
%\end{center}
%Donc $I_1\cap I_2=\emptyset$, ce qui est absurde. Par conséquent la suite $(u_n)$ ne peut admettre qu'une limite.
%}

\Rq{Si $(u_n)$ admet une limite, alors toute sous-suite de $(u_n)$ admet la même limite.%\\
%On utilisera en général ce résultat : 
%\begin{itemize}
% \item Pour les suites récurrentes, car la sous-suite $(u_{n+1})$ admet la même limite éventuelle $\ell$ que $(u_n)$.\\
%%Ainsi, si $\ell$ existe, elle vérifie l'égalité $\ell = f(\ell)$
% \item Pour sa contraposée, en montrant que deux sous-suites de $(u_n)$ n'ont pas la même limite.\\
%Comme la limite est unique et que $(u_n)$ doit avoir la même que n'importe laquelle de ses 
%sous-suites, $(u_n)$ ne peut pas admettre de limite, elle diverge.
%\end{itemize}
%La réciproque est fausse.
}

\newpage
\begin{ExoF}
 Soit $e$ un réel strictement positif.
 \begin{enumerate}
  \item Résoudre dans $[0;+\infty[$ l'inéquation $\dfrac{3}{2x+1}<e$
  \item Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_n=\dfrac3{2n+1}$
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que $u_n<e$ à partir d'un certain rang $N$.
   \item En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers $0$.
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\subsection{Notion de divergence}

\begin{defi}%[Rappel]
On dit qu'une suite qui ne converge pas est divergente. \\
Par conséquent, une suite divergente admet $\pm\infty$ comme limite ou n'admet pas de limite.
\end{defi}
 
\Expls{Voici quelques suites divergentes :
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item $(u_n)_{n\geq 0}\, : \,  u_n=n$
\item $(u_n)_{n\geq 0}\, : \, u_n=n^3-n^2+n-1$
\item $(u_n)_{n\geq 0}\, : \, u_n=(-1)^n$
\end{multicols}
\end{itemize}}


\begin{defi}
On dit qu'une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ lorsque
$$\forall A, \quad \exists N\in\N , \quad \forall n\geq N, \quad  \text{ on a } \quad  u_n > A$$
Autrement dit,  tout intervalle ouvert du type $]A;+\infty[$ contient 
tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang $N$ (dépendant du $A$ considéré),
ie $\forall n\geq N$ on a $u_n >A$.\\
On note $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = +\infty$. \\\\
On définit de même la divergence vers $-\infty$ à l'aide d'intervalle du type $]-\infty;A[$. \\
On note $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n = -\infty$. 
\end{defi}

\textbf{\underline{Illustration graphique} : }
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=4cm,dotstyle=x,dotsize=5pt}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.1)(17,1.42)
\def\xmin{-1} \def\xmax{17} \def\ymin{-0.1} \def\ymax{1.42}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
}
\definecolor{color1205c}{rgb}{0.8313725490196079,0.2196078431372549,0.2196078431372549}
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](0,0.7)(17,0.7)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](9.9,0)(9.9,1.42)
\rput(9.9,-0.07){$N$}
\psframe[linewidth=0,dimen=outer,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.3pt,hatchangle=45,
hatchcolor=red,hatchsep=10pt](9.9,0.7)(17.1,1.5)
\rput(16.5,-0.07){$n$}
\rput(-0.7,1.3){$u_n$}
\psdots(0,0)\psdots(0.3,0.05)\psdots(0.6,0.03)
\psdots(0.9,0.09)\psdots(1.2,0.15)\psdots(1.5,0.12)
\psdots(1.8,0.13)\psdots(2.1,0.18)\psdots(2.4,0.15)
\psdots(2.7,0.20)\psdots(3,0.25)\psdots(3.3,0.23)
\psdots(3.6,0.25)\psdots(3.9,0.3)\psdots(4.2,0.27)
\psdots(4.5,0.3)\psdots(4.8,0.35)\psdots(5.1,0.34)
\psdots(5.4,0.36)\psdots(5.7,0.44)\psdots(6,0.4)
\psdots(6.3,0.45)\psdots(6.6,0.5)\psdots(6.9,0.48)
\psdots(7.2,0.53)\psdots(7.5,0.58)\psdots(7.8,0.65)
\psdots(8.1,0.6)\psdots(8.4,0.67)\psdots(8.7,0.72)
\psdots(9,0.67)\psdots(9.3,0.76)\psdots(9.6,0.65)
\psdots(9.9,0.75)\psdots(10.2,0.82)\psdots(10.5,0.8)
\psdots(10.8,0.83)\psdots(11.1,0.93)\psdots(11.4,0.87)
\psdots(11.7,0.92)\psdots(12,1.04)\psdots(12.3,0.95)
\psdots(12.6,1.1)\psdots(12.9,1.14)\psdots(13.8,1.08)
\psdots(13.5,1.12)\psdots(13.8,1.23)\psdots(14.1,1.18)
\psdots(14.4,1.20)\psdots(14.7,1.35)\psdots(15,1.29)
\psdots(15.3,1.3)\psdots(15.6,1.47)\psdots(15.9,1.41)
\psdots(16.2,1.41)\psdots(16.5,1.59)\psdots(16.8,1.53)
\uput[ur](-0.7,0.7){$A$}
\uput[ur](10.3,0.5){$N$ est le rang à partir duquel}
 \uput[ur](10.3,0.3){tous les termes de la suite}
\uput[ur](10.3,0.1){sont supérieurs au $A$ choisi}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.5,-0.1)(\xmax,\ymax)
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{
Dire que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ revient à dire que :
\begin{itemize}
 \item Concrètement, les termes $u_n$ deviennent aussi grands qu'on le souhaite à partir d'un certain rang. 
\item Tout intervalle de la forme $]A; +\infty[$ contient tous les termes de la suite, sauf un nombre fini 
d'entre eux (les premiers).
%\item Quelque soit le nombre choisi $A$, il existe un rang à partir duquel tous les termes sont 
%supérieurs à $A$. 
\end{itemize}
}

