\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1.2}

\newcommand{\typedoc}{Cours Partie II}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\ch}{Chapitre 13}
\newcommand{\Ch}{Nul n'est cens\'e ignorer les lois continues}	
\newcommand{\Cl}{TG6}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
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\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{13}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 

\Chacha{Xavier.eps}{Laurence Anyways}{Xavier Dolan}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}
{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Laurence Anyways est un film franco-québécois, un mélodrame, écrit et réalisé par Xavier Dolan, 
sorti en 2012.\\
Le film a reçu le prix de meilleur film canadien au festival international du film de 
Toronto et le grand prix au festival du film de Cabourg, ainsi que le Prix collégial du 
cinéma québécois en 2013.
C'est l'histoire d'un impossible amour entre un homme et une femme après que celui-ci ait décidé de 
changer de sexe dans les années 90. \\
Le jour de ses trente ans, Laurence annonce à Fred qu’il veut devenir une femme 
et lui demande de l’accompagner dans sa transformation. Pour Fred, c’est un coup de tonnerre, 
mais elle décide malgré tout de donner une chance à leur couple. \\
Face aux jugements et à l’incompréhension, Laurence et Fred vont tout faire pour préserver leur amour 
hors du commun.\\\\
Xavier Dolan, né le 20 mars 1989 à Montréal,se fait connaître en tant que scénariste et réalisateur 
lors de la projection de son premier long métrage : 
\og J'ai tué ma mère \fg à la 41e Quinzaine des réalisateurs, 
au cours de la 62e édition du Festival de Cannes.  Il y gagne trois prix et les trois jurys 
soulignent le caractère unique de sa réalisation, la vérité, la violence et la poésie de la langue, 
ainsi que l'acharnement du jeune cinéaste et la foi en ses projets.
}{0.8}{0.8}{
  \item Découvrir les univers infinis et les lois continues
  \item Connaître trois lois continues
  \item Approximer une loi binomiale par une loi normale
  \item Déterminer des probabilités de la loi normale à la calculatrice
  \item Raisonner par considérations géométriques pour trouver des probabilités de loi normale
}
\TITRE{couple.eps}{0.8}
 

\begin{abstract}
Partie II
\end{abstract}


\setcounter{section}{3}

\section{La loi normale centrée réduite}
\subsection{Définition}

\begin{propo}[Admise]
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}$. On a  :
 $$\Lim[t]{-\infty} \int_t^0f(x)dx=\dfrac12 \qquad \text{ et } \qquad \Lim[t]{+\infty}\int_0^t f(x)dx=\dfrac12$$
 Ainsi, la fonction $f$ étant de plus clairement continue est positive sur $\R$, 
 est une densité de probabilité sur $\R$.
\end{propo}

\begin{defi}
 La loi normale centré réduite $\mathscr N(0,1)$ est la loi de probabilité ayant pour densité la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
 $$f(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}$$
\end{defi}


\Rqs{\item La loi normale modélise des phénomènes naturels très fréquents (d'où son nom), 
qui résultent de l'addition de plusieurs causes indépendantes, comme la taille d'individus, 
le taux de cholestérol, les erreurs de mesure ...
  \item  Ainsi, si une variable aléatoire $X$ suit une loi $\mathscr N(0,1)$, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a<b$ on a :
 $$P(a\leq X \leq b)=\int_a^b \dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{t^2}2}dt$$
 \item On sait donc que $P(X\leq 0)=P(X\geq 0 ) = \dfrac12$
 \item La fonction $f$ est paire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. D'où :
 \begin{itemize}
  \item Pour tout réel $a$ on a $P(X\leq -a)=P(X\geq a) = 1-\P(X< a)=1-P(X\leq a)$
  \item Si $a\geq 0$ on a aussi $P(-a \leq X \leq a)=2P(0\leq X \leq a) = 1-2P(X > a )=2P(X\leq a)-1$
 \end{itemize}
 \begin{center}
  \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.cm,yunit=10cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-0.03)(4,0.45)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=100,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=10]{->}(0,0)(-4,-0.03)(4,0.45)
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{1/(2*PI)^0.5*EXP((-x^2)/2)}
\pscustom[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1}{2}{1/(2*PI)^0.5*EXP((-x^2)/2)}\lineto(2,0)\lineto(-1,0)\closepath}
\rput[bl](-3.5,0.3){\red{$f(x) = \dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}2}$}}
\rput[bl](-1.1,-0.03){\blue{$a$}}
\rput[bl](1.9,-0.03){\blue{$b$}}
\rput[bl](-0.8,0.15){\blue{$P(a\leq X \leq b)$}}
\end{pspicture*}
\qquad 
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=10cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-0.03)(4,0.45)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=100,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=10]{->}(0,0)(-4,-0.03)(4,0.45)
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{1/(2*PI)^0.5*EXP((-x^2)/2)}
\pscustom[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-10}{-1.5}{1/(2*PI)^0.5*EXP((-x^2)/2)}\lineto(-1.5,0)\lineto(-10,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{1.5}{10}{1/(2*PI)^0.5*EXP((-x^2)/2)}\lineto(10,0)\lineto(1.5,0)\closepath}
\rput[bl](-3.5,0.3){\red{$f(x) = \dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\dfrac{x^2}2}$}}
\rput[bl](-1.6,-0.03){\blue{$-a$}}
\rput[bl](1.4,-0.03){\blue{$a$}}
\rput[bl](2.5,0.15){\blue{$P( X \geq a)$}}
\rput[bl](-3.5,0.15){\blue{$P( X \leq -a)$}}
\psline{->}(-2.8,0.13)(-1.8,0.02)
\psline{->}(2.8,0.13)(1.8,0.02)
\end{pspicture*}
 \end{center}
}

\begin{prop}
 Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi $\mathscr N(0,1)$. On a :
 $$E(X)=\Lim{-\infty} \int_x^0tf(t)dt+ \Lim{+\infty}\int_0^x tf(t)dt=0 \qquad \text{ et }
 \qquad V(X)=E\left(\left(X-E(X)\right)^2\right)=1$$
 Ainsi une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètre $0$ et $1$ est centrée réduite.
\end{prop}

\Dem{
  $\int_x^0tf(t)dt=  \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^0 te^{-\frac{t^2}2}dt = 
  \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[-e^{-\frac{t^2}2}\right]_x^0 = 
  \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(-1+e^{-\frac{x^2}2}\right)$\qquad 
    D'où $\Lim[t]{-\infty} \int_x^0tf(t)dt = -\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$\\
  De même  $\int_0^xtf(t)dt= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(e^{-\frac{x^2}2}-1\right)$\qquad 
      D'où $\Lim{+\infty} \int_0^xtf(t)dt = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$\\
      Donc $E(X)=0$
}

\newpage

\subsection{Approximation de la loi binomiale}
Le théorème de Moivre-Laplace implique donc, si une variable $X_n$ suit une loi $\mathscr B(n,p)$
 et que la loi de probabilité de la variable centrée réduite associée $Z_n=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$, 
 \og tend vers \fg la loi normale centrée réduite, lorsque $n$ devient grand .\\


 Dans la pratique, on estime que quand $X$ suit une loi $\mathscr B(n,p)$ avec $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$
 on peut approximer la variable $Z=\dfrac{X-np}{np(1-p)}$ par une variable $Z$ de loi $\mathscr N(0,1)$ puis 
 se ramèner à la loi binomiale de $X$.
 
 
 \Expl{Si $X$ suit la loi binomiale $\mathscr B(50;0.2)$ on a 
 $$P(15\leq X \leq 30)
 =P\left(\dfrac{15-10}{10\times 40} \leq \dfrac{X-10}{10\times 40} \leq \dfrac{30-10}{10\times 40}\right)
 =P\left(0.0125\leq Z \leq 0.05\right)\simeq \int_{0.0125}^{0.05}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}dx
 \simeq 0.0150$$
 Ce qui est bien plus rapide que d'ajouter chacun des $P(X=k)$ pour $k$ variant de $15$ à $30$ !\\
 Evidemment, actuellement, vous ne connaissez encore que la méthode fastidieuse, car vous ne connaissez pas 
 de primitive à la densité de la loi normale ...
 Pour calculer cette intégrale, on a besoin de la 
 calculatrice ou encore de tables de valeurs fournies par les énoncés. \\
 La plupart des calculs liés à la loi normale seront donc des estimations.
}


\begin{center}
\textbf{Quelques approximations}\\
  \begin{tabular}{|>{\centering}m{5.5cm}*{5}{|>{\centering}m{1.8cm}}|}\hline  
   \textbf{$n$} & 15 & 50 & 100 & 100 & 100   \tabularnewline\hline
  \textbf{ $p$}& 0.4 & 0.4 & 0.4 & 0.02 & 0.98   \tabularnewline\hline
  %\textbf{$np$} &  6 & 20 & 40 & 2 & 98     \tabularnewline\hline
   %$n(1-p)$ & 9 & 30 & 60 & 98 & 2  \tabularnewline\hline
   $P(3\leq X_n \leq 12)$ & 0.97 & 0.013 & $6\times 10^{-10}$ & 0.32 & $2\times 10^{-135}$  \tabularnewline\hline
   $P\left(\dfrac{3-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq Z \leq \dfrac{12-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$ & 0.94 & 0.010 & $55\times 10^{-10}$ & 0.23 & $4\times10^{-10}$ \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
\end{center}
 
