\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=0.5cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\medskip
 
\Exoi{\hfill (10 points)\\
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonomé $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer son ensemble de définition.
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Que peut-on en déduire pour sa représentation graphique $\mathscr C_f$.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$$
\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphique. 
\end{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$, puis étudier son signe. En déduire le tableau de variations de $f$.
\item Déterminer l'équation de la tangente de $f$ en $0$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution $\alpha $ dans $\R$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$.
\end{enumerate}}
\vfill
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}11$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{Exi}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et des justifications.}}
\end{center}


\emph{Les cinq questions sont indépendantes.}

\medskip
 
\Exoi{\hfill (10 points)\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x}{e^{x}-x}$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonomé $(O;\vec i, \vec j)$.\\
\partieBac{}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=e^x-x-1$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $g$.
\item En déduire que pour tout réel $x$ on a :
$$ e^x-x>0$$
\end{enumerate}
\partieBac{}
On rappelle que $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x\neq 0$ on a :
$$ f(x)=\dfrac{1}{\frac{e^x}{x}-1}$$
\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ puis celle en $-\infty$.
\item Interpréter graphiquement.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{(1-x)e^x}{(e^x-x)^2}$$
\item Etudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\end{document}