\begin{ExoC}
\begin{enumerate}
        \item 
       Démontrer que chacune des suites suivantes diverge vers $\pm \infty$ :
\begin{enumerate}
 \item $(u_n)_{n\in\N}$ de terme génral $u_n=n$
 \item $(v_n)_{n\in\N}$ de terme général $v_n=n^2$
 \item $(w_n)_{n\in\N}$ de terme génral $w_n=-(n+1)^2$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item A partir de quel rang a-t-on $u_n>10^6$ ?
 \item Même question pour $v_n$.
 \item  A partir de quel rang a-t-on $w_n<-10^6$ ?
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoC}


\Sol{
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item $ \lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty$. En effet :\\
Soit $A<0$. Alors pour tout $n\geq N$ on a $u_n = n  > A$, donc on peut choisir $N=0$.\\
Soit $A$ un réel positif. Il suffit de choisir $N=A+1$.
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$. En effet : \\
Soit $A<0$. Alors pour tout $n\geq N$ on a $u_n = n^2  > A$, donc on peut choisir $N=0$.\\
Soit $A$ un réel positif. On veut montrer qu'il existe un rang $N$ à partir duquel tous les termes de la 
suite appartiennent à $]A;+\infty[$.\\
On remarque que $u_n >A \Longleftrightarrow n^2 > A \Longleftrightarrow n>\sqrt{A} $.\\
Si on choisit $N$ le premier entier supérieur strictement à $\sqrt{A}$, ie $N=E\left(\sqrt{A}\right)+1$
alors $u_{n}=n^2>A$ pour tout $n\geq N$. Donc ce $N$ convient.
 \item $ \lim\limits_{n \to +\infty} w_n=-\infty$. En effet :\\
Soit $A>0$. Alors pour tout $n\geq N$ on a $u_n = n^2  > A$, donc on peut choisir $N=0$.\\
Soit $A$ un réel négatif. On veut montrer qu'il existe un rang $N$ à partir duquel tous les termes de la 
suite appartiennent à $]-\infty;A[$.\\
On remarque que $w_n < A \Longleftrightarrow -(n+1)^2 < A \Longleftrightarrow n>\sqrt{-A}-1 $.\\
Si on choisit $N$ le premier entier supérieur strictement à $\sqrt{A}$, ie 
$N=E\left(\sqrt{|A|}-1\right)+1=E\left(\sqrt{|A|}\right)$ alors $v_{n}<A$ pour tout $n\geq N$. 
Donc ce $N$ convient.
       \end{enumerate}
 \item Dans tous les cas on a choisit le plus petit $N$ convenable. Donc :
\begin{enumerate}
 \item Pour $A=10^6$ on a $N=10^6+1$.
 \item Pour $A=10^6$ on a $N=10^3+1$.
 \item Pour $A=-10^6$ on a $N=10^3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Cadre[Une méthode pour montrer qu'une suite diverge vers $+\infty$]{
\begin{itemize}
 \item On traite le cas $A<0$ trivialement.
  \item On pose $A>0$ quelconque et on résout $u_n>A$.
 \item On choisit alors $N=$partie entière de la solution trouvée $+1$
\end{itemize}
}

\begin{ExoF}
 Soit la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par $v_n=n^2-n$.
 \begin{enumerate}
  \item Résoudre les inéquations suivantes : \quad $v_n>10^5$ \quad et \quad $v_n >10^{10}$
  \item Conjecturer la limite de la suite $(v_n)$ puis la démontrer.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


%\begin{ExoC}
%On considère la suite $(u_n)$ définie par $ u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$.\\
%Montrer, par récurrence, que la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$. 
%\end{ExoC}

%\Sol{Soit $A\in\N$. Comme la suite $(u_n)$ est croissante, on veut montrer qu'il existe $N\in\N$ 
%tel que $u_{N}>A$. 
%En effet, dans ce cas l'intervalle ouvert $]A;+\infty[$ contiendra tous les termes de la suite à partir 
%de $N$. 
%\\
%Notons $\mathscr P(A)$ la propriété suivante : Il existe $ N\in\N$ tel que $u_{N}>A$
%\begin{itemize}
%\item \textbf{Initialisation} : $\mathscr P(0)$ est vraie, en effet $u_1>0$
%\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(A)$ soit vraie, montrons que $\mathscr P(A+1)$ est vraie,
%ie qu'il existe $N'$ à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à $A+1$.
%On remarque que 
%$$u_{2n}=u_n+\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}\geq u_n+n\times \dfrac{1}{2n}=u_n+\dfrac{1}{2}$$
%\end{itemize}
%Puisque $\mathscr P(A)$ est vraie, il existe un entier $N$ tel que $u_{N}>A$,  par conséquent :
%$$ u_{4N}\geq u_{2N}+\dfrac{1}{2}\geq u_{N}+1>A+1$$
%Donc à partir de $N'=4N$, tous les termes de la suite sont supérieurs à $A+1$. 
%Ainsi $\mathscr P(A+1)$ est vraie.
%On vient de démontrer, par récurrence, que $(u_n)$ est une suite qui diverge vers $+\infty$
%}





