\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textbf{(7 points)}\\
On se propose de démontrer que $\sin x\leq x$ lorsque $x$ est positif et $\sin x\geq x$ lorsque $x$ est négatif.
Pour cela on va étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sin x-x$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est impaire. Quelle symétrie en déduit-on pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$ ?
\item Calculer $f(0)$ et déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item On se contente pour la suite d'étudier la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in [0;+\infty[$.
\item Montrer que pour tout $x\in [0;+\infty[$ on a :
$$ f'(x)\leq 0$$
\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$.
\end{enumerate}
\item Déduire de la symétrie de la courbe le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$. Déterminer $\alpha$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill \textbf{(3 points)}\\
Pour chacune des fonctions $f$ proposées, préciser l'intervalle $I$ sur lequel $f$ est dérivable puis calculer $f'(x)$.
\begin{enumerate}
\item $ f(x)=\sqrt{x^2-1}$ définie sur l'intervalle $[1;+\infty[$.
\item $f(x)=\sin(3x+1)$ définie sur $\R$.
\item $f(x)= \dfrac{x^3-1}{x+1}$ définie sur $\R\textbackslash \{-1\}$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\vfill
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\begin{exoi}\hfill \textbf{(7 points)}\\
On se propose de démontrer que $\sin x\leq x$ lorsque $x$ est positif et $\sin x\geq x$ lorsque $x$ est négatif.
Pour cela on va étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\sin x-x$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est impaire. Quelle symétrie en déduit-on pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$ ?
\item Calculer $f(0)$ et déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item On se contente pour la suite d'étudier la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in [0;+\infty[$.
\item Montrer que pour tout $x\in [0;+\infty[$ on a :
$$ f'(x)\leq 0$$
\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$.
\end{enumerate}
\item Déduire de la symétrie de la courbe le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$. Déterminer $\alpha$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{(3 points)}\\
Pour chacune des fonctions $f$ proposées, préciser l'intervalle $I$ sur lequel $f$ est dérivable puis calculer $f'(x)$.
\begin{enumerate}
\item $ f(x)=\sqrt{x^3-1}$ définie sur l'intervalle $[1;+\infty[$.
\item $f(x)=\cos(1-2x)$ définie sur $\R$.
\item $f(x)= \dfrac{x-1}{x^3+1}$ définie sur $\R\textbackslash \{-1\}$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}
