\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 7}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Limites de fonctions et composition.}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les trois suivants.}



\begin{exoi}\hfill $ \spadesuit$\\
\begin{enumerate}
\item 
Rechercher les asymptotes parallèles aux axes que peuvent présenter les courbes représentatives des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{3}{x-2}$
\item $f(x)=-\dfrac{1}{x^2}$
\item $f(x)=\dfrac{2x-3}{x+1}$
\item $f(x)=\dfrac{1}{x^2-4}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Dresser les tableaux de variations des fonctions précédentes sur leur ensemble de définition.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill $\spadesuit \spadesuit$\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in\R$ on a :
$$ f(x)=-\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}$$
\item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement. 
\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R\textbackslash \{2\}$ par :
$$ g(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x-2}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x\in \R\textbackslash \{2\}$ on a $ g(x)=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}$
\item En déduire la limite de $g$ en $2$.
\end{enumerate}
\item On considère les fonctions $h$ et $k$ définies sur $\R^*$ par :
$$ h(x)=\cos \dfrac{1}{x}\qquad \text{et} \qquad k(x)=\sin \dfrac{1}{x}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lim\limits_{x\to \pm\infty} h(x)$ et $\lim\limits_{x\to \pm\infty} k(x)$
\item Que pensez-vous de $\lim\limits_{x\to 0} h(x)$ et $\lim\limits_{x\to 0} k(x)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill $\spadesuit\spadesuit\spadesuit$\\
\textit{Une caractérisation des fonctions égales à  leur réciproque}\\
On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ telle que :
$$ \forall x\in I,\qquad  f\circ f(x)=x$$
et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O; \vec i, \vec j)$
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $$ g(x)=x-2 \sqrt{x}+1 $$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $g$.
\item Montrer que pour tout $x\in[0;1]$ on a $g\circ g(x)=x$.
\item Contruire la représentation graphique $\mathscr C_g$ dans un repère orthonormé $(O; \vec i, \vec j)$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que si $M(x;y)\in\mathscr C_f$ alors $M'(y;x)\in\mathscr C_f$.
\item En déduire une symétrie de la représentation graphique $\mathscr C_f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}