On constate l'écart qui peut être important lorsque les critères de validité ne sont pas remplis ...
 

\begin{ExoC}
 \textbf{Pondichéry 2013}\\
Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant 
une période d'épidémie de grippe.\\
Cette entreprise emploie 220 salariés. 
On admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant 
cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$.\\ 
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.\\ 
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera 
		les paramètres.\\		 
Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$. 
		\item On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire 
		$\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ 		
		par la loi normale  centrée réduite c'est-à-dire de paramètres $0$ et $1$.\\		 
On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. \\
Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& $-1,55$ &$-1,24$ &$-0,93$ &$- 0,62$ &$- 0,31$ &0,00 &0,31 &0,62 &0,93 &1,24 &1,55\\ \hline 
$P(Z < x)$& 0,061 &0,108 &0,177 &0,268 &0,379 &0,500 &0,621 &0,732 &0,823 &0,892 &0,939\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à $10^{-2}$ 
près de la probabilité de l'évènement : \og le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours 
d'une semaine donnée est supérieur ou égal  à 7 et inférieur ou égal à 15 \fg. 
\end{enumerate}
\end{ExoC}

\newpage
\subsection{A la calculatrice}
\subsubsection{TI82-83-84}

\noindent \begin{tabular}{|>{\centering\columncolor{vert!22}\bfseries}m{4cm}|>{\centering}m{4cm}|>{\centering}m{9.5cm}|}\hline
\rowcolor{vert!22} \textbf{Objectif} & \textbf{Affichage voulu}  & \textbf{Méthode à suivre} \tabularnewline\hline
  Calculer $P(a\leq X \leq b)$\\
  où $X \hookrightarrow \mathscr  N(\mu,\sigma^2)$
& \fbox{\includegraphics[scale=1]{82N01.eps}}  \\~\\
\fbox{\includegraphics[scale=1]{82Nms.eps}}  
&   Appuyer sur \ToucheTInd + \ToucheTInoire{var}  
  pour obtenir \ToucheTIsh{orange}{distrib}\\
  Puis choisir    \texteTI{2:normalFRép(} \\
Compléter ensuite dans l'ordre les paramètres $a$ et $b$.\\
 Préciser éventuellement les paramètres $\mu$ et $\sigma$ si la loi normale
 n'est pas centrée réduite.\\~\\
  \textit{La calculatrice demande $\sigma$ et non $\sigma^2$ en argument !}
  \tabularnewline\hline
  
  Déterminer $\alpha$ tel que  $P(X\leq \alpha) =p$ \\
  où $X \hookrightarrow \mathscr N(\mu,\sigma^2)$
& \fbox{\includegraphics[scale=1]{82fracN01.eps}}\\~\\
\fbox{\includegraphics[scale=1]{82fracNms.eps}}
& Aller dans  \ToucheTIsh{orange}{distrib}\\
  Puis choisir   \texteTI{3:FracNormale(} \\
 Compléter ensuite le paramètre $p\in [0;1]$.\\
 Préciser éventuellement les paramètres $\mu$ et $\sigma$ si la loi normale
 n'est pas centrée réduite.
   \tabularnewline\hline
\end{tabular}

\subsubsection{TI89}


\noindent \begin{tabular}{|>{\centering\columncolor{vert!22}\bfseries}m{3.5cm}|>{\centering}m{4.8cm}|>{\centering}m{9.4cm}|}\hline
\rowcolor{vert!22} \textbf{Objectif} & \textbf{Affichage voulu}  & \textbf{Méthode à suivre} \tabularnewline\hline
  Calculer 
   $P(a\leq X \leq b)$
  où $X \hookrightarrow \mathscr N(\mu,\sigma^2)$
& \fbox{\includegraphics[scale=0.8]{89N01.eps}}  \\~\\
\fbox{\includegraphics[scale=0.8]{89Nms.eps}}  
&   Dans \toucheTInoire{CATALOG} ouvrir l'onglet \ongletTI{F3}{AppFlash}\\
   Appuyer sur \toucheTIg{6}  %correspondant à la lettre \texttt{B} 
pour aller à la lettre N.\\
   Choisir \quad \texttt{\textbf{normFdR(....TIStat}} \\ ~\\
 Compléter ensuite dans l'ordre les paramètres $a$ et $b$.\\
 Préciser éventuellement les paramètres $\mu$ et $\sigma$ si la loi normale
 n'est pas centrée réduite.\\~\\
   \textit{La calculatrice demande $\sigma$ et non $\sigma^2$ en argument !}
  \tabularnewline\hline
  
  Déterminer $\alpha$ tel que  $P(X\leq \alpha) =p$, 
  où $X \hookrightarrow \mathscr N(\mu,\sigma^2)$
& \fbox{\includegraphics[scale=0.8]{89fracN01.eps}}  \\~\\
\fbox{\includegraphics[scale=0.8]{89fracNms.eps}}
& Dans \toucheTInoire{CATALOG} ouvrir l'onglet \ongletTI{F3}{AppFlash}\\
   Appuyer sur \toucheTIg{9}  %correspondant à la lettre \texttt{B} 
pour aller à la lettre I.\\
   Choisir \quad \texttt{\textbf{invNorm(....TIStat}} \\ ~\\
 Compléter ensuite le paramètre $p\in [0;1]$.\\
 Préciser éventuellement les paramètres $\mu$ et $\sigma$ si la loi normale
 n'est pas centrée réduite.
   \tabularnewline\hline
\end{tabular}

\subsubsection{Nspire CX Cas}


\noindent \begin{tabular}{|>{\centering\columncolor{vert!22}\bfseries}m{3.5cm}|>{\centering}m{5.3cm}|>{\centering}m{9cm}|}\hline
\rowcolor{vert!22} \textbf{Objectif} & \textbf{Affichage voulu}  & \textbf{Méthode à suivre} \tabularnewline\hline
  Calculer 
   $P(a\leq X \leq b)$
  où $X \hookrightarrow \mathscr N(\mu,\sigma^2)$
& \fbox{\includegraphics[scale=0.5]{N01.eps}} 
& Dans l'onglet \ongletTInsp{2}{$\int \sum$} du catalogue  \\
Ouvrir la catégorie \texteTI{Probabilités}.\\
Puis la sous-catégorie \texteTI{Distributions}\\
Choisir \texteTI{Normale FdR}\\ ~\\
 Compléter ensuite dans l'ordre les paramètres $a$ et $b$.\\
 Préciser éventuellement les paramètres $\mu$ et $\sigma$ si la loi normale
 n'est pas centrée réduite.\\~\\
   \textit{La calculatrice demande $\sigma$ et non $\sigma^2$ en argument !}
  \tabularnewline\hline
  
  Déterminer $\alpha$ tel que  $P(X\leq \alpha) =p$, 
  où $X \hookrightarrow \mathscr N(\mu,\sigma^2)$
& \fbox{\includegraphics[scale=0.5]{fracN01.eps}} 
& Dans l'onglet \ongletTInsp{2}{$\int \sum$} du catalogue  \\
Ouvrir la catégorie \texteTI{Probabilités}.\\
Puis la sous-catégorie \texteTI{Distributions}\\
Choisir \texteTI{Inverse Normale}\\ ~\\
 Compléter ensuite le paramètre $p\in [0;1]$.\\
 Préciser éventuellement les paramètres $\mu$ et $\sigma$ si la loi normale
 n'est pas centrée réduite.
   \tabularnewline\hline
\end{tabular}



 \Rqs{
 \item Pour calculer $P(X\leq 1)$, il faudra penser à écrire $P(X\leq 1)=P(X\leq 0) + P(0 \leq X \leq 1)=\dfrac12 + P(0\leq X \leq 1)$, 
 ce qui s'obtient désormais à la calculatrice. On trouve environ $0.84$.\\
 \item De même, pour avoir $P(X \leq -1)$ on écrira $P(X\leq -1)=P(X\leq 0)-P(-1 \leq X \leq 0)=\dfrac12 - P(-1\leq X \leq 0)$.
 On trouve environ $0.16$.\\
 \item Visualiser les aires sous la courbe aide à faire ses transformations.\\
 De manière générale, on peut voir que pour calculer $P(X\leq a)$ :
 \begin{center}
  Si $a\geq 0$ on utilise $P(X\leq a) = 0.5 + P(0 \leq X \leq a)$ \qquad
  Si $a\leq 0$ on utilise $P(X\leq a) = 0.5 - P(a \leq X \leq 0)$\\
\includegraphics[scale=0.6]{Probas.eps}  
 \end{center}
 }

