\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\Exoi{\hfill (4 points)\\
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=2n+n\times (-1)^n$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide du théorème de comparaison, la limite de la suite $u$.
\item La suite est-elle monotone ? (\textit{on justifiera cette réponse}).
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la suite $u$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier $n$,
$$ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5}$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$. Que peut-on conjecturer sur la suite $u$ ?
\item \begin{enumerate}
\item Montrer, par récurrence la propriété $\mathscr P$ définie au rang $n$ par :
$$ \mathscr P(n) : 0<u_n < 5$$
\item Montrer, par récurrence que la suite $u$ est strictement croissante.
\item En déduire que $u$ converge.
\end{enumerate}
\item \textbf{Bonus} : Déterminer la limite $\ell$ de la suite $u$.
\end{enumerate}
}

\vfill
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\dfrac{n+\cos n}{n+3}\qquad \text{et}\qquad w_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide du théorème des gendarmes, la limite de la suite $u$.
\item Déterminer, à l'aide du théorème de comparaison, la limite de la suite $w$.
\end{enumerate}
}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la suite $u$ définie par $u_0=-2$ et pour tout entier $n$,
$$ u_{n+1}=1+\dfrac{1}{2}u_n$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que la suite $u$ est strictement croissante.
\item  Montrer, par récurrence,  la propriété $\mathscr P$ définie au rang $n$ par :
$$ \mathscr P(n) : u_n < 2$$
\item En déduire que $u$ converge.
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $u$.
\end{enumerate}
}


\end{document}
