\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Logarithme et exponentielle sont au restaurant ... }  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 10}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\setcounter{NumLecon}{10}

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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

 
\Chacha{madonne.eps}{Autoportrait avec cigarette (1895) \fg \, et \\ \og  La madone (1895-1902)}{Edvard Munch}
{La maladie, la folie et la mort sont les anges noirs qui ont veillé sur mon berceau}{Edvard Munch}{Edvard Munch 
(1863 - 1944) est un peintre expressionniste norvégien,
souvent considéré comme le pionnier de l'expressionnisme et très tôt réputé pour son appartenance
 à une nouvelle époque artistique en Europe.
L'importance de son œuvre est aujourd'hui reconnue dans le monde. \\
Les œuvres de Munch les plus connues sont celles des années 1890, notamment  \textit{Le Cri} (1893)
(cf fin du cours), pièce de la série \textit{La Frise de la Vie}, que Munch a assemblée au tournant du siècle. 
Sa production ultérieure attire toutefois de plus en plus l'attention et semble inspirer tout spécialement les artistes actuels.\\
Munch traite d'une manière récurrente des thèmes de la vie, de l'amour, de la peur et de la mort.
La collection la plus importante de ses œuvres se trouve au le Musée Munch dans Oslo. 
Quelques-unes de ses peintures se trouvent à la galerie nationale d'Oslo. 
L'Hotel Continental d'Oslo possède de nombreuses impressions. Enfin, la pinacothèque de Paris a organisé en 2010 la superbe exposition 
\textit{Anti-Cri} regroupant de nombreux tableaux de Munch, issus de collections privées.\\
\textit{ Le Cri } et  \textit{La Madone} ont été volés le 22 août 2004 au musée Munch d'Oslo. Ils ont été récupérés dans des circonstances non connues 
en août 2006 en Norvège... Les deux œuvres ensemble sont estimées à 100 millions de dollars.}
{1.2}{0.4}{
 \item Découvrir l'affixe d'un nombre complexe
  \item Interpréter géométriquement le module et l'argument d'un nombre complexe
  \item Les utiliser pour placer un nombre complexe dans le plan
 \item Déterminer la forme trigonométrique et la forme exponentielle d'un nombre complexe
 \item Utiliser les nombres complexes pour résoudre des problèmes géométriques
}


\TITRE{anti-cri.eps}{0.5}

\begin{Intro}{Au fil du temps}
Comme souvent en mathématiques, 
un même objet  (ici le logarithme
népérien) peut être défini de différentes manières (nous en verrons trois) en aboutissant malgré tout 
aux mêmes propriétés~: le procédé de fabrication change, mais le produit
fini est le même.\\
Ainsi, le programme de TS actuel introduit la fonction logarithme népérien 
à partir de la fonction exponentielle (nous en avons déjà parlé). Une fois son existence 
démontrée, cela entraine toutes sortes de propriétés que nous démontrerons également.
Cependant, l'histoire s'est déroulé tout autrement ...\\
Avant de réellement commencer donc, faisons un bref (?) résumé historique de la fonction logarithme népérien,
car il est toujours intéressant de replacer les éléments dans leur contexte pour comprendre 
comment on en est arrivé à se poser certaines questions, même si aujourd'hui, on y répond 
d'une tout autre manière qu'à l'époque.
\end{Intro}


\section{Au fil de l'Histoire}
\subsection{Une fonction transformant les produits en sommes}
Au début du $XVII^{e}$ siècle, les mesures astronomiques, nécessaires à la navigation 
par exemple ou à l'étude du mouvement des planètes, engendrent des calculs ... astronomiques ! et particulièrement
fastidieux à effectuer à la main. Pour simplifier ces calculs, on cherche à réaliser 
des tables numériques à deux colonnes, mettant en correspondance les nombres de telle 
manière que pour effectuer une multiplication, il suffira d'effectuer une addition, 
beaucoup plus simple ! \\
\textit{ Il est en effet plus aisé de calculer $113 + 254$ que $113 \times 254$.}
\Expl{
Par exemple, on peut mettre en correspondance les termes d'une suite géométrique de raison $2$, de premier
terme $u_0=1$ et ses rangs :
$$\begin{array}{|c*{10}{|C{1cm}}|c}\cline{1-11}
  u_n & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 & \times \tabularnewline\cline{1-11}
  f(u_n)=n   & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  & 5  & 6  & 7   & 8   & 9 & + \tabularnewline\cline{1-11}
 \end{array}
$$
Ainsi, pour calculer $16 \times 32 $, on fait $4+5=9$, donc $16\times 32 = 512$. Easy !\\
Le problème, c'est que cette méthode ne fonctionne que dans des cas particuliers : 
il faut que les deux nombres
soient des termes de suites géométriques. Si l'on veut calculer $16 \times 33 $ par cette méthode, 
c'est bien plus complexe !\\
}

