\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites monotones et limites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\vfill 

\textbf{Vous traiterez au choix au moins un exercice parmi les six suivants. En traiter au moins deux est conseillé. Si vous ne vous sentez pas encore à l'aise avec les suites, il est inutile de tourner la page.}

\Exoi{\textbf{Théorème de convergence monotone.}\hfill $ \spadesuit$\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, 
$$ u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0<u_n$.
\end{enumerate}
\item On \textbf{admet} que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit$\\
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, 
$$ u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_n}$$
On admet que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n>0$\\
Démontrer par récurrence que :
$$ \forall n\in\N,\qquad u_n<1$$
\textit{Indication : Pour montrer que $\mathscr P$ est héréditaire, on introduira la fonction $f$ définie sur $]0;1[$ par $f(x)=\dfrac{3x}{1+2x}$ et on étudiera ses variations.}
}

\Exoi{\textbf{Théorème de convergence monotone.}\hfill $ \spadesuit\spadesuit$\\
Soit $(u_n)$ une suite décroissante et strictement positive.
\\
Montrer que la suite $(v_n)$, définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{1}{1+u_n}$ est convergente. \footnote{On montrera que $v$ est strictement croissante et majorée.}}



\Exoi{\textbf{Théorème de comparaison.}\hfill $\spadesuit\spadesuit $\\
Soit $a\in\R$, on considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par :
$$ u_0=a\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=u_n+u_n^2+1$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
\item Ecrire et programmer un algorithme qui demande de saisir deux réels $M$ et $a$ et qui affiche le premier rang $p$ pour lequel $u_p>M$. 
\item Soit $n\in\N$ et $\mathscr P(n) : u_n\geq a+n$. Montrer par récurrence que $\mathscr P(n)$ est vraie pour tout $n\in\N$.
\item En déduire que $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
\end{enumerate}}

\pagebreak
\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit $\\
On considère la suite $$u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $ \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}\leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}, \forall k\geq 2$.
\item Montrer que $$ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=1-\dfrac{1}{n}$$
\item Montrer que $$\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq 1$$.
\item Déterminer un réel $M$ qui majore $u_n$ pour tout entier $n\in\N^*$.
\item Montrer que $u$ converge.
\end{enumerate} 
}

\Exoi{\hfill $ \spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit\spadesuit $\\
On considère la suite définie pour tout entier $n\in\N^*$ par :
$$u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$$
On considère pour $A\in\N$ la propriété $\mathscr P$ définie par :
$$ \mathscr P(A) : \exists n_0\in \N, u_{n_0}>A$$
\begin{enumerate}
\item L'objectif de cette question est de démontrer la propriété $\mathscr P$ par récurrence.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $ \mathscr P(0)$ est vraie.
\item Montrer que $\mathscr P(1)$ est vraie.
\item Supposons que $\mathscr P(A)$ soit vraie.
\begin{enumerate}
\item Traduire, par une phrase en français, la supposition que l'on a effectué.
\item Montrer que $u_{2n_0}> u_{n_0}+\dfrac{1}{2}$. En déduire que $u_{4{n_0}}> u_{n_0}+1$
\item En déduire que $\mathscr P(A+1)$ est vraie.
\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}
\item Utiliser la question $1$ pour déterminer la limite de la suite $u$.
\end{enumerate}
}

\end{document}