\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 8}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Congruence - conjecture d'APW}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}



  
  \begin{exoi}\hfill $ \spadesuit\spadesuit$\\
  Lors du DM7, l'un d'entre vous a utilisé un résultat qui n'est pas présent dans le cours dont on va analyser la pertinence. 
  J'ai nommé ce résultat conjecture d'APW.
  
  Dans tous l'exercice $a\in \Z$, $n$ est un entier naturel et $r$ désigne le reste de la division euclidienne de $a^2$ par $n$, par conséquent on a :
  $$ a^2\equiv r [n]$$
 \textit{Conjecture d'APW} : Si $r$ est un carré parfait alors $a\equiv \sqrt{r}[n]$ ou $a\equiv -\sqrt{r}[n]$.
 
 \textbf{Partie A} : Cas où $n=9$.
 \begin{enumerate}
 \item Compléter le tableau suivant :
 		\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		Reste possible de $X$ par $9$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ \\ \hline
		Reste possible de $X^2$ par $9$&  & &  & &  & &  &  &  \\ \hline
		\end{tabular}
		\end{center}
\item Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de $a$ par $9$ lorsque $a^2\equiv 0 [9] $ ?
\item La \textit{conjecture d'APW} est-elle vérifiée lorsque $n=9$ ?\textit{On justifiera soigneusement.}
\item Justifier que $a=15$ est un contre-exemple qui invalide la \textit{conjecture d'APW} ? En proposer un autre.
 \end{enumerate}
  
  \textbf{Partie B} : Cas où $n=5$.
   \begin{enumerate}
 \item Compléter le tableau suivant :
 		\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		Reste possible de $X$ par $5$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$  \\ \hline
		Reste possible de $X^2$ par $5$&  & &  & &  \\ \hline
		\end{tabular}
		\end{center}
\item Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de $a$ par $5$ lorsque $a^2\equiv 0 [5] $ ? lorsque $a^2\equiv 1[5]$ ? lorsque $a^2\equiv 4[5]$ ?
\item La \textit{conjecture d'APW} est-elle vérifiée lorsque $n=5$ ? \textit{On justifiera soigneusement.}
 \end{enumerate}
 
   \textbf{Partie C} : Cas où $n$ est un nombre premier.
   
   On rappelle ou on donne un résultat (que je démontrerai très prochainement) :
   
   \begin{lem}\hfill \textbf{Lemme d'euclide}\\
   Si $p$, un nombre premier, divise le produit $ab$ alors il divise $a$ ou il divise $b$.   
   \end{lem}
   
\begin{enumerate}
   \item On suppose que $a^2\equiv b^2 [n]$, montrer en utilisant le lemme d'euclide, que $a\equiv b[n]$ ou que $a\equiv -b[n]$.
   \item En déduire que la \textit{conjecture d'APW}  est vraie lorsque $n$ est premier.
   \end{enumerate}   
  \end{exoi}
% \begin{exoi}
% On rappelle le (petit) th\'eor\`eme de Fermat :\\
%si $p$ est un nombre premier qui ne divise pas l'entier naturel $a$, alors on a la congruence
%\[a^{p-1} \equiv  1\quad  \mod p\]
%
%\noindent \textbf{Partie A}
%
%\begin{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Prouver que $29$ est un nombre premier.
%\item  Soit $x \in  \N$ et $n$ un entier naturel tel que $n \equiv  1 \quad \text{mod}~ 28$.\\
%            En utilisant le th\'eor\`eme de Fermat, prouver que $x^n \equiv  x \quad  \mod~ 29$. 
%\end{enumerate}
%\item On consid\`ere l'\'equation (E) :   $17x - 28y = 1$ o\`u $(x,~y) \in \Z^2$.
%\item Quel th\'eor\`eme permet d'affirmer que l'\'equation (E) admet au moins un couple solution d'entiers relatifs ?
%\\En utilisant l'algorithme d'Euclide, trouver un tel couple solution. 
%\end{enumerate}
%
% \noindent \textbf{Partie B}\\
%Soit A $= \{x \in  \N,~ x < 29\} = \{0~;~1~;~2~;~...~;~28\}$\\
%Pour $x \in  \text{A}$, on note $f(x)$ le reste de la division euclidienne de $x^{17}$ par $29$ et $g(x)$ le reste de la division euclidienne de $x^5$ par $29$.\\
%\begin{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Prouver que $f(x) \in  \text{A}$ et $x^{17} \equiv  f(x)\quad  \text{mod}~ 29$.\\
%On admettra (la d\'emonstration est analogue) que $g(x) \in  \text{A}$ et $x^5 \equiv  g(x) \quad  \text{mod}~ 29$.
%\item Pour $x \in  \text{A}$, prouver que $g[f(x)] = x$.
%\end{enumerate}
%\item \textbf{Applications} :\\
%On attribue \`a chaque lettre de l'aphabet et aux deux signes \og + \fg{} et \og $-$ \fg, l'entier donn\'e par le tableau ci-dessous :
%\noindent \begin{tabularx}{\textwidth}{|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%a& 	b& 	c &	d &	e &	f& 	g& 	h& 	i& 	j &	k &	l& 	m &	n\\ \hline
%1& 	2& 	3& 	4& 	5& 	6& 	7& 	8& 	9& 	10& 	11& 	12& 	13 &	14\\ \hline \hline
%o& 	p& 	q& 	r& 	s& 	t& 	u& 	v& 	w& 	x &	y& 	z& 	$+$& 	$-$\\ \hline
%15& 	16& 	17& 	18& 	19& 	20 &	21& 	22& 	23& 	24& 	25& 	26& 	27& 	28\\ \hline \hline
%\end{tabularx}
%\item Bob code le mot \og GAUSS \fg{} \`a l'aide de la fonction $f$ et envoie le message cod\'e \`a Alice.\\
%Voici le codage des deux premi\`eres lettres \og G \fg{} et \og A \fg{} :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
% \begin{tabularx}{0.7\textwidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Message initial	& 	G 				&A\\  \hline
%Entier associ\'e 	&	7				& 1\\ \hline
%Utilisation de $f$	&$7^{17} \equiv 24\quad  \text{mod}~ 29$& 	$1^{17} \equiv 1\quad  \text{mod}~ 29$\\ \hline
%Message cod\'e 	&	X				& A\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%Compl\'eter son message.\\
%\item Alice reçoit le message suivant, cod\'e par Bob, \`a l'aide de la fonction $f$ :
%
%\begin{center}
% \begin{tabularx}{0.6\textwidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%J &	I& 	L& 	L& 	R\\ \hline
%\end{tabularx} 
%\end{center}
%\end{enumerate}
% \end{exoi}   
%     





  
\end{document}