Il s'agit de réaliser une fois pour toutes ces cacluls fastidieux, puis de mettre 
les tables à disposition des calculateurs.
Les mathématiciens ont donc été amenés à rechercher les fonctions
$f$ transformant les produits en sommes, ie à résoudre l'équation fonctionnelle $f(a\times b)=f(a)+f(b)$ 
(l'inconnue étant la fonction $f$).\\
En 1614, l'écossais John \textsc{Napier} (en français Jean Néper..)  établit une telle 
table de calcul, qu'il appelle Tables de Logarithmes (arithmos=nombres, logos=raison, rapport). 
Ces tables eurent immédiatement un très grand succès, 
et d'autres tables furent très vite publiées, comme celle de Briggs très proche de celle ci-dessous. 
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Table.eps}
\end{center}
Elles furent massivement utilisées pour les calculs pendant plus de trois siècles, 
et permirent la création des règle à calculs, ancêtre de la calculatrice (mais pas si ancien que cela puisque 
M. Neibecker a passé son bac avec, quoique ...) très précises et permettant toutes sortes de calculs.\\
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.3]{Regle.eps}
\end{center}

Elles furent détrônées à la fin du $XX^e$ par la mise sur le marché de calculatrices performantes. 

\newpage

\begin{act}
 Pouvez-vous créer votre propre table ??\\
Voici deux exemples d'extraits de tables logarithmiques :\\
 $$\begin{array}{|c*{9}{|C{1.5cm}}|c} \cline{1-10}
x & 2          & 5 & 10 & 20 &     & 40 & 100 & 1000 &    & \times \tabularnewline\cline{1-10}
f(x) & 0.30103 &   & 1  &    & 1.5 &    &     &      & 52 & + \tabularnewline\cline{1-10}
\end{array}$$
$$\begin{array}{|c*{13}{|C{0.95cm}}|c} \cline{1-14}
x & 0.25 & 0.5 & 1 & 1.25 & 1.5    & 2      &   & 3      & 4      & 5 & 6 & 24 & 30 & \times \tabularnewline\cline{1-14}
f(x) &   &     &   &      &        & 0.6931 & 1 & 1.0986 & 1.3863 &   &   & & & +\tabularnewline\cline{1-14}
\end{array}$$
Pour déterminer le produit de deux nombres $a$ et $b$ :
\begin{itemize}
 \item on lit dans la table $f(a)$ et $f(b)$
 \item on calcule facilement $f(a)+ f(b)$ 
 \item on recherche dans la table quelle image par $f$ vaut cette somme,
 \item on lit alors dans la table l'antécédent correspondant. Il s'agit de $a\times b$ !
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Première table} :
 \begin{enumerate}
  \item  Vérifier que la multiplication de deux nombres de la première ligne correspond 
 à l'addition de deux nombres de la deuxième ligne.
 \item Quel nombre doit-on mettre dans la deuxième ligne sous $40$ ? $100$ ? $1000$ ?
 \item Quel nombre doit-on écrire dans la première ligne au dessus de $52$ ? Que constatez-vous ?
 \item Quel nombre doit-on mettre sous $5$ ? \\
 Vérifier la cohérence de votre valeur en retrouvant celle sous $100$ grâce à elle.
 \item Proposer une méthode pour trouver la valeur exacte de l'antécédent de $1.5$ par la fonction $f$, 
 sans calculatrice.\\
\textit{ On dit que le résultat est la \textbf{moyenne géométrique} de $10$ et $100$.}
% \item Vérifier à la calculatrice les valeurs trouvées.
 \end{enumerate}
  \textit{La fonction décrite dans la première table s'appelle \textbf{Logarithme décimal}, notée \textbf{Log}, et est
très utilisée en sciences (mesure du pH, magnitude des étoiles, niveau sonore en décibels, 
en musique avec le spectre sonore, en électronique, en radioactivté ... \\
Elle a également
permis à Richter d'exprimer la magnitude d'un séisme sur une échelle, dite logarithmique, très connue et 
