\documentclass[a4paper,11pt]{article}
	

\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=3cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveillé 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Arithm\'etique}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S2 et S3}	
\newcommand{\Annee}{2013-2014}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}

\medskip

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $n-4$ divise $3n-17$.
\item Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $\dfrac{3n-17}{n-4}$ soit un entier naturel.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item Donner la liste des diviseurs de $15$. En déduire tous les couples d'entiers relatifs $(a;b)$ tels que $15=ab$.
\item Dans cette question $x$ et $y$ désignent des entiers naturels.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $4x^2-49y^2$ comme produit de deux nombres entiers relatifs $p$ et $q$ avec $p<q$. Préciser $p$ et $q$ et justifier que $q\in \N$.
\item Déduire des deux premiers questions tous les couples d'entiers naturels $(x;y)$ solutions de l'équation $4x^2-49y^2=15$. 
\end{enumerate}
\item Donner tous les couples d'entiers relatifs $(x;y)$ solutions de  $4x^2-49y^2=15$. 
\\
\textit{On ne demande pas de calcul fastidieux.}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout nombre entier naturel $k$ on a $$ 2^{3k}\equiv 1[7]$$
\item Quel est le reste dans la division euclidienne de $2^{2013}$ par $7$ ?
\end{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels inférieur ou égaux à $9$ avec $a\neq 0$.
\\
On considère $N=a00b$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $10^3\equiv -1[7]$.
\item En déduire que $N\equiv -a+b[7]$.
\item Déterminer parmi les nombres entiers naturels $N$ ceux qui sont divisibles par $7$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

%\begin{exoi}
%On souhaite déterminer le chiffre des unités de $2^n+3^n$ selon les valeurs de $n$.
%\begin{enumerate}
%\item Compléter le tableau suivant :
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
%\hline $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ \hline 
%Reste de $2^n$ modulo $5$ & &  &  &  &  &  &  & \\ \hline 
%Reste de $3^n$ modulo $5$ & &  &  &  &  &  &  &\\ \hline 
%Reste de $2^n+3^n$ modulo $5$ & &  &  &  &  &  &  & \\ \hline 
%\end{tabular}
%\end{center}
%\item Conjecturer les valeurs des restes de $2^n+3^n$ en fonction des valeurs de $n$.
%\item Pour tout $k$ et $n$ entiers naturels, montrer que $2^n+3^n$ et 
%$2^{n+4k}+3^{n+4k}$ ont même reste dans la division par $5$.
%\item En déduire l'ensemble des restes possibles de $2^n+3^n$ en fonction de $n$.
%\item Montrer que $2^n+3^n$ est impair. En déduire son chiffre des unités en fonction de $n$.
%\item En déduire le chiffre des unités de $2^{2013}+3^{2013}$.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}

\begin{exoi}
A chaque lettre de l'alphabet, on associe, gr\^ace au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B&C &D&E &F&G  &H&I&J& K &L &M \\ \hline
0	&1 	&2	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 	&11 	&12\\ \hline \hline 
N	&O	&P	&Q	&R &S	& T	&U 	&V 	&W 	&X 		&Y		&Z\\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17 &18 &19 &20	&21	&22	&23 	&24		&25\\ \hline
\end{tabularx}

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{15.5cm}}
\emph{Etape} 1 :& 	A la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Etape} 2 :& 	On calcule le reste de la division euclidienne\index{division euclidienne} de $19m + 3$ par $26$ et on le note $p$.\\
\emph{Etape} 3 :& 	Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item Coder le mot EUX.
\item 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $19\times 11\equiv 1[26]$.
\item En déduire que $209m +33\equiv m+7 [26]$.
\item Montrer que si $19m+3\equiv p [26]$ alors $m\equiv 11p-7 [26]$ \\
\textbf{On admet que la réciproque est vraie i.e. on admet que si $m\equiv 11p-7[26]$ alors $19m+3\equiv p [26]$.}
\end{enumerate}
\item Décoder SB.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}