\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Introduction}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Fonction Exponentielle}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\begin{exoi}
Le Radon est un gaz radioactif qui se désintègre avec le temps. On a pu observé qu'une quantité quelconque 
de tels noyaux diminue chaque jour d'environ $16.5\%$. \\
On aimerait connaître le temps de demi-vie du Radon, ie le temps nécessaire pour que la moitié
des atomes d'une quantité donnée de radon se soit désintégrée de façon naturelle.\\
\textbf{Partie A : Modélisation par une suite}\\
 Soit $R_n$ la quantité de radon au bout de $n$ jours, avec $n\in\N$.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $R_{n+1}$ en fonction de $R_n$ pour tout $n\in\N$. En déduire la nature de la suite $(R_n)$.
 \item Pour tout $n\in\N$, exprimer $R_n$ en fonction de $n$ et de $R_0$.\\
 En déduire la proportion $p_n$ de noyaux restants au bout de $n$ jours, pour tout $n\geq 0$.
 \item Déterminer à l'aide d'un tableau de valeurs le temps de demi-vie en jours du Radon.
\item Quelle critique pouvez-vous faire quant cette modélisation de la situation par une suite ?
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Modélisation par une fonction}\\
Soit $R(x)$ est la quantité de noyaux de Radon restant au bout de $x$ jours, 
et $p(x)$ la proportion de noyaux restant au bout de $x$ jours, avec $x$ un réel positif dans les deux cas.\\
Il paraît alors assez naturel de faire l'hypothèse que, pour toute quantité initiale $R(0)$ de 
Radon, la quantité $R(x)$ de Radon restant au bout de $x$ jours, avec $x\in\R^+$, est $R(x)=p(x)\times R(0)$, où $p(x)$
est un réel ne dépendant que de $x$. \\
On cherche alors à déterminer la forme d'une telle fonction $p$, si tant est qu'elle existe, pour répondre à la question donnée.\\
Supposons déjà qu'une telle fonction $p$ existe. 
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Relation fonctionnelle}
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que pour tous réels $x$ et $y$ positifs on a 
 $$R(x+y)=p(x+y) \times R(0) \qquad \text{ et } \qquad R(x+y)=p(y) \times R(x)$$
  \item En déduire que  pour tous réels $x$ et $y$ positifs on a 
$$p(x+y)=p(x) \times p(y) \qquad (\ast)$$
\begin{center}
\textbf{$(\ast)$ s'appelle une relation fonctionnelle.\\
On dit que $p$ transforme les sommes en produits.}
\end{center}
  \item Connaissez-vous une telle fonction ? Peut-elle être celle que l'on cherche ?
    \end{enumerate}
  \item \textbf{Vérification de la cohérence avec la partie A.}
  \begin{enumerate}
     \item En remplaçant $y$ par $0$ dans la relation $(\ast)$, vérifier que la valeur de $p(0)$ est 
  cohérente avec $(\ast)$.
 \item Vérifier que $(\ast)$ est cohérente avec ce que l'on a déjà trouvé sur les entiers, 
 ie que \\
 $p(n+m)=p(n)p(m)$ pour tous $n$ et $m$ entiers naturels.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\textit{Vous remarquerez que l'on ne peut pas encore répondre à notre problème, qui semble plus compliqué que prévu. \\
Aussi allons-nous étudier en détails les éventuelles fonctions $f$ vérifiant la relation $(\ast)$}
\end{exoi}

\begin{exoi}

On admet qu'il existe des fonctions $f$ définies sur $\R$ et non nulles sur $\R$ vérifiant la relation suivante :
$$\text{Pour tous } x,y \in\R \quad \text{ on a } \quad f(x+y)=f(x)f(y) \qquad (\ast)$$
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Conséquences directes}
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que s'il existe un réel $a$ tel que $f(a)=0$ alors pour tout réel $x$, on a $f(x)=0$. \\
 En déduire que ces fonctions ne s'annulent jamais.
 \item Soit $x$ un réel quelconque. En remplaçant $y$ et/ou $x$ par une valeur bien choisie dans $(\ast)$ démontrer que :
$$f(0)=1 \qquad \qquad f(x)\geq 0  \qquad \qquad f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}$$
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Equation différentielle}\\
Supposons de plus que $f$ est dérivable sur $\R$.\\
Soit $x$ un réel quelconque. On pose $g : y \mapsto f(x+y)$ définie sur $\R$.
\begin{enumerate}
 \item En dérivant la fonction $g$ par rapport à sa variable $y$, montrer que $f'(x+y)=f(x) \times f'(y)$ pour tout $y\in\R$.
 \item En déduire que $f'(x)=k \times f(x)$ où $k$ est un réel non nul.
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{Ceci est vrai pour tout $x\geq 0$, donc la fonction $f$, si elle existe, est proportionnelle à sa dérivée.\\
Elle vérifie l'équation différentielle $f'=kf$.}
\end{center}
\end{enumerate}
\textit{Nous sommes désormais ramener à étudier les éventuelles fonctions $f$ proportionnelles à leur dérivée.}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item \textit{L'importance d'une condition initiale}\\
Supposons qu'il existe une fonction $f$, non nulle, définie et dérivable sur $\R$ telle que :
$$ f'=f\text{ sur }\R$$
\begin{enumerate}
\item Soit $\lambda\in\R$. On pose $g=\lambda f$. Démontrer que : $\qquad g'=g  \text{ sur }\R$
\item Soit $g$ une fonction vérifiant aussi $g'=g$ sur $\R$. \\
Montrer que $f+g$ vérifie la même condition.
\item Supposons maintenant qu'il existe une fonction $f$, définie et dérivable sur $\R$ vérifiant les conditions :
$$(P) \left\{ \begin{array}{l} y'=y \\ y(0)=1  \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $c$ définie sur $\R$ par  :$\qquad  c(x)=f(x)f(-x)$
Montrer que $c$ est une fonction constante égale à $1$ sur $\R$.\\
En déduire que $f$ ne s'annule pas sur $\R$.
\item Démontrer que si $g$ est une fonction qui vérifie $(P)$ alors $g=f$ \footnote{On pourra considérer et dériver la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h=\dfrac{g}{f}$ }
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\Rq{Dans cette partie on vient de démontrer que s'il existe une solution alors il en existe une infinité, puis en imposant une condition initiale (ici $f(0)=1)$ s'il existe une solution à notre équation alors elle est unique.}