très pratique pour faire référence à la force d'un séisme.\\
On retrouve ce type d'échelle en géographie, pour l'étude des dynamiques de populations.}
 \item \textbf{Deuxième table} : il s'agit également d'une table logarithmique, donc la multiplication de deux nombres de 
  la deuxième ligne correspond encore à l'addition de deux nombres de la première ligne.
 \begin{enumerate}
  \item Expliquer pourquoi $f(2)+f(2)$ ne vaut pas exactement $f(4)$.
 \item Quels nombres doit-on mettre sous $6$ ? de $24$ ? $1$ ?
 %\item Quel nombre doit-on écrire dans la colonne de gauche en face de $0$ ?
 \item Compléter les cases sous $0.5$ et $0.25$. Que constate-t-on ?
 \item En déduire sous $1.5$.
 \item Expliquer pourquoi on ne peut pas obtenir l'image de $5$ par cette fonction facilement ? 
 et celle de $30$ ?\\
 \textit{Pour obtenir l'image de $5$, on procède par dichotomie. \\
 On calcule la moyenne arithmétique de $f(4)$ et $f(6)$ : $\dfrac{f(4)+f(6)}{2}\simeq 1.58903$. \\
 Puis on calcule l'antécédent de ce nombre, qui est la moyenne géométrique de $4$ et $6$, ie 
 $\sqrt{4\times 6}=\sqrt{24}<5$.\\
 Et on recommence avec ce procédé en prenant comme nombre de départ $\sqrt{24}$ et $6$, car $\sqrt{24}<5<6$, 
 jusqu'à obtenir une précision convenable.\\
 Cette méthode suggère évidemment que la fonction logarithme décrite est continue, et utilise le théorème des 
 valeurs intermédiaires.}
 \item On donne $f(5)\simeq 1.60948$. En déduire $f(30)$ et $f(1.25)$.
 \item Comment calculer à l'aide de cette table $1.25\times 24$ sans effectuer de multiplication ?
 \end{enumerate}
\textit{ La fonction décrite dans la deuxième table s'appelle \textbf{Logarithme Népérien}, noté \textbf{Ln}, 
en hommage à John, même si sa table n'était pas celle-ci. 
C'est la seule fonction logarithme que nous étudierons dans ce chapitre. }
\end{enumerate}
\end{act}


 
\subsection{Une Primitive de la fonction inverse}

On date en général la naissance du logarithme népérien de 1647, 
date à laquelle Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole (la recherche d'un carré
ayant la même aire que la surface située sous l'hyperbole)
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.9]{aire.eps}
\end{center}
Il démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété des fonctions logarithmes 
(transformation d'un produit en somme). Mais lui-même ne voit pas le lien avec les logarithmes inventés par 
John. \\
La fonction ln s'est d'ailleurs appelée un certain temps fonction logarithme hyperbolique, 
compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole. \\
On l'a également appelé logarithme naturel lorsque, en 1668, 
Nicolaus Mercator met en place une méthode de calcul assez simple de ses valeurs. 
Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué et le logarithme népérien devient le plus 
naturel... \\

Avant 2005, en Terminale S, on partait de ce problème de quadrature, et on 
définissait le logarithme népérien comme la fonction qui à tout $t>0$ associe
l'aire géométrique de la surface comprise entre la hyperbole, l'axe des abscisses et les droites 
d'équation $x=1$ et $x=t$.\\
Nous verrons dans un prochain chapitre que cela implique que le logarithme népérien est la primitive
de la fonction inverse qui s'annule en $1$, ie que $ln'(x)=\dfrac1x$ pour tout $x>0$ et $\ln(1)=0$.
Nous démontrerons ici ce dernier résultat, mais 
en partant d'une autre définition de la fonction.\\