%\begin{ExoL}(Déclic)
%n$^{\circ}$ 6  p 19 + 52 p 34%\\
%n$^{\circ}$ 45 + 51 p 33 (démonstrations de limites usuelles énoncées ci-après)
%\end{ExoL}

\newpage

\subsection{Limites de référence}
\begin{act}
 Exos 45 et 51 p 34 (Déclic)
\end{act}



\begin{theo}
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} =0$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} =0$
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} =0$
\end{itemize}
\end{multicols}
Pour tout entier $k \geq 1$ : 
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item $ \lim\limits_{n \to +\infty} n^k=+\infty$
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^k} =0$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{theo}


\Dem[Partielle]{
\begin{itemize}
\item $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n}=+\infty$. \\
Soit $A$ un réel positif (le cas négatif est trivial). On veut montrer qu'il existe un rang 
$N$ à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à $]A;+\infty[$.\\
On remarque que $u_n >A \iff \sqrt{n}>A \Longleftrightarrow n > A^2$.\\
Si on choisit $N=E\left(A^2\right)+1$ alors $u_{n}>A$ pour tout $n\geq N$. Donc ce $N$ convient.
 \item $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} =0$\\
Soit $\epsilon$ un réel positif. On veut montrer qu'il existe un rang $N$ à partir duquel tous les termes 
de la suite appartiennent à $I=]-\epsilon;+\epsilon[$.\\
On remarque que $ \dfrac{1}{n^2}>0$ pour tout entier $n$, on cherche donc à déterminer à partir de quel 
entier $n_0$ on a :
$$ 0 < u_n <\varepsilon \iff 0<\dfrac{1}{n^2}<\varepsilon \iff 0< \dfrac{1}{\varepsilon} < n^2  \iff
 0< \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}} < n$$
Si on choisit $N$ le premier entier supérieur à $\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$ alors 
$u_{n}<\varepsilon$ pour tout $n\geq N$. Donc ce $N$ convient.
\end{itemize}
}


%\newpage
 %\subsection{Règles opératoires et propriétés}

\subsection{Opérations sur les limites}
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites.\\

\textbf{Cas d'une somme : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (u_n+v_n)$
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}>{\centering}m{2.4cm} *{6}{|>{\centering}m{2.1cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ &\makebox[3em]{$\ell$}&$\ell$&$\ell$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$\tabularnewline\hline
 \rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$  & \makebox[3em]{$\ell'$} & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$  \tabularnewline \hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} (u_n+v_n)$  & $\ell + \ell'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & 
\textcolor{red}{\textbf{On ne peut pas conclure directement}}  \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
  \end{center}
  
\vspace{0.5cm}

\textbf{Cas d'un produit : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} (u_n v_n)$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}>{\centering}m{2.4cm} *{4}{|>{\centering}m{3.3cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ &\makebox[3em]{$\ell$}&$\ell\neq 0$&$\infty$&$0$\tabularnewline\hline
\rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$ & \makebox[3em]{$\ell'$} &  $\infty$ & $\infty$ & $\infty$  \tabularnewline \hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} (u_n\times v_n)$  & $\ell \times \ell'$ & $\pm\infty$\\en suivant la règle des signes 
&  $\pm\infty$\\en suivant la règle des signes  & \textcolor{red}{\textbf{On ne peut pas conclure directement}}  \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
\end{center}
  
\vspace{0.5cm}

\textbf{Cas d'un quotient : }$ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}$
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}>{\centering}m{2cm} *{6}{|>{\centering}m{2.2cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$ &\makebox[3em]{$\ell$}&$\ell$& $\ell$ ou $\infty$&$0$&$0$&$\infty$\tabularnewline\hline
\rowcolor{blue!20} $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$ & \makebox[3em]{$\ell' \neq 0$} &  $\infty$ & $0^+$ ou $0^-$& $0$ & $\infty$ & $\infty$ 
 \tabularnewline \hline
$\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{u_n}{v_n}$  & $\dfrac{\ell}{\ell'}$ & $0$ &  $\pm\infty$\\ en suivant la règle des signes &
\textcolor{red}{\textbf{On ne peut pas conclure directement} } &  $0$  & \textcolor{red}{\textbf{On ne peut pas conclure directement}}  \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
\end{center}

\begin{ExoC}
Soient les suites $u$, $v$ et $w$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=\dfrac{2}{3n+5} ,\qquad \qquad ; \qquad \qquad v_n=(2n+4)(-5n+7) \qquad \qquad \text{ et } \qquad \qquad 
w_n=\dfrac{3-\dfrac{4}{n}}{\dfrac{2}{n}}$$
\end{ExoC}

\Sol{
\begin{itemize}
 \item Pour la suite $u$, par somme et produit on a \quad 
$\lim\limits_{n\to + \infty} (3n+5)=3$ \quad  et \quad  $\lim\limits_{n\to + \infty} n + 5=+\infty$.\\
Par quotient on obtient \quad  $\lim\limits_{n\to + \infty} u_n=0$
 \item Pour la suite $v$, on a \quad  $\lim\limits_{n\to + \infty} (2n+4)=+\infty$ \quad  et \quad  $\lim\limits_{n\to + \infty} (-5n+7)=-\infty$.\\
Par produit, on a donc \quad  $\lim\limits_{n\to + \infty} v_n=-\infty$.   
 \item Pour la suite $w$, on a  $\lim\limits_{n\to + \infty} \dfrac1n = 0$ donc 
$\lim\limits_{n\to + \infty} \left(3-\dfrac{4}{n}\right)=3$ \quad  et \quad  $\lim\limits_{n\to + \infty} \dfrac2n=0$ par valeurs positives.\\
Par quotient \quad  $\lim\limits_{n\to + \infty} w_n = +\infty$.
\end{itemize}
}

