\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 9}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{TVI et \'etude de fonctions.}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{Tout élève traitera  au moins un exercice.}

\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit$\\
On se propose de déterminer le nombre de racine(s) du polynôme $P$ définie sur $\R$ par  :
$$ P(x)=4x^4-3x^3+2x^2-x+1$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P'$ puis $P''$.
\item Dresser le tableau de signe de $P''$, puis en déduire le tableau de variation de $P'$.
\item Déterminer les limites de $P'$ en $+\infty$ et en $-\infty$, en déduire que l'équation $P'(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha_1$ dans $\R$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
\item En déduire le tableau de signe de $P'$ puis le tableau de variation de $P$.
\item Calculer les limites de $P$ en $+\infty$ et en $-\infty$, en déduire que $P(x)>0, \qquad \forall x\in\R$.
\item Conclure.
\item On considère le polynôme $Q$ définie sur $\R$ par :
$$ Q(x)=\dfrac{4}{5}x^5-\dfrac{3}{4}x^4+\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+x-1$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $Q'(x)=P(x)$.
\item En déduire que l'équation $Q(x)=0$ admet exactement une solution dans $\R$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill $ \spadesuit \spadesuit \spadesuit \spadesuit$\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$ et on note $\mathscr C$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé d'unité 1cm. 
\begin{enumerate}
\item On pose
$g(x)=x^3+3x+8$.\begin{enumerate}
\item \'Etudiez le sens de variation de $g$
et montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique
solution $\alpha$ dont vous donnerez un encadrement d'amplitude
$10^{-2}$. \footnote{emploi classique du corollaire du TVI.}
\item Précisez le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  \'Etudiez les limites de $f$ en $-\infty$ et
$+\infty$. 
\item Montrez que pour tout $x\in \R$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(x^2+1)^2}$$
\item Dressez le tableau de
variation de $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminez les abscisses des
point $B$ et $B'$ de $\mathscr C$ admettant une tangente parallèle à
$\Delta : y=x$.\footnote{deux droites parallèles ont le même coefficient
directeur...}
\item \begin{enumerate}
\item  Vérifiez que $f(\alpha)=\dfrac{3\alpha}{2}$.
Déduisez en une valeur approchée de $f(\alpha)$.\footnote{utilisez le
fait que $g(\alpha)=0$.}
\item Tracez $\Delta$, $\mathscr C$ ainsi que les
points $A$, $B$, $B'$ et $M$, $N$, $P$ d'abscisses respectives 1,
2 et $-1$, sans oublier les six tangentes en ces points.
\end{enumerate}
\end{enumerate} }


\end{document}