\Rqs{
\item Vous pouvez constater que dans vos tableaux de dérivées, vous n'aviez aucune fonction
 donc la dérivée valait $x^{-1}=\dfrac1x$ alors que vous en aviez pour n'importe quelle fonction du type $x^n$ avec $n\in\Z$ 
 différent de $1$.
 \item Donner une autre primitive de la fonction inverse.
} 
\subsection{La fonction réciproque de la fonction exponentielle}
Une dizaine d'annés plus tard (1676), Newton envoie une lettre à Leibniz dans lesquelles il ose enfin écrire
le premier exposant fractionnaire (et en expression littérale s'il vous plait !) 
et en donne une signification. Dès la lettre suivante, il en vient aux exposants irrationnels. 
Cependant il n'en donne aucune définition ni calcul approché. \\
Leibniz s'empare de ce concept et présente pour la première fois en 1678 un exposant variable 
dans une expression, $x^y$. Mais, il n'en explique pas la signification non plus. \\
En 1679, il confie à Huygens qu'il a encore du mal à exploiter des équations de la forme $x^x - x= 24$
(cela à l'air hyper simple non pourtant ?!). \\
La notation $a^{\frac pq}$ se généralise cependant et 
les exposants commencent à être perçus comme des logarithmes (des produits revenant à des sommes). 
La notion prend peu à peu corps jusqu'à se voir qualifiée d'exponentielle. \\
En 1690-1691, Leibniz confie à Huygens 
que de telles expressions ne sont plus obscures. Il les relie explicitement aux logarithmes expliquant que
pour tout $a>0$, on a $\ln(a)=x \iff a=b^x$ où $b$ est une constante telle que $\ln(b)=1$.
C'est la première apparition du nombre transcendant $e$, bien que personne ne le sache encore.\\
La fonction exponentielle a été étudiée en tant que telle en $1697$ par Jean Bernoulli et c'est ainsi
que les fonctions exponentielles firent leur entrée dans le monde des mathématiques. Pour le nombre $e$, il a fallu encore attendre un 
siècle avec Euler ...\\


Et c'est désormais ainsi qu'en Terminale S, on aborde la fonction logarithme :
comme la fonction \textit{réciproque} de la fonction exponentielle. Place au cours !

\newpage
\section{Au fil du programme}
\subsection{Existence de la fonction logarithme népérien}
On se rappelle que la fonction $\exp$ est continue et strictement croissante de $\R$ dans $\R^{+*}$. \\
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, on sait alors que pour tout $a >0$, 
il existe un \textbf{unique} réel
$x$, antécédent de $a$ par la fonction $\exp$, ie tel que $e^x=a$. \\
On dit que la fonction exponentielle est une \textbf{bijection} de $\R$ dans $\R^{+*}$.\\
Grâce à l'unicité, on peut définir la fonction qui à $a$ associe $x$. 
On dit que cette fonction est la fonction réciproque de l'exponentielle. \\
Il s'agit aussi d'une bijection, mais de $\R^{+*}$ dans $\R$.\\

\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
$x=\ln(y)\in\R^{}$ &  & $y=e^x\in\R^{+*}$ 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,3}^{$\exp$}
\ncarc[arcangle=15]{1,3}{1,1}^{$\ln$}
\end{center}

\Rq{On a donc \quad \fbox{ $\forall (x,y) \in \R \times \R^{+*}, \qquad  e^x=y \Longleftrightarrow x=\ln y$}
}

\begin{defi}[Propriété]
On appelle fonction \textbf{logarithme népérien} la fonction qui à 
tout $x>0$ associe l'unique solution de l'équation $e^t=x$, d'inconnue $t$. On note $t=\ln(x)$ et on a donc 
$$\forall x>0, \quad e^{\ln(x)}=x $$
La fonction $\ln$ est appelée fonction \textit{réciproque} de la fonction $\exp$. 
\end{defi}