\Rq{
Ces règles sur les opérations sont naturelles, si on a un peu de bon sens. 
Mais il faut être conscient que tous les résultats 
de ces tableaux se démontrent (et certains ne sont pas évidents).
Nous ne présenterons ici aucune démonstration et nous admettrons tous ces résultats.\\
Il importe surtout de retenir les cas où on ne peut pas conclure directement. 
On parle de \textbf{forme indéterminée}.
C'est dans ces cas là qu'on vous demandera essentiellement des limites. Pour les trouver, il vous faudra faire appel à des 
calculs du type développement, factorisation (souvent par le terme de plus haut degré), etc, afin de transformer l'écriture de la suite, et d'obtenir une forme connue 
de limite.
}
   
\Cadre[LES 4 FORMES IND\'ETERMIN\'EES \`A CONNA\^ITRE]{
  $$ \og \infty -\infty \fg \qquad\qquad\qquad \og 0\times \infty \fg \qquad\qquad\qquad 
\og \dfrac{0}{0} \fg \qquad \qquad\qquad
 \og\dfrac{\infty}{\infty}\fg  $$
 \begin{center} \begin{scriptsize}Attention, on ne dira pas \og z\'ero sur z\'ero est une forme ind\'etermin\'ee \fg mais plut\^ot \og le quotient de deux fonctions tendant vers $0$ est une forme ind\'etermin\'ee \fg \end{scriptsize}\end{center}
}



\begin{ExoC}
Soient les suites $u$ et $v$, $w$ et $t$ définies sur $\N$ par :
$$u_n=n-\sqrt{n} ,\qquad  \qquad v_n=\dfrac{2n^2+1}{-n^2+3},  \qquad \qquad
w_n=\dfrac{-n^3+3}{2n^2-5n+1}
\qquad  \text{ et } \qquad  t_n= \dfrac{2n^2-5n+1}{-n^3+3}$$
\end{ExoC}
\vspace{-1cm}
\Sol{
\begin{itemize}
 \item Pour la suite $u$, on a $\lim\limits_{n\to + \infty} n=+\infty$  et $\lim\limits_{n\to + \infty} \left( -\sqrt{n} \right)=-\infty$.\\
Il s'agit donc d'une forme indéterminée.\\
Pour trouver la limite, on factorise : $u_n=n\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$.\\
Or $\lim\limits_{n\to + \infty} n=+\infty$ et $\lim\limits_{n\to + \infty}\left(1- \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=1$.
Par produit, on a $\lim\limits_{n\to + \infty} u_n=+\infty$.
 \item Pour la suite $v$, on a $\lim\limits_{n\to + \infty} \left(2n^2+1\right)=+\infty$  
et $\lim\limits_{n\to + \infty} \left(-n^2+3\right)=-\infty$.\\ 
Il s'agit donc d'une forme indéterminée.\\
Pour trouver la limite, on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré :
$$v_n=\dfrac{n^2\left(2+\dfrac1{n^2}\right)}{n^2\left(-1+\dfrac{3}{n^2}\right)} = \dfrac{2+\dfrac1{n^2}}{-1+\dfrac{3}{n^2}}$$
Or $\lim\limits_{n\to + \infty} 2+\dfrac1{n^2} = 2$ et $\lim\limits_{n\to + \infty} -1+\dfrac3{n^2} = -1$.
Par quotient, on obtient $\lim\limits_{n\to + \infty} v_n = -2$.
\item Pour $w$ et $t$, il s'agit là encore de formes indéterminées. La méthode est la même que précédemment.\\
On trouvera $\lim\limits_{n\to + \infty} w_n = -\infty$ et $\lim\limits_{n\to + \infty} t_n = 0$.
\end{itemize}
}

\Rq{
Notons que les trois derniers cas traitent également la forme indéterminée \og $0 \times \infty$ \fg\, 
puisque $\dfrac{a}{b}=a\times \dfrac{1}{b}$
}



\begin{ExoF}
 Soit la suite $(u_n)$ définie par \quad $\left\{\begin{array}{l}
                                                 u_0=\dfrac12 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}
                                                \end{array}\right.$\quad et 
la suite $(v_n)$ est définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac1{u_n}+1$
\begin{enumerate}
 \item A l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement à l'infini de la suite $(u_n)$.
 \item Prouver que la suite $(v_n)$ est arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
 \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
 \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère deux suites $u$ et $v$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite éventuelle des suites $u$, $v$ et $u+v$ dans les cas suivants :
  \begin{enumerate}
 \begin{multicols}{2}
  \item $u_n=n^2+n$ et $v_n=-n$
   \item $u_n=n+1$ et $v_n=-n^2-n$
   \item $u_n=n+1$ et $v_n=-n+2$
   \item $u_n=n+(-1)^n$ et $v_n=-n$
   \end{multicols}
  \end{enumerate}
\item Proposer des termes généraux $u_n$ et $v_n$ tels que $\Lim[n]{+\infty}u_n=+\infty$ et 
$\Lim[n]{+\infty} v_n = 0$
tels que 
\begin{enumerate}
 \begin{multicols}{2}
  \item $\Lim[n]{+\infty}u_n \times v_n = +\infty$
   \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = 0$
   \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = - \infty$
   \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = 4$
   \end{multicols}
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\noindent\begin{minipage}{11.5cm}
 \begin{ExoF}
On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par  
$$ u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}\qquad \text{et} \qquad v_n=-(n+1)^2$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera.
\item On considère l'algorithme ci-contre.\\
Quel est l'intérêt de cet algorithme ?
\item A partir de quel rang $N$ la distance entre $u_n$ et $\ell$ est-elle strictement inférieure à $0,001$ ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $v$.
\item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n<-10^{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}\qquad 
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}
\Algo{6.5cm}{
\Variable{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.\\
}
{
$n=0$ et $u=\dfrac{1}{3}$.\\
  \While{$|u-2|\geq 0,001$}
{$n:=n+1$ et $u:=\dfrac{2n+1}{n+3}$  
}
\\Afficher $n$
}
}
\end{center}
\end{minipage}


