\documentclass[a4paper,11pt]{article}
	

\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=3cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveillé 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les suites}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S1 et S3}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{M.Rey-Cadours et D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}
\Exoi{\hfill (10 points)\\
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $$\left\{\begin{array}{l}
                                                        u_0=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2+{u_n}^2}
                                                       \end{array}\right.$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Étudier sur $[0;1]$ les variations de la fonction $f$  définie  par $$f(x)= \dfrac{x}{2+x^2}$$
\item On donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction $f$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(16,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=gray](0,0)(-2,-2)(16,4)
\psset{xunit=10.0cm,yunit=10.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.1,Dy=0.1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.6,0.4)
\psplot[plotpoints=200]{-0.2}{1.6}{x/(2+x^2)}
\rput[tl](1.26,0.35){$C_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1}, u_{2}$ et $u_{3}$ 
 en laissant apparents les traits de construction. 
\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la 
convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
\end{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geqslant 1$, $$0\leq u_{n}\leq 1$$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
 \item  Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $$u_{n+1}- u_{n}=\dfrac{-u_n\left(1+u_n^2\right)}{2+u_n^2}$$
\item En déduire le sens de variations de la suite $(u_n)$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Justifier que la suite $(u_n)$ converge.
\item Résoudre l'équation $$x=\dfrac{x}{2+x^2}$$
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\Exoi{\hfill (10 points)\\
L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $$ \left \{\begin{array}{l}
u_1 = \dfrac{3}{2} 
\\\text{pour tout entier }n\in \N^*,\quad u_{n+1}=\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}
\end{array}
\right.$$
\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }\\
\parbox{6cm}{Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.
\\
Il a oublié de compléter deux lignes.}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
Variables&$n$ est un entier naturel \\
&$u$ est un réel \\
\hline
Initialisation &Affecter à  $n$ la valeur 1\\
&Affecter à  $u$ la valeur 1,5 \\
\hline
Traitement &Tant que $n<9 $\\
&\hspace*{1cm} Affecter à  $u$ la valeur \dots\\ 
&\hspace*{1cm} Affecter à  $n$ la valeur \dots\\
%\hline
&Fin Tant que \\
\hline
Sortie& Afficher la variable $u$ \\
\hline
\end{tabularx}}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension. 
\item Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à  $u_{9}$ ? 
\item  Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\
\hline
$u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &{0,2063} &{0,1693}&\dots&\ {0,0102} &{0,0101} \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Vérifier, par le calcul, les valeurs de $u_2$ et $u_3$
\item Au vu des résultats du tableau, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B - Etude mathématique }
\\
On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : $$\text{pour tout entier } n\geqslant 1, v _{n} = nu_{n} -1$$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $$u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$$.
\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\\
Etudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
}
$$\quad$$
\fbox{\textbf{BONUS:}}
\\Les pages d'un livre sont numérotées de $1$ à $n$. On additionne les numéros des pages mais une page a été comptée deux fois. On obtient donc un résultat faux égal à $2012$.
\\Quelle page a été comptée deux fois?
\\Quel est le nombre total de pages du livre?
\end{document}