\Rqs{
   \item Comme $x=e^t>0$, $\ln(x)$ n'a de sens que si $x>0$. La fonction $\ln$ est définie sur $\R^{+*}$ et à valeurs dans $\R$.
 \item Pour tout $x\in\R$, le nombre $\ln\left(e^x\right)$ est solution de 
 $e^t=e^x \iff x=t=\ln\left(e^x\right)$. D'où 
 $$\forall x\in\R, \quad \ln\left(e^x\right) = x$$
\item En particulier $\ln(e)=1$ et $\ln(1)=0$
\item Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs on a $\ln(a)=\ln(b) \iff a=b$
\item Vous connaissez d'autre fonction réciproque. En donner des exemples.
}

\Expls{
Trouver les ensemble de définition des fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=\ln(x+3)$ et $g(x)=\ln(x^2-x-2)$.\\
Résoudre $e^x=5$,  $\ln(x)=5$ et $ e^{e^x}=3$.\\
}


\begin{ExoL}
 Déclic : 20 à 22 p 164
\end{ExoL}


\subsection{Propriétés algébriques}

\begin{theo}
La fonction $\ln$ transforme les produits en sommes, ie pour tout $a>0$ et $b>0$ on a :
$$ \ln ab=\ln a+\ln b$$  
\end{theo}


\Dem{La fonction exponentielle transforme les sommes en produits donc $ e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}e^{\ln b}=ab$
En appliquant le logarithme à cette égalité on obtient :
$$ \ln a+\ln b=\ln ab$$ }

\begin{coro}
Pour tous $a$ et $b$ strictement positif et pour $n\in\Z$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln \left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln b$
\item $ \ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$
\item $\ln \left(a^n\right)=n \ln (a)$
\item $\ln \sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\ln a$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{coro}


\Dem{
\begin{enumerate}
\item D'après le théorème on a $\ln b+\ln \dfrac{1}{b}=\ln b \times \dfrac{1}{b}=\ln 1 = 0 $. D'où $\ln \left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln b$
 \item On a :
 $$  \ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a+\ln \dfrac{1}{b}=\ln a-\ln b$$
 \item On veut déjà démontrer \og $\ln \left(a^n\right)=n \ln (a), \quad \forall n \in\N$ \fg.
 \begin{itemize}
\item \textit{Initialisation} : Pour $n=0$,  $\ln (a^0)=\ln 1=0$ et $0 \times \l(a) = 0$. Donc la propriété est vraie.
\item \textit{Hérédité} : On suppose qu'il existe un certain $n$  tel que $ \ln \left(a^n\right)=n \ln a$. \\
Regardons ce que vaut $\ln \left(a^{n+1}\right)$. On a :
\begin{eqnarray*}
\ln\left(a^{n+1}\right) & = & \ln \left(a^{n} \times a\right) \\
&=& \ln \left(a^{n}\right)+\ln a \qquad \text{d'après le théorème} \\
&=& n \ln a + \ln a \qquad \text{ d'après l'hypothèse de récurrence}\\
&=& (n+1)\ln(a) 
\end{eqnarray*}
La propriété est donc initialisée et héréditaire, par conséquent pour $n\in\N$ on a $\ln \left(a^n\right)=n \ln (a)$.\\
Si désormais $n<0$, alors $-n>0$ et : 
$$ \ln a^n=\ln\dfrac{1}{a^{-n}}=-\ln a^{-n}=-(-n\ln a)=n\ln a$$
\end{itemize}
\item $$ \ln \lambda= \ln \sqrt{\lambda} \sqrt{\lambda}= \ln \sqrt{\lambda}+\ln \sqrt{\lambda}=2\ln \sqrt{\lambda}\Longrightarrow\ln \sqrt{\lambda}=\dfrac{1}{2}\ln \lambda$$
\end{enumerate}}

\Expls{
\begin{enumerate}
\item Ecrire à l'aide de $\ln 2$ et $\ln 3$ les nombres $A=\ln 144$ et $B=\ln 81+\ln 3 \sqrt{3}$
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $\ln(5-x)>2\ln (x+1)$. \textit{Penser au domaine de validité}
\item Une voiture perd en moyenne $15\%$ de valeur en un an. Au bout de combien d'années a-t-elle perdu la moitié de sa valeur ?
\end{enumerate} }


\begin{ExoL}
 Déclic : 37 + 39 + 43 + 44 p 165 + 50 p 166
\end{ExoL}

\subsection{Lien des fonctions exponentielle et logarithme avec les suites}
\Act{Déclic activité 3 p 152}