\noindent\begin{minipage}{11.5cm}
\begin{ExoF}
 On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par :
$$ u_n=\dfrac{5}{n+1}\qquad \text{et} \qquad v_n=n^2-n$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera.
\item Compléter l'algorithme suivant de manière à ce qu'il affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que la distance entre $u_n$ et $\ell$ soit inférieure à $10^{-5}$ :
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $v$.
\item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n>10^{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\Algo{6.5cm}{
\Variable{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.\\
}
{
$n=0$ et $u=\dots $.\\
  \While{$\dots\dots \dots $}
{$\dots \dots \dots $ et $\dots \dots\dots \dots$  
}
\\Afficher $\dots $
}
}
\end{center}
\end{minipage}


\noindent \begin{minipage}{11cm}
\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\dfrac{n+1}{2n^3+1}$$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.
\item On donne l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
       \item Que fait-il ?
	\item Programmer cet algorithme sur le logiciel de votre choix et déterminer les rangs $N$
	associés à $e=10^{-2}$ puis $e=10^{-5}$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{8cm}
 \Algo{7.5cm}{
  \Entree{
 $e$ est un nombre réel    
  }
  \Variable{
    $n$ est un nombre entier
  }
  \Deb{
    $n\leftarrow 0$\\
    \While{$\left|\dfrac{n+1}{2n^3+1}\right| \leq e$}
    {
      $n\leftarrow n+1$
    }
    Renvoyer $n$.
  }
 }
 
\end{minipage}


\Cadre[Exemples de programmation]{
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
Sur \textbf{TI 89} :\\
\includegraphics[scale=1.2]{TI89.eps}   \\~\\ 
\end{center}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
Sur \textbf{Algobox} : \\
\includegraphics[scale=0.6]{Algobox.eps}  \\~\\                                  
\end{center}
\end{minipage}
\\\\
\noindent\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
Sur \textbf{TI 82 à 84} :\\
\includegraphics[scale=1.2]{TI83.eps} \\~\\ 
\end{center}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
Sur \textbf{Scilab} :\\
\includegraphics[scale=0.8]{Scilab.eps} \\~\\ 
\end{center}
\end{minipage}\\\\
\noindent\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
Sur \textbf{TI Nspire CX CAS} :\\
\includegraphics[scale=0.8]{Nspire.eps}
\end{center}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{8cm}
Sur \textbf{Casio}, les commandes sont les mêmes, sauf pour la saisie et l'affichage des variables, respectivement écrites ainsi : \\
\texttt{? $\to$ N} \qquad  et \qquad \texttt{N} $\blacktriangleleft$
\end{minipage}
}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 57 - 59 - \textbf{63 - 64} p 34 (FI)\\
\end{ExoL}

\newpage
\section{Suites majorées, minorées et bornées}

\subsection{Définition}
\begin{defi}On considère une suite $(u_n)$. 
\begin{itemize}
\item On dit que $(u_n)$ est \textbf{majorée} s'il existe $M\in\R$ tel que $u_n<M, \quad \forall n\in\N$
\item On dit que $(u_n)$ est \textbf{minorée} s'il existe $m\in\R$ tel que $u_n>m, \quad \forall n\in\N$
\item On dit que $(u_n)$ est \textbf{bornée} si elle est majorée et minorée i.e s'il existe $m\in\R$ et $M\in\R$ tel que $$ m<u_n<M, \quad \forall n\in\N$$ 
\end{itemize}
\end{defi}

\Rq{$(u_n)$ est bornée si et seulement si il existe $M\in\R$ tel que $\mid u_n\mid<M$. \\
En effet si tel est le cas alors on a : $-M<u_n<M$. \\
Réciproquement si $(u_n)$ est bornée alors il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $a<u_n<b$. \\
Choisissons $M=max(\mid a\mid; \mid b \mid)$, dans ce cas on a $-M\leq a$ et $b\leq M$, et donc : $$\mid u_n\mid<M$$
}

\begin{ExoC}
Soit la suite $(u_n)$ définie par $ u_n=\dfrac{(-1)^n+\sin n}{n^2}$. Montrons que $(u_n)$ est bornée.
\end{ExoC}

\Sol{
\begin{eqnarray*}
& -1-1\leq (-1)^n+\sin n\leq 1+1 & \text{en effet $-1\leq (-1)^n\leq 1$ et $ -1\leq \sin n\leq 1$}\\
\Longleftrightarrow & -2\leq (-1)^n+\sin n \leq 2 \quad \text{et}\quad 0\leq \dfrac{1}{n^2}\leq 1 \\
\Longleftrightarrow & -2\leq u_n \leq 2
\end{eqnarray*}
}