\subsection{Répartition de l'aire sous la courbe}

\begin{theo}
 Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathscr N(0,1)$.\\
 Pour tout réel $\alpha \in ]0;1[$, il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$ tel que 
 $$P\left(-u_{\alpha} \leq X \leq u_{\alpha}\right) = 1- \alpha$$
\end{theo}


\Dem{
On considère la fonction $g$ définie sur $\R^+$ par $g(t)=P(-t\leq X\leq t)= \int_{-t}^t f(x)dx$
où $f$ est la fonction densité de la loi normale centrée réduite.\\
On cherche à applique le TVI à $g$.
Comme $f$ est paire, on a pour tout $t$ positif, $g(t)=2\int_0^t f(x)dx$\\
De plus, $f$ est continue et positive, donc $2f$ aussi, et $g$ est la primitive de $2f$ qui s'annule en $0$ (d'après le 
théorème fondamental).\\
Ainsi $g$ est dérivable sur $\R^+$ donc continue sur $\R^+$.\\
Ensuite, il est clair que $2f$ strictement positive implique que $g$ est strictement 
croissante sur $\R^+$.\\
Enfin, comme $\alpha\in]0;1[$ on a $1-\alpha \in]0,1[$ et 
on a $g(0)=0$ et $\Lim[t]{+\infty}g(t)=\Lim[t]{+\infty}2\int_0^tf(x)dx=2\times \dfrac 12 = 1$.\\
D'après le corollaire du TVI, il existe un uniquement réel $u_{\alpha} \in]0;1[$ tel que $g\left(u_{\alpha}\right)=1-\alpha$.
}

\begin{ExoC} Extrait de Nouvelle Calédonie mars 2014 \\
 \textbf{Restitution organisée des connaissances}
 
L'objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{m{1.5cm}|X}
&Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel $\alpha$ appartenant à l'intervalle ]0~;~ 1[, il existe un unique réel strictement positif $\chi_{\alpha}$ tel que $P\left(- \chi_{\alpha} \leqslant X \leqslant \chi_{\alpha}\right) = 1 - \alpha$.
\end{tabularx} 

Soit $f$  la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par 

\[f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{- \frac{t^2}{2}}.\]
 
Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[H(x) = P(- x \leqslant X \leqslant x) = \displaystyle\int_{- x}^{x} f(t)\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item Que représente la fonction $f$ pour la loi normale centrée réduite ? 
\item Préciser $H(0)$ et la limite de $H(x)$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
\item À l'aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif $x,\: H(x) = 2\displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\:\text{d}t$. 
\item En déduire que la dérivée $H'$ de la fonction $H$ sur $[0~;~+ \infty[$ est la fonction $2f$ et dresser le tableau de variations de $H$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Démontrer alors le théorème énoncé. 
\end{enumerate}
\end{ExoC}


\begin{coro}
Avec les notations précédentes, on retiendra deux valeurs : $u_{0.05}\simeq 1.96$ et $u_{0.01}\simeq 2.58$.\\
  Ainsi, \quad \fbox{$P(-1.96 \leq X \leq 1.96) \simeq 0.95$} \quad et \quad \fbox{$P(-2.58 \leq X \leq 2.58) \simeq 0.99$}
\end{coro}

\Rq{
  Cela donne une idée de la répartition : 
  \begin{itemize}
   \item Environ $95\%$ des réalisations de $X$ sont entre $-1.96$ et $1.96$.
   \item Environ $99\%$ des réalisations de $X$ sont entre $-2.58$ et $2.58$.
  \end{itemize}  
}

\begin{center}
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=11.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-0.05)(4,0.45)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=y,Dx=100,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-0.5)(4,0.45)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1.96}{1.96}{1/(2*PI)^0.5*EXP((-x^2)/2)}\lineto(1.96,0)\lineto(-1.96,0)\closepath}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{1/(2*PI)^0.5*EXP((-x^2)/2)}
\rput[br](-0.1,-0.04){$ 0 $}
\rput[bl](-2.3,-0.04){$-1.96$}
\rput[bl](1.8,-0.04){$1.96$}
\rput[bl](0.2,0.15){$95\%$}
\psline{->}(-2.8,0.1)(-2.3,0.01)
\psline{->}(2.8,0.1)(2.3,0.01)
\rput[bl](-3,0.12){$2.5\%$}
\rput[bl](2.6,0.12){$2.5\%$}
\end{pspicture*}
\quad
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=11.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-0.05)(4,0.45)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=y,Dx=100,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-0.5)(4,0.45)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-2.58}{2.58}{1/(2*PI)^0.5*EXP((-x^2)/2)}\lineto(2.58,0)\lineto(-2.58,0)\closepath}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{1/(2*PI)^0.5*EXP((-x^2)/2)}
\rput[br](-0.1,-0.04){$ 0 $}
\rput[bl](-3,-0.04){$-2.58$}
\rput[bl](2.2,-0.04){$2.58$}
\rput[bl](0.2,0.15){$99\%$}
\psline{->}(-2.8,0.1)(-2.7,0.005)
\psline{->}(2.8,0.1)(2.7,0.005)
\rput[bl](-3,0.12){$0.05\%$}
\rput[bl](2.6,0.12){$0.05\%$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\section{Fluctuation et Estimation}
\begin{Intro}{Des statistiques économiques jusqu'aux extraterrestres ...}
Vous maitrisez assez bien les statistiques descriptives depuis le collège (moyenne, quartiles, etc). \\
Mais les statistiques inférentielles sont tout autre. Vous les avez effleurés du doigt en Seconde pour la première fois, 
vous les avez retrouvés en première très succinctement, mais le domaine est vaste.\\

C'est en 1746 que les statistiques endossent leur premier grand rôle dans la vie moderne : celui d'un outil
de prévision et non de description. \\
Le mathématicien Deparcieux établit dans un essai le \og profil \fg de la mortalité de populations à partir de données 
statistiques venant d'échantillons pris dans les registres et nécrologies. En se servant des méthodes d'échantillonnage,
de calcul de moyennes et d'écarts-types, Deparcieux crée les premières \og tables de mortalité \fg, permettant
d'évaluer le risque moyen de mort d'un individu en fonction de son profil (âge, sexe, profession, ...). Ce risque
est alors directement transformé en pécule, par exemple dans le calcul du montant de rentes viagères (rente versée
à quelqu'un durant toute sa vie en échange de l'acquisition de son bien à sa mort). Avec Deparcieux, la statistique 
fait son entrée dans l'économie.\\

Mais ce n'est qu'au XIX$^e$ siècle que la statistique finit de prendre la place qu'est la sienne aujourd'hui :
celle d'une science mathématique mais aussi humaine, omniprésente dans le débat publique. 
C'est Adolphe Quételet,
astronome belge, qui intègre dans un ouvrage toutes les lois de probabilités développées depuis Pascal et Fermat :
mesure des erreurs, méthode des moindres carrés, loi binomiale, etc.\\
Quételet croit à la possibilité d'établir une science mathématique humaine capable de relier les phénomènes sociaux
de masse à des lois.\\
Ainsi, il tente d'établir des lois statistiques des suicides et des crimes en fonction de paramètres comme l'origine
sociale, l'âge, le sexe, le climat, le niveau d'études, le revenu, etc. Mais Quételet se voit reprocher de faire de 
l'homme un être dont le comportement est prédéterminé par des lois mathématiques...\\

De plus, avec les statistiques sociales, une question se pose : sont-ce les statistiques qui déterminent 
nos comportements
ou l'inverse ? \\

Par exemple, si le taux de meurtriers dans la population est de $5\%$ par an, 
cela signifie-t-il
qu'il existe une sorte de loi qui nous dépasse et qui \og oblige\fg $5\%$ de personnes à se 
transformer en meutriers ?\\
Ce type de questionnement hantera tout le XX$^e$ siècle et conduira à de tragiques dérapages 
où l'on voudra \og neutraliser\fg
 dès le berceau tout homme né avec les \og paramètres statistiques du crime \fg ... \\
 
 Dans tous les cas, la statistique inférentielle, armée des lois de probabilité, envahit le $XX^e$ siècle avec une force
 qui déborde la planète. Ainsi, depuis les années 1960, les astronomes se servent des statistiques pour pister les 
 extraterrestres ! 
\end{Intro}
\newpage