\section{Etude de la fonction logarithme népérien}

\subsection{Sens de variation}

\begin{theo}
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ i.e 
$$ 0< a < b \Longleftrightarrow \ln a <\ln b $$ 
\end{theo}


\Dem{
On sait que pour tous $a$ et $b$ strictement positifs on a $a=e^{\ln a} $ et $b=e^{\ln b} $. Donc :
\begin{eqnarray*}
&& 0< a< b  \\
&\Longleftrightarrow & 0 <e^{\ln a}<e^{\ln b}\\
&\Longleftrightarrow & \ln a <\ln b \qquad \text{car }e^A<e^B\Longleftrightarrow A<B
\end{eqnarray*} 
Ainsi nous venons de démontrer que le logarithme népérien est une fonction strictement croissante sur $]0;+\infty[$.}

\Expl{Résolvons l'inéquation suivante $ \ln (5-x)\leq \ln (3-2x)$
\begin{itemize}
\item \textit{Domaine de validité} : Cette équation est définie pour tout $x$ vérifiant 
$$\left\{\begin{array}{l}
 5-x>0     \\ 3-2x>0   
        \end{array}\right.
 \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{l}
      x<5 \\ x<\dfrac{3}{2}  
       \end{array}\right.
\iff x<\dfrac{3}{2}$$
\item \textit{Résolution} : Ainsi pour tout $x<\dfrac{3}{2}$ on a :
\begin{eqnarray*}
&& \ln (5-x)\leq \ln (3-2x) \\
&\Longleftrightarrow & 5-x\leq 3-2x\\
&\Longleftrightarrow & x\leq -2 \qquad \text{ ce qui est bien inférieur à } \dfrac{3}{2}
\end{eqnarray*}
L'ensemble des solutions $\mathscr S$ de $(I)$ est $ \mathscr S=]-\infty; -2]$
\end{itemize}
}

\Rq{On a alors $\ln x<0\Longleftrightarrow  \ln(x) < \ln(1) \iff x\in]0;1]$.
}


\begin{ExoL}
 Déclic : 25 à 28 + 32 p 164 (éq et inéq) + 51 + 53 p 166 (proba) + 65 p 167 (suites)
\end{ExoL}


\subsection{Continuité et dérivabilité}

\begin{theo}
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur $]0;+\infty[$ et sa dérivée est :
$$ (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$$  
\end{theo}


\Dem[Hors Programme]{
Pour démontrer que le logarithme népérien est dérivable sur $]0;+\infty[$ 
(ce qui impliquera qu'elle est continue sur $]0;+\infty[$), on procède en 2 étapes :
\begin{enumerate}
\item Montrons que $\ln$ est continue en $1$ i.e que $ \Lim{1}\ln x=\ln 1=0$.\\
Pour tout $x>-1$, on a 
$$e^x\geq x+1 \iff \ln(e^x) \geq  \ln(x+1) \iff  x \geq \ln(x+1) \iff X-1 \geq \ln(X)$$
en ayant posé $X=x+1$. Donc $0< \ln X\leq X-1 $ pour tout $X >0$.\\
D'après le théorème des gendarmes, on a alors $ \Lim{1}\ln x=0=\ln 1$.
Donc la fonction $\ln$ est continue en $1$.\\

\item Etudions $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln(a+h)-\ln a}{h}$ (on considère $h$ assez proche de $0$ pour que $\ln(a+h)$ soit défini).
$$\ln(a+h)-\ln a=\ln\left(\dfrac{a+h}{a}\right)=\ln\left(1+\dfrac{h}{a}\right)$$
Posons $H=\ln\left(1+\dfrac{h}{a}\right) \Longleftrightarrow e^H=1+\dfrac{h}{a}\Longleftrightarrow h=a(e^H-1)$.\\

La fonction $\ln$ étant continue en $1$, on a $\lim\limits_{h\to 0} H=\lim\limits_{h\to 0} \ln\left(1+\dfrac{h}{a}\right)=\ln(1)=0$. \\
D'où $$  \displaystyle \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln(a+h)-\ln a}{h}= \displaystyle \lim\limits_{H\to 0}\dfrac{H}{a(e^H-1)}$$
Or, $ \lim\limits_{H\to 0}\dfrac{e^H-1}{H}=1$. Donc $ \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\ln(a+h)-\ln a}{h} =\dfrac{1}{a} \times \dfrac{1}{1}= \dfrac{1 }{a}$.\\