\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N^*$ par \quad $u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $ \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}\leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}, \forall k\geq 2$.
\item Montrer que $ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=1-\dfrac{1}{n}$
\item Montrer que $\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq 1$
\item En déduire que $(u_n)$ est majorée.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}



\begin{ExoF}On considère la suite définie par \quad $ u_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2+5}$
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R^+$ par $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+5}$. Etudier les variations de $f$ sur $\R^+$
\item Dresser le tableau de variation de $f$
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}Soit la suite $(u_n)$ définie par \quad $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\sqrt{6+u_n} \end{array} \right.$
Montrer, par récurrence, que cette suite est bornée.
\end{ExoF}

\Sol{Compte tenu de la définition de la suite (et de la présence du signe radical), on peut minorée la suite par $0$, mais par quoi la majorée ??\\
Le calcul des premiers termes, donne ici une indication :
$$ u_1\simeq 2,45\quad u_2\simeq 2,91 \quad u_3\simeq 2,98$$
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $0\leq u_n\leq 3$ et démontrons cette propriété par récurrence
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : $\mathscr P(0)$ est vraie de manière évidente puisque $u_0=0$
\item \textbf{Hérédité} : Supposons que $\mathscr P(n)$ est vraie, et montrons que $\mathscr P(n+1)$ l'est aussi.\\
Dans ce cas on a : $\qquad \qquad \qquad  0\leq u_n \leq 3$\\
Par conséquent : $ \qquad \qquad \qquad 6\leq 6+u_n\leq 9$\\
Et par passage à la racine : $\qquad \qquad \sqrt{6}\leq \sqrt{6+u_n}\leq 3$ \\
Au final : $ \qquad \qquad \qquad \sqrt{6}\leq u_{n+1}\leq 3\Longrightarrow 0\leq u_{n+1}\leq 3$\\
Par conséquent $\mathscr P(n+1)$ est vraie, et on vient de montrer, par récurrence, que $\forall n\in\N$ on a : $$ 0\leq u_{n+1}\leq 3$$
i.e que $(u_n)$ est une suite bornée.
\end{itemize}
}

\subsection{Bornes et limites}
\begin{theo}
Si $(u_n)$ est une suite convergente alors $(u_n)$ est bornée. 
\end{theo}


\Dem{Notons $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$, alors tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle $]\ell-1;\ell+1[$ 
à partir d'un certain rang $N$. On a alors pour tout $n \geq N$ : $$ \ell-1< u_n<\ell+1$$
Notons $m=min(u_0;u_1;u_2;\dots;u_{N-1};\ell-1)$ et $M=max(u_0;u_1;u_2;\dots;u_{N-1};\ell+1)$, alors on a :
$$ \forall n\in\N \qquad m\leq u_n\leq M$$
ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est bornée.}




\begin{theo}[Admis]
\begin{itemize}
 \item Toute suite croissante et majorée de réels converge.
 \item Toute suite décroissante et minorée de réels converge.
\end{itemize}
\end{theo}

\Expl{
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=1+\dfrac{1}{n}$ sur $\N^*$. Cette suite est décroissante minorée par $1$, 
donc elle converge. 
}

\Att{
Ici le minorant trouvé est la limite, mais ce n'est pas toujours le cas ! Le théorème donne l'existence d'une limite mais pas sa valeur.
}

\begin{ExoC}
On considère la suite $w$ définie par 
$$\left\{ \begin{array}{l}
 w_0=0.6 \\ w_{n+1}=0.7 w_n + 0.1
\end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
 \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ on a $0 \leq w_{n+1} \leq w_n \leq 1$
 \item Justifier alors que la suite $w$ est convergente.
 \item Préciser la valeur de sa limite.
\end{enumerate}
\end{ExoC}

\Sol{
\begin{enumerate}
 \item \begin{itemize}
        \item Initialisation : $w_1=0.52$ donc on a bien $0 \leq w_1 \leq w_0 \leq 1$
 \item Hérédité : On suppose que $\exists k \in \N$ , $0 \leq w_{k+1} \leq w_k \leq 1$.
Alors on a 
$$0 \leq 0.7w_{k+1} \leq 0.7w_k \leq 0.7 \iff 0.1 \leq 0.7w_{k+1}+0.1 \leq 0.7w_k+0.1 \leq 0.8 \iff 0.1 \leq w_{k+2} \leq w_{k+1} \leq 0.8$$
Donc on a bien $0 \leq w_{k+2} \leq w_{k+1} \leq 1$. La propriété est héréditaire.
 \item La propriété est initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n$.
       \end{itemize}
 \item On déduit de la question précédente que la suite $(w_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge vers un réel $\ell$.
 \item La suite $\left(w_{n+1}\right)$ est une sous-suite de $(w_n)$ donc elle converge vers $\ell$.\\
De plus, $w_{n+1}=0.7w_n+0.1$ et on sait que $\lim\limits_{n\to + \infty} 0.7w_n+0.1 = 0.7\ell +0.1$.\\
Par unicité de la limite on obtient $\ell = 0.7 \ell + 0.1 \iff \ell = \dfrac13$.
\end{enumerate}
}


\begin{theo}
\begin{itemize}
 \item Toute suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$.
 \item Toute suite décroissante non minorée diverge vers $-\infty$.
\end{itemize}
\end{theo}

\Dem{
\begin{itemize}
 \item Soit $(u_n)$ une suite croissante non majorée et un intervalle $I=]A;+\infty[$ ($A\in\R$). 
La suite $u$ n'étant pas majorée, il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0} \geq A$. \\
La suite $u$ étant croissante, tous les termes après le rang $n_0$ sont supérieurs à $A$, donc contenus dans $I$.\\
Donc la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
 \item La deuxième partie découle de la première, en considérant la suite $(-u_n)$, croissante non majorée.
\end{itemize}
}

