\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\medskip
 
 
 \Exoi{\hfill (10 points)\\
 On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$ par :
\[f (x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}.\]
\partieBac{Etude d'une fonction auxiliaire.}
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $N$ définie pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$ par $$ N(x)=(1+x)^2-1+\ln(1+x)$$
Calculer les limites de $N$ en $-1$ et en $+\infty$.
\item Calculer $N'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $N$  sur $]-1;+\infty[$.
\item Montrer que l'équation $N(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-1;+\infty[$. Vérifier que $\alpha=0$.
\item Dresser le tableau de signe de la fonction $N$.
\end{enumerate}
\partieBac{Etude de la  fonction $f$.}
\begin{enumerate}
\item  On note  $g(x)=\dfrac{\ln(1+x}{1+x}$, Calculer $g'(x)$ pour $x>-1$ puis montrer que pour tout $x>-1$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{N(x)}{(1+x)^2}$$
\item En déduire le tableau de signe de $f'$ et le tableau de variation de $f$.
\item  Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x$.
Calculer les coordonnées du point d'intersection de la réprésentation graphique  $\mathcal{C_f}$ de la fonction $f$ et de la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\partieBac{Etude d'une suite}
 On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{l cl}
 u_{0}& =&4 ~\text{et}\\
 u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right)~ \text{pour tout}~ n~ \text{de}~ \N.\\
\end{array}\right.\]
\textbf{On admet que cette suite converge vers un réel $\ell>-1$.}
	\begin{enumerate}
	   \item Pour montrer qu'une suite est convergente que démontre-t-on \og habituellement \fg{}.
		\item Déterminer la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}}



%\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}17$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}



\Exoi{\hfill (10 points)\\
Soit $f$ et $g$ les fonction d\'efinies sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x-1)$ et $g(x)=\dfrac{x-2}{x-1}$. On note respectivement $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ leur courbe repr\'esentative dans le plan muni d'un rep\`ere orthonormal (unit\'e graphique : 2 cm).\newline
\textbf{Partie A : \'Etude du sens de variation de $f$ et de celui de $g$}
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f'(x)$ et $g'(x)$
 \item \'Etudier le sens de variation de chacune des fonctions $f$ et $g$; dresser leur tableau de variations complet.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : \'Etude des positions relatives de $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ }\newline
On consid\`ere la fonction $d$, d\'efinie sur $]1;+\infty[ $ par $d(x)=f(x)-g(x)$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Calculer $d'(x)$
 \item \'Etudier le sens de variation de $d$ et donner son tableau de variations
\item Calculer $d(2)$
\subitem En d\'eduire le signe de $d(x)$, lorsque $x\in]1;+\infty[$
\end{enumerate}
\item En utilisant les r\'esultats pr\'ec\'edents :
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ ont un seul point commun, not\'e $A$, dont on donnera les coordonn\'ees
 \item Montrer que $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ admettent au point $A$ la m\^eme tangente $\mathcal T$, dont on donnera l'\'equation r\'eduite
\item \'etudier la position de $\mathcal C_f$ par rapport \`a  $\mathcal C_g$ 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}