\subsection{Echantillonnage : rappels de Seconde et de Première}
\begin{act}
 En Syldavie, Fabrice fait des études statistiques sur le daltonisme des éléphants syldaves.\\
 Il sait que $46\%$ des éléphants syldaves sont des mâles et il pense que $18\%$ des éléphants ont plus de $60$ ans.\\
 Il a prélevé un échantillon de $400$ éléphants syldaves parmi lesquels $195$ sont des mâles et $313$ ont moins de $60$ ans.\\
 \textit{L'échantillon a été réalisé par un tirage au hasard et il peut être assimilé à un tirage avec remise.}
 \begin{enumerate}
  \item L'échantillon de Fabrice est-il représentatif pour le sexe des éléphants ?
  \item Son hypothèse sur le nombre d'éléphants âgés de plus de 60 ans est-elle crédible au risque de $5\%$ ?
  \item Fabrice trouve que dans cet échantillon, $29\%$ des éléphants sont daltoniens.\\
  Estimer la proportion d'éléphants daltoniens dans la population d'éléphants syldaves.
 \end{enumerate}
\end{act}

\vspace{1cm}

\textbf{\underline{Démarche pour mener l'activité} :}
On laisse les élèves chercher et comprendre eux-mêmes l'expression \og échantillon représentatif\fg, ainsi que la 
nécessité d'un critère de décision. \\
On attend notamment les mots \og fréquence \fg et \og fluctuation d'échantillonnage \fg.\\
On peut parallèlement proposer aux élèves le programme suivant sur algobox qui simule la réalisation de 100 échantillons de tailles $400$,
et renvoit les nuages de points associés aux fréquences d'apparition des caractères mâles et plus de 60 ans.\\
\begin{center}
 \begin{minipage}{9cm}
  \includegraphics[scale=0.8]{Act1_ProgEchantillons.eps}
 \end{minipage}
 \begin{minipage}{9cm}
  \includegraphics[scale=0.8]{Act1_Echantillons.eps}
 \end{minipage}
\end{center}


La notion d’échantillon représentatif est une question délicate, en particulier lorsqu’elle concerne des
personnes dans le cadre d’un sondage. Elle l’est clairement moins lorsqu’il s’agit d’un échantillon de
pièces dans une chaine de fabrication. Cette notion d’échantillon représentatif est évoquée ici afin de
contextualiser un peu l’acti\-vité mais ne constitue en aucun cas un objectif du programme.\\
Il convient également de souligner que, dans les sondages, les tirages sont pour la plupart effectués
sans remise mais peuvent s’apparenter à des tirages avec remise dès que la taille de l’échantillon est
petite devant la taille de la population totale, ce qui est le cas dans les sondages classiques.\\
On peut d’ailleurs observer que dans le cas contraire, l’intérêt de ne questionner qu’un échantillon
diminue.\\


\Cadre[Critère de décision]{
  Pour une étude statistique sur un caractère connu de la population 
  (âge, sexe, taille, etc), on considère en général :
  \begin{itemize}
   \item qu'un échantillon de taille $n$ est \textbf{représentatif}, 
   \item ou encore qu'une hypothèse sur la propabilité d'apparition $p$ de ce caractère dans la population totale est crédible
  \end{itemize}
si la fréquence $f$ 
  observée de ce caractère dans l'échantillon est dans l'\textbf{intervalle de fluctuation au seuil de  
  } $95\%$.  }

\Rqs{
\item Il s'agit d'un intervalle dans lequel se situent $95\%$ des échantillons établis dans ces conditions.\\
%Cet intervalle dépend évidemment de la taille $n$ de l'échantillon et de la probabilité $p$ d'apparition 
%  du caractère dans la population.
\item Dans la pratique, cet intervalle de fluctuation sert à :
  \begin{itemize}
   \item vérifier qu'un échantillon est représentatif quand on connait $p$
   \item vérifier la crédibilité d'une hypothèse sur $p$\\
  \end{itemize}
  
 Ainsi, si la fréquence observée $f$ n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation $I$ 
au seuil de $95\%$, alors :
\begin{itemize}
 \item on considérera que l'échantillon n'est pas représentatif
 \item on rejettera l'hypothèse sur $p$
\end{itemize}
$I$ ne contenant que $95\%$ des échantillons établis dans les mêmes conditions, on risque de
rejeter $5\%$ d'hypothèses correctes sur $p$ \og en trop \fg. \\

 Par contre, si $f\in I$, alors :
\begin{itemize}
 \item on considérera que l'échantillon est représentatif
 \item on concluera que l'hypothèse sur $p$ est \textbf{crédible}
\end{itemize}
Cette fois, on ne connait pas le risque d'erreur, ie le nombre d'hypothèses fausses sur $p$ 
acceptées \og en trop \fg.\\

Dans tous les cas, on est sûr de rien ! Donc on évitera le vocabulaire \og vrai \fg ou \og faux \fg.\\

\item Tout est une question d'équilibre : \\
Si l'on veut diminuer l'erreur de rejet, par exemple en prenant un intervalle de fluctuation au seuil de $100\%$, 
on ne rejettera donc aucune hypothèse \og en trop \fg, par contre, on les acceptera toutes, 
donc évidemment, même les fausses. Toute hypothèse sur $p$ semblera crédible, ce qui n'a aucun intérêt.\\
Ainsi, dans la pratique, on utilise surtout les seuils de $95\%$ et de $99\%$. 
}

On en vient aux rappels de seconde et de première.

\Cadre[En seconde]{
 Pour un caractère donné, on note $p$ sa probabilité d'apparition et $f$ sa fréquence d'apparition dans un échantillon.\\
 La fréquence $f$ se situe dans au moins $95\%$ des cas dans l'intervalle $\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} , p +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ .
 \begin{itemize}
  \item[\textbullet] \textbf{Avantages} : rapide à déterminer
  \item[\textbullet] \textbf{Inconvénients} : valable uniquement si $n\geq 25$ ET $0.2 \leq p \leq 0.8$ \\
  \textit{Sans parler du fait que cet intervalle
  sort de nulle part et n'a jamais été justifié par votre enseignant ...}
 \end{itemize}
}

On peut appliquer ce résultat pour le sexe des éléphants, mais pas pour l'âge.\\
On trouve $I=[0.41;0.51]$ et $f=\dfrac{195}{400}=0.4875 \in I$. \\
Donc l'échantillon est représentatif pour le caractère sexe. %ou encore on accepte l'hypothèse $p=0.46$.

\Cadre[En Première]{
  On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes d'un échantillon de taille $n$,
  possèdant un certain caratère, de probabilité d'apparition $p$. On a donc $X\hookrightarrow B(n,p)$\\
  On note $f=\dfrac{X}{n}$ la fréquence d'apparition de caractère.\\
  La fréquence $f$ se situe dans au moins $95\%$ des cas dans l'intervalle $\left[ \dfrac{a}{n} , \dfrac{b}{n}\right]$ ,
  où :
  \begin{itemize}
   \item $a$ désigne le plus petit entier $k$ à partir duquel $P(X\leq k)$ dépasse $0.025$.
   \item $b$ désigne le plus petit entier $k$ à partir duquel $P(X\leq k)$ dépasse $0.975$.
  \end{itemize}
  \begin{itemize}
  \item[\textbullet] \textbf{Avantages} : valable pour toutes les valeurs de $n$ et $p$\\
  \textit{Sans parler du fait que cet intervalle
  est justifié par vos connaissances sur la loi binomiale ...}
  \item[\textbullet] \textbf{Inconvénients} : Très fastidieux si $n$ est grand.
   \end{itemize}
}