\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-0.5x^2+x+0.5$.\\
 Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par \quad $\left\{\begin{array}{l}
                                                            u_0=-0.5 \\ u_{n+1}=f(u_n)
                                                           \end{array}\right.$
\begin{enumerate}
 \item Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
 \item Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 1.
 \item \begin{enumerate}
        \item Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ vérifiant $f(\ell)=\ell$.
        \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.
       \end{enumerate}
\item Pour tout réel $e>0$, on souhaite déterminer le rang $N$ à partir duquel la distance entre $u_n$ et $\ell$
       est inférieure à $e$.
       \begin{enumerate}
       \item Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème.
       \item Programmer, puis déterminer le premier rang $N$ associé à $e=10^{-5}$ puis à $e=10^{-10}$
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 67-68 p 35 + \textbf{79} p 36 (Vrai-Faux)\\
n$^{\circ}$ 80-\textbf{81-82} p 35\\
n$^{\circ}$ 93-95-96-99-\textbf{100} ... p 39 (Prépa Bac)
\end{ExoL}

%\newpage
\section{Inégalités et limites}

\subsection{Limites finies}





\begin{prop}
 Soient $u$ et $v$ deux suites convergentes telles que $u_n < v_n$ ou $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang. 
Alors, dans les deux cas, on a : 
$$ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n\leq \lim\limits_{n \to +\infty}v_n$$
\end{prop}

\Dem{Notons $\ell_1$ la limite de $u$, $\ell_2$ la limite de $v$ et $N_0$ le rang à partir duquel $u_n<v_n$.\\
Raisonnons par l'absurde et supposons que $\ell_1>\ell_2$.\\
Notons $d=\ell_1-\ell_2$
Par définition, l'intervalle ouvert $I_1$ de centre $\ell_1$ et de rayon $ \dfrac{d}{3}$ contient 
tous les termes de la suite $u$ à partir d'un certain rang $N_1$, de même l'intervalle ouvert $I_2$ de centre $\ell_2$ et
de rayon $ \dfrac{d}{3}$ contient tous les termes de la suite $v$ à partir d'un certain rang. \\
On a le schéma suivant :
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-10,-4)(21,2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.5,-0.5)(11,0.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=10pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline(-2.5,0.5)(-2,0.5)
\psline(-2,-0.5)(-2.5,-0.5)
\psline(-2,-0.5)(-2,0.5)
\psline(2.5,0.5)(2,0.5)
\psline(2,-0.5)(2.5,-0.5)
\psline(2,-0.5)(2,0.5)
\psline(3.5,0.5)(4,0.5)
\psline(4,-0.5)(3.5,-0.5)
\psline(4,-0.5)(4,0.5)
\psline(8.5,0.5)(8,0.5)
\psline(8,0.5)(8,-0.5)
\psline(8,-0.5)(8.5,-0.5)
\psline{->}(-8,0)(10,0)
\psline{<->}(0,-1)(6,-1)
\psline(2,-0.9)(2,-1.1)
\psline(4,-0.9)(4,-1.1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-1)
\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,-1)
\rput[bl](3,-1.5){\blue{$d$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.13,0.2){\blue{$\ell_2$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](6,0)
\rput[bl](6.06,0.2){\blue{$\ell_1$}}
\end{pspicture*} 
\end{center}
}
\DemS{
Par conséquent à partir de $N=max(N_0, N_1, N_2)$, on a :
\begin{itemize}
 \item $u_n<v_n$
 \item $u_n\in I_1$ donc $u_n > \ell_1 - \dfrac{d}3$
 \item $v_n\in I_2$ donc $v_n < \ell_2 + \dfrac{d}3 < \ell_1 - \dfrac{d}3 < u_n$
\end{itemize}
Ce qui est absurde. D'où $\ell_1 \leq \ell_2$.
}

\Att{
Le cas d'une inégalité stricte sur les termes de la suite et d'une égalité des limites est fréquent.
}

\Expl{
Soient $u$ et $v$ les suites définies sur $\N^*$ par $u_n=\dfrac1{n^2}$ et $v_n=\dfrac1n$.\\
Alors à partir de $N_0=2$ on a $n^2>n \iff \dfrac1{n^2} < \dfrac1{n} \iff u_n < v_n$.\\
Or on sait déjà que $\lim\limits_{n\to + \infty} u_n = \lim\limits_{n\to + \infty} v_n = 0$.
On est donc dans le cas où $\ell_1 = \ell_2$.
}

\Rq{
On sait qu'une suite convergente est bornée par $M\in\R$ et $m\in\R$, donc ce théorème nous indique que sa limite $\ell$ est telle que :
$$m\leq \ell \leq M$$
En effet, il suffit de prendre pour  $(v_n)$ la suite constante  égale à $M$, alors on a $\ell \leq M$. On procède de même pour $m$.
}

\begin{theo}[des gendarmes]
Soit $u$, $v$ et $w$ trois suites et $\ell \in \R$ tels que :
\begin{enumerate}
\item à partir d'un certain rang $u_n\leq v_n\leq w_n $
\item $ \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\lim\limits_{n \to +\infty}w_n=\ell$
\end{enumerate}
Alors $v$ converge aussi et on a $ \lim\limits_{n \to +\infty}v_n=\ell$
\end{theo}