Dans la suite, la fonction $f$ est l'unique solution \footnote{On suppose pour le moment qu'une telle fonction existe. La preuve rigoureuse de cette existence sera faite ultérieurement.} satisfaisant la condition $(P)$ i.e :

$$(P) \left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right.$$

Nous allons maintenant essayer de tracer la représentation graphique de $f$ grâce à la méthode d'Euler.

\begin{exoi}
On cherche à construire de façon approchée la courbe représentative $\mathscr C_f$ d'une éventuelle fonction dérivable $f$ qui vérifie les conditions 
$$\left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right. \qquad (\ast)$$
Comme on ne connait pas $f$, on ne peut pas déterminer l'ordonnée du point $M$ de la courbe ayant pour abscisse $x$.\\
On utilisera donc la méthode d'Euler pour approximer sa position. Elle consiste à dire qu'une courbe est proche d'une de ses tangentes
à proximité du point de tangence.
\begin{enumerate}
\item Construire un repère orthonormé d'unité graphique $10$ cm.
\item Quel est le seul point que l'on connait situé sur $\mathscr C_f$ ?\\
\textit{On prendra donc ce point comme référence dans toutes les questions suivantes.}
\item \textbf{Avec un pas de $1$}
\begin{enumerate}
 \item Quel est le coefficient directeur de la tangente $T_0$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$ ?
 \item Tracer le segment porté par cette tangente pour $x$ variant de $0$ à $1$.
  \item Si on assimile $\mathscr C_f$ à $T_0$, quelle approximation de $f(1)$ obtient-on ?
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $0.5$}
\begin{enumerate}
 \item Avec le tracé précédent, quelle approximation de $f(0.5)$ obtient-on ?
 \item Quel approximation du coefficient directeur de la tangente $T_{0.5}$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0.5$ peut-on
 en déduire ?
 \item Quelle nouvelle approximation de $f(1)$ obtient-on ?
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $0.25$}
\begin{enumerate}
 \item Avec le tracé de la question \textbf{1.}, quelle approximation de $f(0.25)$ obtient-on ?
 \item Quel approximation du coefficient directeur de la tangente $T_{0.25}$ à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0.25$ 
 peut-on en déduire ?
 \item En adaptant la méthode précédente, continuer vos calculs (sans arrondir !) et votre construction pour en déduire 
 une nouvelle approximation de $f(1)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Avec un pas de $h>0$}
\begin{enumerate}
 \item En utilisant la méthode d'Euler, démontrer que 
  $$f(h)\simeq 1+h \qquad \qquad\qquad f(2h) \simeq (1+h)^2  \qquad \qquad\qquad f(3h) \simeq (1+h)^3$$
 \item Démontrer finalement par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a :
$\qquad  f(nh)\simeq (1+h)^n $
\item On pose $x=nh$. Démontrer que pour $n$ assez grand :
$\qquad  f(x)\simeq \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$\\
\textit{C'est la suite $(u_n(x))$ définie par \quad $ u_n(x)=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$ \quad qui
sert à démontrer rigoureusement l'existence de la fonction $f$.}
\item A l'aide de la calculatrice, tracer les courbes des approximations de la fonction $f$ pour des valeurs de 
$n$ égales à $10$, $100$ et $1000$.
\item En prenant $n=1000$, donner une valeur approchée du nombre $f(1)\simeq \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$
\textit{Le nombre $f(1)$ est encore noté $e$. En fait on a : 
$$ e=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\end{enumerate}
\textbf{Conclusion} : \\
Cette fonction $f$ vérifiant les conditions \quad 
$\left\{ \begin{array}{l} f'=f \\ f(0)=1  \end{array} \right.$ \quad est unique et est appelée \textbf{fontion exponentielle}.\\
On la note $\exp$. \\\\
On vient de voir à quoi ressemble sa représentation graphique. nous verrons, dans le cours, 
que cette fonction possède des propriétés remarquables, notamment évidemment, celle de transformer des \og sommes \fg{} 
en \og produits \fg{}, i.e :
$$ \forall x\in\R,\qquad \forall y\in\R \quad : \quad f(x+y)=f(x)f(y)$$
\end{exoi}

\end{document}