On peut appliquer ce résultat pour l'âge des éléphants.\\

\begin{tabular}{*{2}{|>{\centering}m{1.5cm}}|}\hline
 $k$ & $P(X\leq k)$\tabularnewline\hline
 $\ldots$ & \ldots \tabularnewline\hline
 54 & 0.00953 \tabularnewline\hline
 55 & 0.01375 \tabularnewline\hline
 56 & 0.01944 \tabularnewline\hline
 \textbf{57} & \textbf{0.02699} \tabularnewline\hline
 58 & 0.03678 \tabularnewline\hline
 59 & 0.04924  \tabularnewline\hline
 $\ldots$ & \ldots \tabularnewline\hline
\end{tabular} 
\quad 
\begin{tabular}{*{2}{|>{\centering}m{1.5cm}}|}\hline
 $k$ & $P(X\leq k)$\tabularnewline\hline
 $\ldots$ & \ldots \tabularnewline\hline
 83 & 0.94587 \tabularnewline\hline
 84 & 0.94587 \tabularnewline\hline
 85 & 0.95825 \tabularnewline\hline
 86 & 0.96821 \tabularnewline\hline
 \textbf{87} & \textbf{0.97609} \tabularnewline\hline
 88 & 0.98225 \tabularnewline\hline
 $\ldots$ & \ldots \tabularnewline\hline
\end{tabular} \quad
\begin{minipage}{9.5cm}
 \newrgbcolor{qqtttt}{0 0.2 0.2}
\psset{xunit=0.10cm,yunit=80cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(26,-0.01)(110,0.06)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=15,Dy=0.02,Ox=35,ticksize=-4pt 0,xsubticks=3, ysubticks=2]{->}(35,0)(40,-0.0053)(110,0.06)
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\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](5.5,0)(6.5,0)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](6.5,0)(7.5,0)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](7.5,0)(8.5,0)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](8.5,0)(9.5,0)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](9.5,0)(10.5,0)
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\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](39.5,0)(40.5,0)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](40.5,0)(41.5,0)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](41.5,0)(42.5,0)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](42.5,0)(43.5,0)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](43.5,0)(44.5,0)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](44.5,0)(45.5,0.0001)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](45.5,0)(46.5,0.0001)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](46.5,0)(47.5,0.0002)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](47.5,0)(48.5,0.0003)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](48.5,0)(49.5,0.0004)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](49.5,0)(50.5,0.0007)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](50.5,0)(51.5,0.001)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](51.5,0)(52.5,0.0015)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](52.5,0)(53.5,0.0022)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](53.5,0)(54.5,0.003)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](54.5,0)(55.5,0.0042)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](55.5,0)(56.5,0.0057)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](56.5,0)(57.5,0.0075)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](57.5,0)(58.5,0.0098)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](58.5,0)(59.5,0.0125)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](59.5,0)(60.5,0.0155)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](60.5,0)(61.5,0.019)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](61.5,0)(62.5,0.0228)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](62.5,0)(63.5,0.0269)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](63.5,0)(64.5,0.0311)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](64.5,0)(65.5,0.0353)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](65.5,0)(66.5,0.0393)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](66.5,0)(67.5,0.043)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](67.5,0)(68.5,0.0462)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](68.5,0)(69.5,0.0488)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](69.5,0)(70.5,0.0507)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](70.5,0)(71.5,0.0517)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](71.5,0)(72.5,0.0519)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](72.5,0)(73.5,0.0511)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](73.5,0)(74.5,0.0496)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](74.5,0)(75.5,0.0473)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](75.5,0)(76.5,0.0444)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](76.5,0)(77.5,0.041)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](77.5,0)(78.5,0.0373)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](78.5,0)(79.5,0.0334)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](79.5,0)(80.5,0.0294)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](80.5,0)(81.5,0.0255)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](81.5,0)(82.5,0.0218)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](82.5,0)(83.5,0.0183)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](83.5,0)(84.5,0.0152)
\psframe[linecolor=qqtttt,fillcolor=qqtttt,fillstyle=solid,opacity=0.25](84.5,0)(85.5,0.0124)
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\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red](56.5,-0.0053)(56.5,0.06)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=red](87.5,-0.0053)(87.5,0.06)
\psline{->}(48,0.008)(54,0.0005)
\psline{->}(99,0.008)(91,0.0005)
\rput[bl](45,0.053){\red{$a=57$}}
\rput[bl](90,0.053){\red{$b=87$}}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](38,0.01){\red{Moins de $2.5\%$}}
\rput[bl](90,0.01){\red{Moins de $2.5\%$}}
\rput[bl](65,0.055){\blue{Plus de $95\%$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}\\


%\end{center}

Pour l'âge, on trouve $I'=[0.1425;0.2175]$ et $f=\dfrac{400-313}{400}=0.2175 \in I'$. \\
Donc l'hypothèse $p=0.18$ est crédible.\\
Notons que pour le sexe, on trouve $I'=[0.4125;0.51]$ et $I\subset I'$. De plus, $f=\dfrac{195}{400} \in I'$. \\
Donc l'échantillon est bien représentatif pour le caractère sexe.\\

Pour la question suivante, on ignore la proportion $p$ d'éléphants daltoniens dans la population.\\
On cherche cette fois un \textit{intervalle de confiance}.\\

\Cadre[En Seconde]{
Pour un caractère donné, on note $f$ sa fréquence d'apparition dans un échantillon de taille $n$.\\
 Sa probabilité $p$ d'apparition dans la population totale se situe dans au moins $95\%$ des cas dans 
 l'intervalle $$\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} , f +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$$
 \begin{itemize}
  \item[\textbullet] \textbf{Avantages} : rapide à déterminer
  \item[\textbullet] \textbf{Inconvénients} : valable uniquement si $n\geq 30$ ET $nf \geq 5$ ET $n(1-f) \geq 5$ \\
  \textit{Sans parler du fait que cet intervalle
  sort de nulle part et n'a jamais été justifié par votre enseignant ...}
 \end{itemize}
}

Ainsi, on estime que la proportion de daltoniens est dans l'intervalle $[0.24;0.34]$.

\Cadre[Méthodes]{Soit $p$ la probabilité d'apparition d'un caractère dans une population totale.
\begin{itemize}
 \item \textbf{Lorsque l'on connait $p$}, ou lorsque l'on fait une hypothèse sur la valeur de $p$, 
  on utilise un  \textbf{intervalle de fluctuation à $95\%$} pour estimer la
 représentativité d'un échantillon de taille $n$ ou la crédibilité de l'hypothèse sur $p$.
  \item \textbf{Lorsque l'on ne connait pas $p$}, 
    on utilise un \textbf{intervalle de confiance à $95\%$} pour estimer sa valeur (dans la population
    totale) à partir de la  fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$.
\end{itemize}
}

\subsection{Intervalle de fluctuation asymptotique}
\begin{act}
On reprend le contexte de l'activité précédente.\\
Fabrice veut vérifier la crédibilité de son résultat sur la proportion d'éléphants daltoniens
dans la population d'éléphants syldaves. Il fait donc l'hypothèse $p=0.29$
et prend un échantillon de $1200$ éléphants.
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Pourquoi aimeront-on trouver une autre méthode que celles employées précédemment pour savoir si 
  l'échantillon de Fabrice est représentatif ?
 \item Quel nouvel outil de Terminale pourrait-on utiliser ?
 \item Proposer un nouvel intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$. \\
  Quelle différence a-t-il avec les précédents ? Quels sont ses avantages ? ses inconvénients ?
        \end{enumerate}
  \item L'étude de Fabrice montre que dans cet échantillon, $32\%$ des éléphants sont daltoniens.\\
  Son hypothèse $p=0.29$ est-elle crédible ?
 \end{enumerate}
\end{act}

\begin{theo}[Définition]
 Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathscr B(n,p)$ et $\alpha$ un réel 
 tel que $0 < \alpha < 1$.\\
 Soit $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathscr N(0,1)$ et $u_{\alpha}$ l'unique réel tel que :
 $$P\left(-u_{\alpha} \leq Z \leq u_{\alpha} \right) = 1- \alpha$$
 On note $I_n$ l'intervalle :
 $$I_n=\left[p-u_{\alpha} \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+u_{\alpha} \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$$
 Alors \qquad  $\Lim[n]{+\infty} P\left(\dfrac{X_n}{n} \in I_n \right)=1- \alpha$\\
 Ainsi, l'intervalle $I_n$ contient la fréquence $F_n=\dfrac{X_n}{n}$ avec une probabilité qui se rapproche de $1-\alpha$ lorsque
 $n$ augmente : on dit que 
 \begin{itemize}
  \item $\alpha$ est le risque ($5\%$, $1\%$ ...)
  \item $I_n$ est un \textbf{intervalle de fluctuation asymptotique} de $F_n$ au seuil $1-\alpha$.
 \end{itemize}
\end{theo}


\Dem[ROC]{
On pose $Z_n=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ et on applique le théorème de Moivre-Laplace.\\
Si $X$ suit la loi normale $\mathscr N(0,1)$ : 
$$\Lim[n]{+\infty} P\left(-u_{\alpha} \leq Z_n \leq u_{\alpha} \right)=P\left(-u_{\alpha} \leq Z \leq u_{\alpha} \right)=1-\alpha$$
Or 
\begin{eqnarray*}
 -u_{\alpha} \leq Z_n \leq u_{\alpha} &\iff & -u_{\alpha} \leq \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq u_{\alpha} \\
&\iff & np-u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} \leq X_n \leq np+u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} \\
&\iff & p-u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \leq \dfrac{X_n}{n} \leq p+u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{np(1-p)}}{\sqrt{n}}\\
& \iff & F_n \in I_n
\end{eqnarray*}
Donc $\Lim[n]{+\infty} P\left(\dfrac{X_n}{n} \in I_n \right)=\Lim[n]{+\infty} P\left(-u_{\alpha} \leq Z_n \leq u_{\alpha} \right)=1- \alpha$
}