\Dem{Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $\ell$.
Notons $N_0$ le rang à partir duquel on a $u_n\leq v_n\leq w_n $\\
$N_1$ le rang à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont contenus dans $I$ et $N_2$ 
le rang à partir duquel tous les termes de la suite $(w_n)$ sont contenus dans $I$. \\
Notons $N=max(N_0;N_1;N_2)$, alors on a :
\begin{itemize}
\item à partir du rang $N$, $u_n\leq v_n\leq w_n $
\item D'après le point précédent, tous les termes de la suite $v_n$ sont contenus dans $I$
 à partir du rang $N$, ce qui prouve que la suite $(v_n)$ converge vers $\ell$
\end{itemize}}


\begin{ExoC}
Soient les suites $u$ et $v$ définies sur $\N^*$ par 
$u_n=1+\dfrac{3\cos(n)}{n^2}$ \qquad et \qquad $v_n=\dfrac{(-1)^n+3n^2}{n^2}$.\\
Déterminer les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
\end{ExoC}

\Sol{
\begin{itemize}
 \item On sait que pour tout $n\in\N^*$ on a $-1 \leq \cos(n) \leq 1$ donc $1-\dfrac{3}{n^2} \leq u_n \leq 1+\dfrac{3}{n^2}$.\\
Or $\lim\limits_{n \to + \infty} \left(1-\dfrac{3}{n^2} \right)=\lim\limits_{n \to + \infty} \left(1+\dfrac{3}{n^2} \right)=1$.\\
D'après le théorème des gendarmes, on conclut que $\lim\limits_{n \to + \infty} u_n=1$.
 \item On sait que pour tout $n\in\N^*$ on a $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ donc $\dfrac{-1+3n^2}{n^2} \leq v_n \leq \dfrac{1+3n^2}{n^2}$.\\
Or $\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{-1+3n^2}{n^2} =\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1+3n^2}{n^2} =3$.\\
D'après le théorème des gendarmes, on conclut que $\lim\limits_{n \to + \infty} v_n=3$.
\end{itemize}
}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 75-76-\textbf{77} p 35-36 (th des gendarmes)
\end{ExoL}

\subsection{Limites infinies}

\begin{theo}[Théorème de comparaison]
Soient $u$ et $v$ deux suites telles que $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang. 
\begin{itemize}
\item Si $\lim\limits_{n\to + \infty}u_n = + \infty$\quad alors \quad $\lim\limits_{n\to + \infty}v_n = + \infty$\\
\item  Si $\lim\limits_{n\to + \infty}v_n = - \infty$\quad alors \quad $\lim\limits_{n\to + \infty}u_n = - \infty$
\end{itemize}
\end{theo}

\Dem{(Exo 69 p 35 du Déclic)
\begin{itemize}
 \item Considérons $A$ un réel. On sait que $u$ diverge vers $+\infty$ donc
à partir d'un certain rang $N$ tous les termes de la suite $u$ vérifient : $ u_n>A$.\\
Par conséquent, à partir du rang $N$, on a aussi $v_n>A$, ce qui prouve que $v$ diverge vers $+\infty$. \\
\item La deuxième démonstration est analogue.
\end{itemize}
}

\begin{ExoC}
Soient les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par $u_n=n^2-3\sin(n)$ et $v_n=-n+1+(-1)^n$. \\
Déterminer les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
\end{ExoC}

\Sol{
\begin{itemize}
 \item On sait que pour tout $n\in\N$ on a $-1\leq \sin(n) \leq 1$ donc $n^2 -3 \leq u_n$.\\
Or $\lim\limits_{n\to + \infty} n^2-3 = + \infty$ donc $\lim\limits_{n\to + \infty} u_n = + \infty$.
\item  On sait que pour tout $n\in\N$ on a $ (-1)^n \leq 1$ donc $v_n \leq -n + 2 $.\\
Or $\lim\limits_{n\to + \infty} -n+2 = - \infty$ donc $\lim\limits_{n\to + \infty} v_n = - \infty$.
\end{itemize}
}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 70-71-\textbf{73} p 35 (comparaison infini)\\
\end{ExoL}

\subsection{Application à la suite $(q^n)$ avec $q\in\R$}

\begin{prop}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Si $q>1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$
\item Si $q=1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=1$\\
\item Si $-1<q<1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$
\item Si $q<-1$, on a $(q^n)$ n'admet pas de limite.\\
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}

\Dem{
On commence par démontrer par récurrence l'inégalité de Bernoulli (cf p 17 du Déclic ou Exo 10 du chapitre précédent) :
$$ \text{$\forall x \geq 0$ et $\forall n\in\N$ on a :} (1+x)^n\geq 1+nx$$
\begin{enumerate}
\item Si $q>1$ alors $q=q'+1$ avec $q'>0$ et on a $q^n=(1+q')^n \geq 1+nq'$.\\
Or $\lim\limits_{n\to + \infty}(1+nq')=+\infty$ car $q'>0$. Donc  $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$.
\item Si $q=1$ alors $(q^n)$ est constante égale à 1 (donc convergente vers $1$) .
\item Si $-1<q<1$. On pose $q'=\dfrac{1}{|q|}$. Alors $q'>1$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} (q')^n=+\infty$. \\
Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=\pm\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{(q')^n}=0$.
\item Si $q\leq -1$, alors $(q^{2n})$ tend vers $+\infty$ tandis que $(q^{2n+1})$ tend vers $-\infty$. \\
Donc $(q^n)$ n'a pas de limite.
\end{enumerate} 
}

\begin{ExoC}
Déterminer la limite de la suite géométrique de raison 2 et de premier terme $-3$. 
\end{ExoC}



\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ \textbf{78-84 à 87} p 37 (suites géométriques)
\end{ExoL}









\end{document}