La fonction  $\ln$  est donc dérivable en tout $a>0$ et son nombre dérivé est $\dfrac{1}{a}$.
\end{enumerate}}

\Rqs{
\item On retrouve de suite le sens de variation démontré précédemment.
\item La tangente à la courbe représentative de la fonction $\ln$ au point $A(1;0)$ est la droite d'équation 
\begin{eqnarray*}
 T_1 : y & = & \ln'(1)(x-1) + \ln(1) \\
& = & 1(x-1)+0\\
 T_1 : y &= & x-1
\end{eqnarray*}
 \item L'approximation affine de la fonction $h \mapsto \ln(1+h)$ au voisinage de $0$ est 
\begin{eqnarray*}
\ln(1+h) &\simeq & \ln(1) + h \ln'(1) \\
&\simeq &  0+ h \dfrac{1}{1} \\
\ln(1+h) &\simeq &  h 
\end{eqnarray*}
Ce qui pourrait nous permettre de construire l'allure de la courbe représentative de la fonction Ln
grâce à la méthode d'Euler.

}


\begin{prop}
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et strictement positive alors :
$$ (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$$
\end{prop}

\Dem{On sait que $$ (v\circ u)'=v'(u)\times u'$$
On applique ce résultat pour $v=\ln$. }

%\begin{prop}
%Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ qui ne s'annule pas sur $I$. Une primitive sur $I$ de la fonction
%$\dfrac{u'}{u}$ est la fonction $ \ln |u|$ 
%\end{prop}


%\Dem{Comme $u$ est dérivable sur $I$, elle est continue sur $I$. De plus elle ne s'annule pas sur $I$ donc elle ne change pas de signe sur $I$.\\
%On peut alors dériver $\ln|u|$ en considérant le cas $u >$ et le cas $u<0$.}


\Expls{
\begin{enumerate}
\item Déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies par :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\ln(x^2-9)$ sur $]3;+\infty[$.
\item $g(x)=\ln\left(\dfrac{x-2}{x+2}\right)$ sur $]2;+\infty[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Etudier le sens de variation de la fonction $f : x\longmapsto \dfrac{\ln (x)-1}{\ln (x)+1} $ sur l'intervalle $I=\left]\dfrac{1}{e};+\infty\right[$
\end{enumerate}}

\begin{ExoL}
 Déclic : 48 + 49 p 166 + 54 p 166 + 60 à 64 p 169
\end{ExoL}


\subsection{Limites}

\begin{theo}[Limites aux bornes de son ensemble de définition]
$$ \Lim{+\infty}\ln x=+\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{0^+}\ln x=-\infty$$
Ainsi la représentation graphique de la fonction $\ln$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ mais n'admet pas d'asymptote horizontale. 
\end{theo}


\Dem{Soit $M\in\R^{+*}$. Posons $A=e^M$, comme la fonction $\ln $ est strictement croissante sur $\R^{+*}$ on a :
$$ \forall x>A\Longrightarrow \ln x>\ln A=M$$
Quelque soit le réel $M$, il existe un rang au delà duquel $\ln x\geq M$, ce qui prouve que $$ \Lim{+\infty}\ln x=+\infty$$
De plus, 
$$ \Lim{0^+}\ln x=\Lim{+\infty} \ln \dfrac{1}{x}=-\Lim{+\infty}\ln x=-\infty$$ }


\Expl{Déterminer les limites suivantes :
$$ \Lim{+\infty} \ln \left(\dfrac{3x^2+5}{x-1}\right) \qquad  \Lim{\pm\infty} \ln \left(\dfrac{3x+5}{x-1}\right) \qquad \Lim{1^+} \ln \left(\dfrac{3x^2+5}{x-1}\right)$$
}


\begin{theo}[Autres limites faisant intervenir le logarithme népérien]
\begin{enumerate}
\item $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0 \qquad $ et  $\qquad  \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0$, avec $n\in\N^*$\\
\item $ \Lim{0^+} x\ln x=0 \qquad $ et $\qquad \Lim{0^+} x^n\ln x=0$, avec $n\in\N^*$\\
 \item $ \Lim{1} \dfrac{\ln x}{x-1}=1$
\end{enumerate}
\end{theo}

