\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_0=3 \qquad \text{et} \qquad u_{n+1}=3u_n+2$$
Démontrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N,\quad  u_n=4\times 3^n-1$$}



\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase en français la \og phrase mathématique \fg{} suivante :
$$ \forall A>0, \exists N \in \N, \forall n\geq N \text{ on ait : } \sqrt{n}>A$$
\item On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\sqrt{n}$$
\begin{enumerate}
\item Pour $A=10$, déterminer le plus petit entier naturel $N$ tel que $u_N>A$
\item Même question pour $A=1500$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\vfill
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\Exoi{\hfill (6 points)\\
On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_0=8\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N, \quad u_n > 1$$
\item Démontrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N, \quad u_{n+1}<u_n$$
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill (4 points)\\
\begin{enumerate}
\item Traduire par une phrase en français la \og phrase mathématique \fg{} suivante :
$$ \forall A>0, \exists N \in \N, \forall n\geq N \text{ on ait : } n^2>A$$
\item On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=n^2$$
 Pour $A=150$, déterminer le plus petit entier naturel $N$ tel que $u_N>A$
\end{enumerate}
}
\end{document}