\Rqs{
  \item $I_n$ est un intervalle déterminé à partir de $p$ et $n$ et qui contient $F_n$ avec une probabilité
  d'autant plus proche de $1-\alpha$ que $n$ est grand.
\item Quand on sait qu’une suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$, on peut considérer que pour $n$ assez grand le
terme $u_n$ constitue une approximation de $L$.\\
Ici, on inverse les rôles. On connaît la limite, mais pas les valeurs des termes de la suite.
On admet donc que, sous certaines conditions, on peut approcher le terme de rang $n$ de la suite
$P\left(\dfrac{X_n}{n} \in I_n\right)$ par sa limite $1-\alpha$.
\item On considère que l'approximation est satisfaisante dès que $n \geq 30$, $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$
}


\begin{coro}
 L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ pour une variable aléatoire $X_n$ suivant une loi 
 binomiale $\mathscr B(n,p)$ est l'intervalle :
  $$I_n=\left[p-1.96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1.96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$$
\end{coro}

\Dem{
  On a vu précédemment que $u_{0.05} \simeq 1.96$ et $u_{0.01}\simeq 2.58$
}

\newpage
\Rqs{
\item Ainsi, environ $95\%$ des fréquences observées se situent dans l'intervalle ci-dessus.
\item Quel est l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $99\%$ ?
\item L'intervalle de fluctuation vu en seconde est une approximation de l'intervalle $I_n$ au seuil de $95\%$.\\
En effet, \quad $p+1.96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \leq p+2 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$\\
De plus, en étudiant la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(x)=x(1-x)$, on constate que son maximum est $\dfrac14$.\\
Ainsi, pour tout $p\in[0,1]$, on a  \quad $p(1-p) \leq \dfrac14 \iff \sqrt{p(1-p)} \leq \dfrac12 $ .\\
Par conséquent, $p+1.96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \leq p+2 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \leq p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} $\\
De même on a : $p-1.96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\geq p-2 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \geq p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} $\\
Ainsi $\left[p-1.96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1.96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right] \subset 
\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p+ \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.\\
Ceci prouve que l'intervalle de fluctuation vu en seconde est un intervalle de fluctuation asymptotique à un
seuil au moins égal à celui de Terminale (proche de 0.95).\\ 
Compte tenu du caractère asymptotique, il reste inexact d'affirmer que la probabilité que la variable $\dfrac{X_n}n$
prenne ses valeurs dans cet intervalle est supérieur à $0.95$ pour toute valeur de $n$, d'où les conditions $n\geq 25$
et $0.2 \leq p \leq 0.8$.\\
En réalité, on a encore simplifié les conditions, car par exemple, pour $p=0.35$, on faudrait prendre $n \geq 31$, pour $p=0.5$, il faudrait $n\geq 529$ ...
}

\Expl{
  On admet que dans la population d’enfants de 11 à 14 ans d’un département français le pourcentage
d’enfants ayant déjà eu une crise d’asthme dans leur vie est de $13\%$.\\
Un médecin d’une ville de ce département est surpris du nombre important d’enfants le consultant
ayant des crises d’asthme et en informe les services sanitaires. Ceux–ci décident d’entreprendre une
étude et d’évaluer la proportion d’enfants de 11 à 14 ans ayant déjà eu des crises d’asthme.\\
Ils sélectionnent de manière aléatoire 100 jeunes de 11 à 14 ans de la ville.\\
La règle de décision prise est la suivante : si la proportion observée est supérieure à la borne
supérieure de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ alors une investigation plus
complète sera mise en place afin de rechercher les facteurs de risque pouvant expliquer cette
proportion élevée.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de jeunes de
11 à 14 ans ayant eu une crise d’asthme dans un échantillon de taille 100. 
\item  L’étude réalisée auprès des 100 personnes a dénombré 19 jeunes ayant déjà eu des crises d’asthme.\\
Que pouvez-vous conclure ?
\item  Le médecin n’est pas convaincu par cette conclusion et déclare que le nombre de personnes
interrogées était insuffisant pour mettre en évidence qu’il y avait plus de jeunes ayant eu des crises
d’asthme que dans le reste du département.\\
Combien faudrait-il prendre de sujets pour qu’une proportion observée de $19\%$ soit en dehors de
l’intervalle de fluctuation asymptotique ?
\end{enumerate}
}

\Sol{
  \begin{enumerate}
   \item $[0,06 ; 0,20]$
   \item La valeur 0,19 est à l’intérieur de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.\\
On en conclut que la règle de décision choisie ne prévoit pas de réaliser une enquête supplémentaire.
\item Il faut et il suffit que la borne supérieure de l’intervalle asymptotique de fluctuation soit
inférieur à $0.19$, ce qui équivaut à $0.13+1.96\dfrac{\sqrt{0.13 \times 0.87}}{\sqrt{n}}<0.19$.\\
On trouve $n > 120$. \\
La taille doit donc être de 121 sujets au minimum si on souhaite mettre en évidence une proportion
anormalement élevée dans la ville étudiée.
  \end{enumerate}

}

\newpage

\subsection{Intervalle de confiance et estimation}

Il est souvent difficile pour des raisons à la fois financières et logistiques de pouvoir recueillir des
données sur la population toute entière. Le plus souvent, on se contente de travailler sur un
échantillon, c’est à dire une fraction ou sous-ensemble de cette population. Ceci présente bien sûr des
avantages en termes de faisabilité et de coût, mais impose des contraintes pour que l’information
recueillie au niveau de l’échantillon (estimation) soit la plus proche possible de celle de la population
entière. La démarche pratique est donc la suivante :
\begin{itemize}
 \item On sélectionne un échantillon de la population que l’on étudie, on appelle cela
l’échantillonnage.
\item  On vérifie, selon les cas, à partir d’intervalles de fluctuation que l’échantillon ainsi obtenu
est \og \textbf{représentatif} \fg de la population pour des critères qui sont connus dans la population
et en lien avec le critère étudié.
\item On généralise les informations recueillies sur notre échantillon à la population entière.\\
\end{itemize}

\Att{
La problématique s’inverse : à partir d'une \textbf{fréquence observée} $f$ d'un caractère
dans un échantillon, on \textbf{estime} une 
\textbf{proportion} $p$ dans une population.\\
Cependant, on sait que notre estimation va varier d’un échantillon à l’autre, de par la fluctuation
d’échantillonnage, autour de $p$. \\
Comment faire pour limiter la marge d’erreur ?\\
Il est donc nécessaire d’apprécier l’incertitude en fournissant une
estimation par intervalle, appelé \textbf{intervalle de confiance} de $p$. Cet intervalle est obtenu en
fonction d’un coefficient lié au niveau de confiance que l’on accorde à cette estimation.
}

\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{Ppe_Echantillonnage.eps}
\end{center}


On a déjà rappelé ce que l'on faisait en Seconde. Et bien c'est simple, on n'a pas mieux en Terminale ! \\
Donc on reste avec le même \textbf{intervalle de confiance} au seuil de $95\%$, à savoir :
 $$J=\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} , f +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] $$
 
\Dem{
On sait que pour $n$ suffisamment grand
\begin{eqnarray*}
&& P\left(p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq F_n \leq p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \geq 0.95 \\
&\iff & P\left(-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq F_n-p \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \geq 0.95\\
&\iff & P\left(-\dfrac{1}{\sqrt{n}}-F_n \leq -p \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}-F_n\right) \geq 0.95\\
&\iff & P\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}+F_n \geq p \leq -\dfrac{1}{\sqrt{n}}+F_n\right) \geq 0.95\\
&\iff & P\left(F_n-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq -p \leq F_n\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \geq 0.95
\end{eqnarray*}
Ce qui peut se traduire ainsi : l'intervalle $\left[F_n - \dfrac1{\sqrt{n}} ; F_n+\dfrac1{\sqrt{n}}\right]$
a une probabilité au moins égale à $0.95$ de contenir $p$.\\
A partir de cet intervalle aléatoire, on obtient, en effectuant un échantillon, une réalisation de cet intervalle 
numérique de la forme $\left[f - \dfrac1{\sqrt{n}} ; f+\dfrac1{\sqrt{n}}\right]$.\\
Si l’on fait un très grand nombre de tirages par échantillon, on sait que théoriquement on devrait\footnote{
Il s’agit toujours d’un nombre fini de réalisations et il peut y avoir plus de $5\%$
d’entre elles qui ne contiennent pas $p$.} avoir 
pour au plus $5\%$ des échantillons, des intervalles ne contenant pas la proportion inconnue $p$.
}

\Rqs{
\item On se place dans le cas $n \geq 30$, $nf\geq 5$ et $n(1-f)\geq 5$ pour considérer notre estimation convenable.
\item On pourrait avoir de meilleures approximations, mais elles sont hors-programme
\item Un intervalle de confiance étant un intervalle numérique, il est incorrect de conclure la détermination
d’un intervalle de confiance par une phrase du type \og p a une probabilité de 0,95 d’être entre 
$f - \dfrac1{\sqrt{n}}$ et $f+\dfrac1{\sqrt{n}}$ \fg
car il n’y a plus d’aléatoire à ce stade. Il est en revanche convenable d’écrire : \og
$\left[f - \dfrac1{\sqrt{n}} ; f+\dfrac1{\sqrt{n}}\right]$
est un intervalle de confiance de la proportion inconnue $p$ au niveau
de confiance 0,95 \fg.
}