\Rq{On retiendra qu'en $+\infty$ et en $0$, toute puissance de $x$ l'emporte sur $\ln(x)$.}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item On pose $X=\ln(x)$. Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, on a alors que $X$ tend vers $+\infty$ et 
$$ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}= \lim\limits_{X \to +\infty}\dfrac{X}{e^X} $$
Or $ \lim\limits_{X \to+\infty} \dfrac{e^X}{X}=+\infty\Longleftrightarrow \lim\limits_{X \to+\infty}\dfrac{X}{e^X}=0$. \quad 
Donc
$$ \displaystyle\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0$$
On en déduit alors pour $n\geq 2$ que $$ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=\Lim{+\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}}\times \dfrac{\ln x}{x}=0\times 0 = 0$$
\item On pose $X=\dfrac{1}{x}$. Lorsque $x$ tend vers $0^+$ alors $X$ tend vers $+\infty$ et :
$$ \Lim{0^+} x\ln x=\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{1}{X}\ln \dfrac{1}{X}=-\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{\ln(X)}{X}=-0=0$$
On en déduit alors pour $n\geq 2$ que $$  \Lim{0^+} x^n\ln x= \Lim{0^+} x^{n-1}\times x\ln x=0 \times 0 = 0$$
\item  $ \Lim{1} \dfrac{\ln x}{x-1}=\Lim{1} \dfrac{\ln x-\ln 1}{x-1} = \ln'(1)=\dfrac{1}{1}=1$
\end{enumerate}}

\Expls{Déterminer les limites suivantes 
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{\ln (x+1)}{x} \qquad \text{;}\qquad \Lim{+\infty} \dfrac{x}{x^2+1}\ln x \qquad ; \qquad \Lim{+\infty}\dfrac{\ln x}{ \sqrt{x} }$$}
$$\Lim{0^+} \sqrt{x}\ln x \qquad ; \qquad \Lim{0^+} \ln(x) \times \ln(1-x)$$

\begin{ExoL}
 Déclic : 33 + 34 p 164 + 55 + 56 + 58 + 59 p 167 + 70 à 74 + 76 (TVI) + 77 à 79 p 169 (suites)
\end{ExoL}

\subsection{Représentation graphique}

\Act{Déclic Activité 2 p 152}

Les courbes $\mathscr C_{exp}$ et $\mathscr C_{\ln}$ sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ (cf DM $7$), par conséquent, on peut tracer la courbe repr\'esentative de la fonction $\ln$ :

 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6]{$x$/1, Signe\\de $ \dfrac{1}{x} $/2, Variation\\ de $\ln x$/2} {$0$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $-\infty$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$1$} {$0$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$e$} {$1$}
\end{tikzpicture}
\newline
\begin{center}
 \psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1.5)(5,3.1)
\def\xmin{-2.10001} \def\xmax{5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{3.1}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-2.20001,-1.6)(5.1,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.2cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=lightgray, subgriddiv=1](0,0)(-20,-15)(50,31)
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x ln}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.01}{5}{\F}
\def\G{x EXP}
\psplot[linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\G}
\def\H{x}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{5}{\H}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](0.3,1){$M$}
\uput[dl](1.4,0){$M'$}
\psdot(2.718,1)
\uput[dl](3.5,1){$N(e;1)$}
\psdot(1,2.718)
\uput[dl](1.8,2.718){$N'(1;e)$}
\uput[l](4.9,1.9){$\mathscr C_{\ln}$}
\uput[dl](-1,0.6){$\mathscr C_{exp}$}
\pcline[linewidth=1pt]{<->}(-0.3,0.7)(0.3,1.3)
\pcline[linewidth=1pt]{<->}(0.7,-0.3)(1.3,0.3)
\psline[linestyle=dashed](2.718,1)(1,2.718)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{center}

\begin{ExoL}
 Déclic : 52-55 p 167 + 80-81-84-85-97-99-100-102 p 171
\end{ExoL}




\end{document}
