\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 6}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Congruence}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\Cr{\decofourleft~ \typedoc ~\decofourright \\ \Ch}

\vspace{1cm}

\textbf{\textbf{Vous traiterez au moins un exercice parmi les trois suivants.}
}

\Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit $\\ 
 \textit{Les questions sont ind\'ependantes.}
\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de l'entier relatif $m$ la fraction $\dfrac{2m-5}{m+8}$ est-elle elle-m\^eme un entier ?
\item $k$ \'etant un entier relatif, on pose : $x=2k-1$ et $y=9k+4$. \newline
Montrer que tout diviseur commun \`a $x$ et \`a $y$ divise $17$.
\item D\'eterminer les entiers naturels $u$ et $v$ v\'erifiant la relation : $u^2-4v^2=12$
\item $n$ est un entier naturel. D\'emontrer que quel que soit $n$, $3n^2+5n+1$ est impair . \newline
En d\'eduire que ce nombre n'est jamais divisible par $n(n+1)$.
     \end{enumerate}}
     
     
\Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit $\\ 
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $2^{3n}-1$ est un multiple de $7$.
  \item En déduire que $2^{3n+1}-2$ est un multiple de $7$ et que $2^{3n+2}-4$ est un multiple de $7$.
  \item Déterminer les restes de la division euclidienne par $7$ des puissances de $2$.
  \item Soit $p\in\N$, on considère $ A_p=2^p+2^{2p}+2^{3p}$
  \begin{enumerate}
  \item Si $p=3n$, quel est le reste de la division de $A_p$ par $7$ ?
  \item Démontrer que si $p=3n+1$, alors $A_p$ est divisible par $7$.
  \item Etudier le cas où $p=3n+2$.
  \end{enumerate}
  \end{enumerate}
  }
  
  
  \Exoi{\hfill $\spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit $\\
   Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour $1 \leq n \leq 6$, 
%		calculer 
%les restes de la division euclidienne de $3^n$ par 7.
déterminer $r$ tel que $$ 3^n\equiv r [7] \quad \text{et}\quad 0\leq r <7$$
\item En déduire que pour tout entier naturel $k$ :
$3^{6k}-1\equiv 0[7]$
		\item Démontrer que, pour tout $n,~ 3^{ n + 6} - 3^n\equiv 0[7]$.
	\\	 
En déduire que $3^n$ et $3^{ n + 6}$ ont le m\^eme reste dans la division par 7. 
		\item À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de $3^{\nombre{1000}}$ par 7.
		\item De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de $3^n$ par 7, pour $n$ quelconque ? 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $7$ ne divise pas $3^n$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $U_n = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \displaystyle\sum_{i=0}^{i=n-1} 3^i$, où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
	\begin{enumerate}
	    \item En utilisant une suite géométrique que l'on précisera montrer que $ U_n=\dfrac{3^n-1}{2}$
	    En déduire que $2$ divise $3^n-1$.
		\item Montrer que si $U_{n}$ est divisible par 7, alors $3^n - 1$ est divisible par 7.
		\item Réciproquement, montrer que si $3^n - 1$ est divisible par 7, alors $U_n$ est divisible par 7.
 \\
En déduire les valeurs de $n$ telles que $U_n$ soit divisible par 7. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
  }




  
\end{document}