\Cadre[Résumé]{
\begin{tabular}{|>{\centering}m{2cm}|>{\centering}m{8cm}|>{\centering}m{5cm}|}\hline
 & Intervalle de \textbf{fluctuation}\\ Au seuil 0.95\\ ($p$ connue)
 & Intervalle de \textbf{confiance} \\ Au seuil 0.95 \\ ($p$ inconnue) \tabularnewline\hline
 \textbf{SECONDE} & $n\geq 25$ , $0.2 \leq p \leq 0.8$ \\  $I=\left[ p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} , p +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ \\ & Sensibilisation\tabularnewline\hline
 \textbf{PREMIERE} & Avec la loi binomiale \\ $I=\left[\dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}n \right]$\\ & \cellcolor{gray} \tabularnewline\hline
 \textbf{TERMINALE} &$n\geq 30$ , $np \leq 5$ et $n(1-p)  \leq 5$ \\ Asymptotique \\ $I_n=\left[p-1.96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1.96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$\\
 & $J = \left[ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} , f +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
 \tabularnewline\hline
\end{tabular} 
}

\Expl{
  Une entreprise désire contrôler la qualité de sa production. \\
  Un échantillon de 370 produits a
été testé. Il ressort de cette étude que 26 produits sur 370 ne sont pas conformes au cahier des
charges. \\
On considère que la production de l’entreprise est suffisamment importante pour
qu’on puisse assimiler le tirage de l’échantillon à un tirage avec remise.
\begin{enumerate}
 \item A partir de cette étude, estimer la probabilité qu’un produit ne soit pas conforme au cahier
des charges à l’aide d’un intervalle de confiance au niveau asymptotique $95\%$.
\item Combien faudrait-il prélever de produit pour avoir un intervalle de confiance au niveau
$95\%$ de longueur inférieure à 0.05 ?
\end{enumerate}
}

\newpage
\section{La loi normale $\mathscr N(\mu ; \sigma^2)$}
\subsection{Définition}
\begin{defi}
 Soient un réel $\mu$ et un réel strictement positif $\sigma$.\\
 On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathscr N(\mu , \sigma^2)$ si la variable aléatoire
 $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathscr N(0,1)$.
\end{defi}

\Rq{
  Dans la pratique, grâce au théorème de Moivre-Laplace, on approxime une loi binomiale $\mathscr B(n,p)$
  par une loi $\mathscr N (\mu , \sigma^2)$ avec $\mu=np$ et $\sigma^2=np(1-p)$.\\
  On considère que l'approximation est satisfaisante dès que $n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$.
}

\Expl{
  \begin{center}
\textbf{Loi normale $\mathscr N(1,4)$ : $\mu=1$ et $\sigma=2$}\\
\medskip
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=20.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-0.03)(9,0.22)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-0.03)(9,0.22)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1}{3}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}\lineto(3,0)\lineto(-1,0)\closepath}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-6.0}{9.0}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](1,-0.03)(1,0.22)
\rput[bl](1.1,0.2){\blue{$x=1$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\begin{prop}
 Soit une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathscr N(\mu , \sigma^2)$. On a :
 $$E(X)=\mu \qquad , \qquad V(X)=\sigma^2 \qquad \text{ et } \qquad \sigma(X)=\sigma$$
\end{prop}


\Dem{
Par définition, $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi $\mathscr N(0,1)$. On a donc 
$$E\left(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\right)=0 \iff \dfrac1{\sigma}\left(E(X)-\mu\right)=0 \iff E(X)-\mu=0 \iff E(X)=\mu$$
De même, 
$$V\left(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\right)=1 \iff \dfrac1{\sigma^2}V(X)=1 \iff V(X)=\sigma^2 \iff \sigma(X)=|\sigma|=\sigma $$
}

\Rqs{
  \item $\mu$ est un paramètre de position et $\sigma$ un paramètre de dispersion.
\item La densité de la loi normale $\mathscr N(\mu , \sigma)$ est représentée par une courbe en cloche, dont
l'axe de symétrie vertical est $x=\mu$.\\
Plus $\sigma$ est petit, et moins la dispersion est grande, donc plus la cloche est resserrée autour de son axe de symétrie.
}

Reconnaître les lois $\mathscr N(0,1)$, $\mathscr N(0,1/4)$, $\mathscr N(0,2)$ et $\mathscr N(5,1)$ parmi 
les quatre courbes représentées ci-dessous.
\begin{center}
 \newrgbcolor{wwfftt}{0.4 1 0.2}
\newrgbcolor{ttttff}{0.2 0.2 1}
\newrgbcolor{ccqqcc}{0.8 0 0.8}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-5,-1.5)(8,8.5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-1.5)(8,8.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=10.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-0.15)(8,0.85)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{8.0}{1/(2*PI)^0.5*2.718281828^((-x^2)/2)}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=wwfftt,plotpoints=200]{-5.0}{8.0}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-x^2)/8)}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ttttff,plotpoints=200]{-5.0}{8.0}{1/(0.5*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-x^2)/0.5)}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqcc,plotpoints=200]{-5.0}{8.0}{1/(2*PI)^0.5*2.718281828^((-(x-5)^2)/2)}
\end{pspicture*}
\end{center}




\subsection{Méthodes de calcul}
$X \hookrightarrow \mathscr N(\mu , \sigma^2)$. \qquad Par exemple $X \hookrightarrow \mathscr N(1 , 4)$
\begin{enumerate}
 \item Calculer $P(a\leq X\leq b)$. \qquad Par exemple $P(-1\leq X\leq 3)$. 
 \begin{itemize}
  \item On se ramène à une loi normale  centrée réduite en écrivant :\\
$P(-1\leq X\leq 3)=P(-2\leq X-1\leq 2)= P\left(-1\leq \dfrac{X-1}2 \leq 1\right)=P(-1 \leq Z \leq 1)$ où $Z \hookrightarrow \mathscr N(0,1)$.\\
A la calculatrice, on trouve $P(-1\leq X\leq 3)\simeq 0.683$.
\item Ou alors on calcule directement cette valeur sur la calculatrice en rajoutant les paramètres $\mu$ et $\sigma$
aux commandes déjà connues.
\end{itemize}
\item Déterminer $\alpha$ tel que $P(X\leq \alpha)=p$, avec $p$ donné appartenant à $[0;1]$.\\
Par exemple, on cherche $\alpha$ tel que $P(X\leq \alpha) = 0.9$.
\begin{itemize}
 \item On se ramène à une loi normale centrée réduite en écrivant :\\
$P( X\leq \alpha)=P(\leq X-1\leq \alpha-1)= P\left(\dfrac{X-1}2 \leq \dfrac{\alpha-1}2\right)=P(Z \leq \beta)$ 
où $Z \hookrightarrow \mathscr N(0,1)$ et $\beta=\dfrac{\alpha-1}2$.\\
A la calculatrice, on trouve $\beta\simeq 1.28$ donc $\alpha \simeq 3.56$.
\item Ou alors on trouve directement $\alpha$ sur la calculatrice en rajoutant les paramètres $\mu$ et $\sigma$
aux commandes déjà connues.
\end{itemize}
\end{enumerate}


 \Att{
  Les calculatrices demandent $\mu$ et $\sigma$ en arguments, et non $\sigma^2$.\\
  Si on ne les précise pas, elle considère que $\mu=0$ et $\sigma=1$ (donc elle fait les calculs pour une loi
  normale centrée réduite).
 }

\Expl{
  La masse en kg des nouveaux nés à la naissance est une variable aléatoire qui peut-être modélisée par une loi 
  normale\footnote{Le poids d'un nouveau né ne prend pas de valeurs négatives ni trop grandes, mais on peut vérifier que $P(X<0)$ 
  et $P(X>5)$ sont négligeable.} de moyenne $\mu=3.3$ et d'écart-type $\sigma=0.5$.
  \begin{enumerate}
   \item Déterminer $P(X<2.5)$ en vous ramenant à une loi normale centrée réduite.\\
  Retrouver $P(X<2.5)$ en utlisant la symétrie de la courbe représentative
de la densité de la loi $\mathscr N(3.3,0.5)$.
  \end{enumerate}
}

\subsection{Répartition de l'aire sous la courbe}
\begin{prop}
 Soit une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathscr N(\mu , \sigma^2)$. On a :
 \begin{itemize}
   \item $P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu + \sigma)\simeq 0.683$
  \item $P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma)\simeq 0.954$
  \item $P(\mu-3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma)\simeq 0.997$
 \end{itemize}
\end{prop}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=30cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-0.02)(8,0.21)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=false,labels=y,Dx=10,Dy=1,ticksize=-3pt 0,subticks=10]{->}(0,0)(-6,-0.01)(8,0.21)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1}{3}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}\lineto(3,0)\lineto(-1,0)\closepath}
%\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-3}{5}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}\lineto(5,0)\lineto(-3,0)\closepath}
%\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-5}{7}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}\lineto(7,0)\lineto(-5,0)\closepath}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-6.0}{8.0}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}
\rput[bl](1,-0.0181){$ \mu $}
\rput[bl](-1.7,-0.0181){$\mu-\sigma$}
\rput[bl](2.4,-0.0181){$\mu+\sigma$}
\rput[bl](0.6,0.1){$68\%$}
\end{pspicture*}
\quad
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=30.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-0.02)(8,0.21)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=false,labels=y,Dx=10,Dy=1,ticksize=-3pt 0,subticks=10]{->}(0,0)(-6,-0.01)(8,0.21)
%\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1}{3}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}\lineto(3,0)\lineto(-1,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-3}{5}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}\lineto(5,0)\lineto(-3,0)\closepath}
%\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-5}{7}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}\lineto(7,0)\lineto(-5,0)\closepath}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-6.0}{8.0}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}
\rput[bl](1,-0.0181){$ \mu $}
\rput[bl](-3.7,-0.01811){$\mu-2\sigma$}
\rput[bl](4.4,-0.0181){$\mu+2\sigma$}
\rput[bl](0.6,0.1){$95\%$}
\end{pspicture*}
\quad
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=30.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-0.02)(8,0.21)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=false,labels=y,Dx=10,Dy=1,ticksize=-3pt 0,subticks=10]{->}(0,0)(-6,-0.01)(8,0.21)
%\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1}{3}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}\lineto(3,0)\lineto(-1,0)\closepath}
%\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-3}{5}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}\lineto(5,0)\lineto(-3,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-5}{7}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}\lineto(7,0)\lineto(-5,0)\closepath}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-6.0}{8.0}{1/(2*(2*PI)^0.5)*2.718281828^((-(x-1)^2)/8)}
\rput[bl](1,-0.0181){$ \mu $}
\rput[bl](-5.5,-0.0181){$\mu-3\sigma$}
\rput[bl](5.5,-0.0181){$\mu+3\sigma$}
\rput[bl](0.6,0.1){$99\%$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2)(4,2.5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-2)(4,2.5)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=10.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=10]{->}(0,0)(-4,-0.4)(4,0.5)
\pscustom[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1}{1}{1/(2*PI)^0.5*2.718281828^((-x^2)/2)}\lineto(1,0)\lineto(-1,0)\closepath}
\pscustom[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-2}{2}{1/(2*PI)^0.5*2.718281828^((-x^2)/2)}\lineto(2,0)\lineto(-2,0)\closepath}
\pscustom[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-3}{3}{1/(2*PI)^0.5*2.718281828^((-x^2)/2)}\lineto(3,0)\lineto(-3,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-4.0}{4.0}{1/(2*PI)^0.5*2.718281828^((-x^2)/2)}
\psline{<->}(-1,-0.1)(1,-0.1)
\psline{<->}(-2,-0.2)(2,-0.2)
\psline{<->}(-3,-0.3)(3,-0.3)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](-3,-0.3)(-3,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](-2,-0.2)(-2,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](-1,-0.1)(-1,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](1,-0.1)(1,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](2,-0.2)(2,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt](3,-0.3)(3,0)
\rput[bl](-0.2,-0.05){\blue{$\mu$}}
\rput[bl](0.5,0.15){\blue{$68\%$}}
\rput[bl](-1.05,-0.15){\blue{$\mu-\sigma$}}
\rput[bl](0.99,-0.15){\blue{$\mu+\sigma$}}
\rput[bl](-2.04,-0.26){\blue{$\mu-2\sigma$}}
\rput[bl](1.95,-0.25){\blue{$\mu+2\sigma$}}
\rput[bl](-3.02,-0.35){\blue{$\mu-3\sigma$}}
\rput[bl](2.96,-0.36){\blue{$\mu+3\sigma$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Dem{
$$P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu + \sigma)=P(-\sigma \leq X -\mu\leq  \sigma) = 
P\left(-1 \leq \dfrac{X-\mu}{\sigma} \leq 1\right) \simeq 0.683$$
car $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi  $\mathscr N(0,1)$. \\
De même pour les autres approximations.

}

 
\begin{ExoC}
  Une compagnie d'empaquetage de jus possède un équipement versant une quantité $X$ de jus 
  dans chacune des bouteilles de format $1000$ ml. Cette quantité peut varier un peu d'une bouteille à l'autre.\\
  On considère alors que $X$ suit une loi normale de paramètre $\mu$ et $\sigma^2=25$ ml$^2$ et 
  on appelle $Z$ la variable aléatoire $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$. 
  \begin{enumerate}
   \item Dans un premier temps, on considère $\mu=1000$.
   \begin{enumerate}
    \item Déterminer la probabilité qu'une bouteille contiennent moins de $1000$ ml.
    \item Déterminer l'intervalle dans lequel se situe $99\%$ de la production.
   \end{enumerate}
    \item Reprendre les deux questions précédentes avec $\mu=1005$ ml.
    \item La législation impose qu'il y ait moins de $1\%$ des bouteilles contiennent moins de $1000$ ml.
        \begin{enumerate}
     \item Déterminer $\mu$ pour que l'embouteilleur respecte la législation et interpréter.
     \item La contenance des bouteilles étant de $1020$ ml, quelle est la probabilité qu'une bouteille déborde lors du remplissage ?
     \item Un inspecteur choisit un échantillon de $20$ bouteilles, au hasard et avec remise, parmi la production 
   de la journée.\\
   L'embouteilleur recevra une amende si l'inspecteur trouve au moins une bouteille contenant moins de $1000$ ml.\\
   On appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bouteilles dans l'échantillon qui contiennent
   moins de $1000$ ml. Quelle est la probabilité que l'embouteilleur reçoive une amende ?
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}
\end{ExoC}

\Sol{\begin{enumerate}
      \item \begin{enumerate}
             \item Par symétrie de la courbe, on sait que  $P(X\leq 1000)=\dfrac12$
             \item On sait que 
  \item $P(\mu-3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma)\simeq 0.99$ donc $X\in[985 ; 1015]$
            \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item On a $P(X\leq 1000)=0.5-P(1000 \leq X\leq 1005)=0.5-\dfrac12 P(1000\leq X\leq 1010)
         \simeq 0.5-\dfrac12 0.683 = 0.1585$\\
         Ou encore, à la calculatrice, en calculant $P(1000 \leq X\leq 1005)$, on trouve environ $0.1587$, donc presque pareil.
         \item On sait que $X\in[1005-15 ; 1005+15]$ ie $X\in[990 ; 1020]$ dans $99\%$ des cas.
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
   \item On sait que $Z$ suit une loi normale
   $\mathscr N(0;1)$.
   On cherche alors $\mu$ tel que 
   $$P(X \leq 1000)=0.01 \iff P\left(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\leq \dfrac{1000-\mu}{\sigma}\right)=0.01 \iff 
   P\left(Z\leq \dfrac{1000-\mu}{5}\right)=0.01$$
   On cherche donc $\alpha$ tel que $P(Z\leq \alpha)=0.01$.\\
   Grâce à la calculatrice, on trouve $\alpha \simeq -2.326$. Ainsi 
   $$\dfrac{1000-\mu}{5}\simeq -2.326 \iff \mu \simeq 1011.632$$
   L'embouteilleur doit verser en moyenne $1012$ ml par bouteille pour que environ $1\%$ des bouteilles 
   contiennent moins de $1000$ ml.\\
\textit{On peut vérifier en cherchant à la calculatrice $\alpha$ tel que $P(X\leq \alpha)=0.01$ pour la loi de $X$.\\
On doit évidemment trouver une valeur proche de $1000$.}
  \item A la calculatrice, avec $\mu \simeq 1011.6$, on trouve $P(X>1020)=0.5-P(1011.6<X<1020)\simeq 0.046$.
   \item On répète $20$ fois de manière identique et indépendante, l'épreuve de Bernoulli 
   qui consiste à choisir une bouteille, le succès étant 
   \og la bouteille contient moins de $1000$ ml \fg, de probabilité $0.01$ d'après ce qui précède. \\
   $Y$ compte le nombre de succès, donc $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $20$ et $0.01$.\\
   On cherche $P(Y \leq 1)=1-P(Y=0) = 1-0.99^20 \simeq 0.18$\\
   La probabilité que l'embouteilleur reçoive une amende est de $0.18$.   
  \end{enumerate}
     \end{enumerate}
}

\end{document}